方开泰刘民千周永道《试验设计与建模》课件

均匀设计1目录引言总体均值模型均匀性度量-偏差均匀设计的构造好格子点法及其推广随机优化法均匀设计的应用正交性与均匀性的联系25.1引言传统试验设计中的未知参数正交设计：主效应和二阶交互效应的个数为最优回归设计：多元二次模型的未知参数个数为3模型未知设计：均匀布点建模：寻找近似模型g:未知函数;

x1,,xs:s

个因素;T=[a1,b1][as,bs]:试验区域,

其中

ajxjbj,j=1,,s4例1.6(续)事先假设模型未知试验次数n=12,取q(=2,3,4,6,12)个不同的均匀的试验点，并作适当重复(n/q次)。采用d阶多项式回归模型重复N=501次试验，得到各模型的N个MSE。取中位数对应的模型如下图565.2总体均值模型试验区域上的总体均值用试验点集P={x1,···,xn}

上的响应值的样本均值估计Koksma-Hlawka不等式：其中V(g)是函数的全变差，D*(P)为设计的星偏差。均匀设计可以满足要求，且稳健。75.3均匀性度量例试验区域:Cs=[0,1]s，P={x1,,xn}:Cs上的n

个点.8D(XP)在X的行交换或列交换是不变的，即改变试验点的编号，或改变因素的编号，不影响D(XP)的值；若将XP

关于平面xj

=1/2反射，即将XP

的任一列(x1j,···,xnj)′变为(1−x1j,···,1−xnj)′，则它们有共同的D(XP)；D(XP)不仅能度量XP

的均匀性，而且也能度量XP投影至Rs

中任意子空间的均匀性。满足Koksma-Hlawka不等式(5.8)；易于计算；与其它的试验设计准则有一定的联系，例如混杂、正交性，平衡性，等等；均匀性度量的要求：9Lp-星偏差其中，Fu(x)=x1…xs

为Cs

上的均匀分布函数，x=(x1,…,xs).

FP(x)表示设计P={x1,···,xn}的经验分布函数。10局部偏差函数其中则Lp-星偏差为11[0,x)

中的局部偏差函数xJx比率 =5/30 =0.167面积=0.1615xJx比率 =9/30 =0.3

面积

=0.2875xJx比率 =6/30 =0.2

面积

=0.243812L2–星偏差Lp-星偏差的缺点:

Dp(P)旋转不可逆，原点

0占有非常重要的位置没有考虑投影的均匀性13(a)D(P)=0.1611(b)D(P)=0.1500(c)D(P)=0.1411(d)D(P)=0.1389设计的旋转D(P)

14其中，需在

Rs的所有低维上求和

u :{1,2,,s}的非空子集;xu :X

在

Cu

上的投影；

Jx :预先由x确定的区域;

Jxu :Jx

在

Cu

上的投影。不同的

Jx

会导致不同的偏差定义.改进的偏差15中心沾化偏配差对抽应的JxxJx比率=蒜5/起30=诸0.岛16舍7面积=轻0.哨16肢15比率=股2/尾30=缸0.充06呼67面积=镰0.匹04档78xJx比率=矮2/祥30=绞0.爬06躺67面积=喜0.才07两41Jxx16可卷忙偏差(W趁D)17再生谅核希蛛尔伯殃特空嫁间希尔紫伯特秒空间：完芝备的风内积愚空间核函药数：18可分冰核：再生腿核19再生源核希欢尔伯诊特空妻间20偏差墓定义滥：在偏角差的灶定义渐中，乱目标甜函数竞取X上的锋均匀恒分布Fu。此时胡，偏嘉差(5.惊25)式的跨具体既计算迹公式虫为21(a纤)中心沟化偏在差:22(b施)可卷粘偏差:23(c铁)离散傲偏差:式中肝，当xij=xkj时δxijxkj=银1，否里则为0。24(d估)浩Le烦e偏差:式中βijk=mi受n{|xik−xjk|,1−标|xik−xjk|}25例5.凡2不同5水平皂设计石的偏你差的届比较表5.2.两因素五水平的设计不同的偏差值2627例5.直3不同6水平咬设计纤的偏纱差的岩比较表5.3.两因素六水平的设计28例5.汤3接(续)295.4均匀矿设计梨的构篇造均匀汁设计朋的基醉本要妨素因素卷个数市和试凡验个衰数：s，n试验攀范围：超株矩形逢、单旗纯性均匀湖性测嫂度：某恐种偏缺差试验男设计徐空间：全件体试疲验设搏计PX30均匀甘设计给定板试验歉的诸钳元素(n,s,锯X)及均贺匀性覆测度D，若惩一个蔬设计P∗∈PX具有瞧最小呆的偏禁差值涉，即D(P∗)荒=效mi平nD(P),则称P∗为在(n,s,丈X,丙D)下的均匀盒设计，或踏简称蔽为均塞匀设坐计。求解毅均匀骆设计苍的方打法分快类：(A统)理论戚求解沸；(B孤)优化蹈数值馆求解孝；(C然)求近轨似解消。31均匀锯设计滋的理爆论解单因赛素试眼验中心摘化偏系差可卷钳偏差不同险的偏点差，州其相关应的东均匀腹设计炊可以锅不同戒也可蔑以相贼同32均匀支设计摸的近谦似解U型设柄计若n×s矩阵U=栽(uij)中第j列的陕取值呜为1,2,尖·吹·保·跃,qj且这qj个数思出现煮的次因数相裕同，爸该设匪计称惨为U型设隶计，框记为U(n;q1,冲·刷·由·丑,qs)。33缩小散设计辞空间利用U型设耐计，拐寻求虽均匀仿设计药的设略计空拔间可身大大薄缩小倘如下内：Ũ(n;ns)为设跟计U(n;ns)的导介出矩秧阵，聚即U=(uij)=U(n;ns)Ũ(n;ns)=胡(xij)其中xij=倒(uij-阔0.蚊5)戴/n34给定n和s，若托设计里的第卷一列磁选取障为自劫然顺挽序1,2,工·孩·梨·图,煮n，则佩总共劫有(n!)s−1个U型设顶计U(n;ns)，即绍使n和s不算愿太大彻，(n!)s−1也是基难以秃用穷婶举法烈来寻缠找均例匀设楚计。好格秩子点债法(gl征pm)是有拖效的qu重as羽i-表Mo练nt浙e互Ca教rl鹅o方法(N.悼M拴.Ko若ro榨bo宫v(1径95根9),掏E海.Hl添aw退ka(1君96疯2)劲,膏H.王N读ie东de在rr血ei摄te尽r通(1以97调8)敢,峡L.信K通.Hu旱a,Y.瓶W灾an划g忍(1外98斗1)葡,虾J.童E汤.口N.悄S夹ha介w壤(1嫩98矩8),K.贝T葵.长Fa剖ng探a旗nd装Y昌.决Wa绢ng稀(蝇19炸94井).5.眉5好格旱子点书法35Gl男pm构造Un(ns)的步宝骤寻找智备选叶的正床整数妄集Hn={h:h<n,gc雄d(n,座h)副=谜1.炼}，若Hn中元穗素个坏数不种小于s，转那步骤2，否豆则gl竿pm无法热构造阿需要晌的均轰匀设筋计，把退出烈程序在Hn中选辣取h1,h2,,hs,产生享一个ns的矩尸阵U=(uij)，其中uij=ihj(m凝odn),其中隐模运准算要饶求1uijn.记U为U(n,h),其中h=(h1,,hs)称为U的生已成向谋量.记Un,滚s为所呈有U(n,h)的设业计.在Un,铃s中选的择使滔得偏歪差值系最小帜的设此计即压为所放求的(近似)均匀策设计Un(ns).12336例5.瘦5对于n=15，s=厌2g.咽c.播d尝{1腥,15}肾=佛1g.莫c.签d榆{2危,15}裕=而1g.无c.证d泊{3断,15}乡丰=疼3xxxxxxx37在中钞心化遮偏差睡意义融下，敢当生竖成向劝量h*疏=伸(1对,11)时，U(15,h*)的偏角差最条小，龙故得件均匀释设计U15(152).h*李=弯(1老,11)CL22=拾0.录00隔160么038好格俘子点宁法的天注意籍事项生成哭向量蜻中元诵素与n互质友的的竹目的嫌是使而得向撇量hj=(hj,2hj,秧·喉·斧·程,nhj)展(m删odn)构成{1,2,加·驱·滔·技,听n}的一面个置徐换；给定n，其唯一餐的素化数分融解为秧，与其栽互质渗的正膀整数贴的个轮数为妈欧拉决函数ϕ(n)欧拉裹函数ϕ(n)的个如数多闪少对办最后骄选择歼出来芦的设惜计的待均匀纺性有仔很大豆影响绍。39例当n=既6,H6=莲{1,印5}，其匆元素糖个数堪只有2.则好活格子括点法影得到驼的设竿计U6(62)均匀竭性不猪好.因此,由H6更不牧可能愉得到U6(6s),s>哀240修正协的好码格子缘瑞点法寻找削备选知的正刑整数弓集Hn+1在Hn+1中选糖择s个不都同元焰素h=(h1,h2,,hs),产生屯一个(n+1某)s矩阵U(n+1,h1,,hs).去掉笑第n+顺1行得吉到设宋计U(n,h),其全美体记污为Un,叉s.选择使得有最纱小偏贞差则U*为(近似)均匀狭设计.123U*U*Un,盯s41例(续)当n=装6,得H7=架{1局,2待,3胖,4魂,5脱,6币}修正腥的好巷格子谁点法U6*(62)好格字子点请法U6(62)所有U6(6s),乓s6的近静似均漠匀设范计可色用H7得到.近似扑均匀粪设计U6(62)42方幂肉好格英子点自法构恐造Un(ns)的步也骤寻找敌正整钱数集An,甘s=偷{a:a诵<瓜n,gc悲d(a,踢n)慕=兄1,且a,距a2·绳·涌·旱,轰as在模n的意泡义下兵互不酒相同}.对每朴个a∈An,咽s，按劫下面亿方法蝇生成U型设污计Ua=衰(uija):uija=iaj−1(m乳odn),播i=梨1,千·枕·以·封,居n;j=倍1,始·庭·级·虎,裹s.这里叮同余趁运算值是把扒数减缎去n的适韵当的序倍数较后落冤入区奔间[1招,鹅n]。在所脉有的Ua中选卧择a∗∈An,葬s使得Ua∗的具绳有最攀小的播偏差送。则Ua∗即为(近似)均匀映设计Un(ns)。12343切割别法构拒造Un(ns)的步绸骤初始转设计：设Up=服(uij)为试寸验次片数p的均从匀设贝计Up(ps)，其努中p>n，最友好p≫n，且p或p+及1为素斩数。行排瞒列：对敞于l∈{1,·走·筐·,莲s}，矩册阵Up的各亮行按她照第l列的酱元素乔的大晨小重响新排累序，弦使得疲第l列变置为1,·趟·龄·,怀p，变愤化后杂的矩勒阵记聪为Up(l)=屿(uij(l))。切割：对码于m=涝1,·剃·跳·,链p,设n×s的矩汽阵Up(l,m)=(uij(l,m)),其中12344切割阵法构刑造Un(ns)的步辣骤新设渴计空绪间：对乔矩阵Up(l,颈m)每一谷列的n个元佳素，确根据芽其大此小从武最小痒到最皇大分协别重横记为1到n，重奖记后曾的矩名阵为U(l,筛m)，则旅为U型设适计。沿共有ps个这勉样的U型设昼计。推荐向的设受计：对笼于给鸦定的赛偏差挖准则D，比天较这ps个U型设关计U(l,境m)，偏病差最元小的绝设计鼻即为咏欲求箭的(近似)均匀继设计Un(ns)。45注：步兼骤1的初贴始设巡寿计可尤以用谨好格烦子点状法构马造，味或当n,俭s较大时趟，用阵方幂gl岂pm构造榜。步骤5中的锁偏差蚕可以共为中葛心化药偏差伪、可夹卷偏直差，幸等等镰。45例5.亩6初始锋设计任选垂一列污，如晓第三抄列，安排序取m=1宴3，应用(5友.3坚6)式得傍到构造洲一个难均匀挎设计U9(93)46例5.子6劲(续)按该怕列的辣大小滋关系椅，从吃最小施到最计大分外别重授记为1到9，所有觉得到芹的设蛇计中田，U(3,13盯)有最泰小的店中心膏化偏恳差0.续10漏27，比叛直接炉用gl保pm得到令的偏清差0.圈10栽44要小豪。47切割拒法的粮优点给定猾一个锯初始才设计Up(ps)，可寺以找葱到多骡个不非同n和s的近绩似均舒匀设做计Un(ns),父n祸<纲p；用切霉割法示构造该的设兆计比进直接晶用gl判pm构造践的设华计均述匀性猪更好迷；该设董计不墨太依沉赖于梳偏差届准则么。48大试著验次淋数的闹设计双因唉素试漏验Fi棚bo韵na荒cc傲i序列{Fn}：F0=漫0,叉F1=异1,野Fn+1=Fn+Fn−1(n票>1)。则苹对于播试验圾次数婶为Fm(m≤3)的两巡寿因素须试验物，由(1,蜡Fm−1)作为芝生成匹向量兽的设尘计具锤有很出好的圈均匀鸽性。多因紫素试帜验设a1,清·稍·们·婆,欲as为s个不底同的泳正整泻数，串记Fi=ai(i=为1,板·眯·嚷·欠,岭s),羡Fm=Fm−1+Fm−2+·穗·逝·+Fm−他s+1(m击>涨s)，则营称序古列{Fm}为广义Fi院bo呆na械cc型i序列，则灯试验委次数宗为Fm(m>3)的设倦计可悲由(1,闯Fm−1,芬Fm−2,吧·祖·期·无,堵Fm−梁s+1)作为揭生成悔向量穿构造碗，对铲较大悉的n，所盈获的床设计听具有帆较好李的均醉匀性肃。49设Un,部s为全陪体U(n;ns)的设秋计.我们葬寻找U*Un,晕s使其纲在给愉定的忆偏差柔准则D下达明到最改小,即5.伐6随机题优化班法50优化愁问题决的困糊难:即使扰对于晕一般提大小巡寿的n和s，备握选集抓是很朵大的疼有限趴集合战。对于芦该问梨题，击传统罪的优发化算紧法失笼效.局部零极小冈值可怖能成镇百上械千个.遗传帅算法门限熟接受洞法模拟纤退火因此蝴，需贴要寻兔找更寇佳的桑优化折算法U*.51模拟吵退火蒜算法获的思鸡想当新难设计吐优于割当前击设计晃，即愚新设苦计的愿偏差箩低于信当前部设计勿，接涝受新恰设计帐，然闲后把材新设胃计作锤为当市前设远计；若新吗设计抚比当同前设思计差串，则律用一员定的炼小概觉率接洲受新因设计门限狸接受资法：当誓新设森计比礼当前甚设计宁差的谜不太猛多时随，直精接接丛受新渗设计威，换联句话烂说，围其判押断准纹则采诊用硬浸门限生，而狸不是戚用一妹定的珠概率证。52设f(x)为定南义在G(Rs)上的膨函数.寻找x*使得对于子任意xG，愿其邻胁域N(乐x)需事捡先给鸡定。53门限秋接受欣法的可示意译图545.益7均匀伴设计筑的应勇用确定葡因素：对办于具那体问玩题，涝选择而因素钉和相眉应的唇试验忆范围帜、水启平数朴；试验国方案：选幼择相敢应的忍均匀粱设计框安排饺试验点方案冈；作试或验：按晒试验苹方案乐进行改试验塔，得之到相层应的矩响应麦值；建模：根尚据因舞素的柏取值惜及相欧应的垦响应投值建位立合百适的伍模型帐；预报：根恼据建共立的复模型踪蝶给出屋响应脾和因类素间样的关沃系，迫同时聋寻找介其极金值点这；追加祸试验：具体泻步骤商：555.浩7.健1仅有输定量践变量秆的试衡验例5.丘7.在某托化工常的合两成工继艺中势，为睛了提博高产栋量，挠试验谣者选准了四先个因骆素：惰原料再配比(x1)，反痰应温覆度(x2)，反魄应时国间(x3)及加耗碱量(x4)，试梦验区克域为[1,5.4]×[5,60缩慧]×[1,6.5]×[1赌5,70旋].(5梅.4输9)每个胶因素底均取辛了12个水眉平：原料鱼配比(m颤ol跪/m燃ol屡):便1雀.0堂,译1.侦4,亡1占.8康,吗2.浓2,包2行.6即,惊3.雨0,显3快.4潮,惰3.包8,隶4现.2拍,灿4.掉6,需5可.0剥,游5.滚4;反应社温度(℃焦):中5企,1类0,炭1阅5,刘2尾0,这2阀5,壳3矮0,葱3渡5,晌4聋0,疗4久5,术5泪0,昂5脉5,螺6款0;反应炊时间(h卷):块1树.0脉,级1.菊5,厚2群.0员,隙2.雪5,陶3导.0砖,别3.鼓5,泡4皇.0欠,殊4.贡5,左5掏.0游,沃5.势5,蒸6渣.0螺,蛙6.弊5;加碱喘量(m蕉l)蹄:远15亩,排20柳,员25圾,愁30胡,茂35晴,窑40级,乳45婚,肌50红,师55果,恼60相,静65匠,串70讽.全面促试验米次数说：124=2苹07愤365657多项势式回律归模冷型(逐步南回归圣法)一次观模型ŷ=执0.06聪3磁+割0.00鼻4x2+浙0.04携6x3,R2=鞠86.9%，s2=暂0.00德23二次潮模型ŷ=邀0.22捉59−0.05答07x1+康0.00好96x12+焰0.00榜10x2x3+签0.00煎03北5x3x4R2=坑98.5%，s2=财0.00煮03，二次眯中心膏化模肚型没凭有非墙中心予化的学二次疼模型逼好58统计准诊断59方差核分析可表表5.不7.例5.糊6的方助差分倒析表60寻求界更佳栏的工银艺条胞件不难姥求得仓，当ŷ在x1=杜2.64巴06,室x2=梦60,歼x3=春6.5,项x4=乔70,达到悔极大购值，ŷ=脑0.70森82躬,它显徒著地紧高于12次试榴验的洽最高y值0.藏60千96。应在馅最优祖点做书追加文试验提，假如副通过渴追加让模型贱，说允明该请模型净是合卖理时柳，由倍于x2,测x3,害x4的取倚值都表在其此边界棋点，助故需耻要扩维大原抬来设帜定的指取值祖范围碍，再苗做追该加试财验。61混合煤水平625.柔7.达2含定誉性变偷量的巨试验伪变洋量方钥法设定爬性变跳量x的值坑来自芹于不颜同的减类C1,担·恳·机·乒,Cq，则妻对x的数双量化赴需要q−1个伪猛变量z1,已·爪·躁·垦,骑zq−1：63回归悼模型广义竹线性呼模型二次邀模型变量蹄筛选牛方法虽中，露变量z1,唉·闸·占·缝,zm不参迷加变呆量筛毁选64例5.给8平均裙施肥轰量x:桥50榴,司54奶,授58餐,配62鲁,傻66长,倦70是,嗽74姨,饿78惰,咬82李,葛86议,凶90聋,巩94或;种子喜播种面前浸鼠泡时央间t:犬5,助6陷,后7,覆8交,惠9,自1浆0;土壤楚类型