精选方向向量和法向量讲义

（优选）方向向量与法向量目前一页\总数四十八页\编于十七点lAP１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量一、方向向量与法向量目前二页\总数四十八页\编于十七点1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线

的向量．平行或共线目前三页\总数四十八页\编于十七点例1:已知长方体ABCD—A’B’C’D’的棱长AB=2,AD=4,AA’=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).目前四页\总数四十八页\编于十七点目前五页\总数四十八页\编于十七点目前六页\总数四十八页\编于十七点目前七页\总数四十八页\编于十七点例2:已知所有棱长为的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.ABCDEFxyz(O)解:建系如图,则B(0,0,0)、目前八页\总数四十八页\编于十七点BEFxyz(O)目前九页\总数四十八页\编于十七点2、平面的法向量AlP平面α的向量式方程换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量目前十页\总数四十八页\编于十七点

2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的

a，则a叫做平面α的法向量.

方向向量目前十一页\总数四十八页\编于十七点oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为___________平面OABC的一个法向量坐标为___________平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)目前十二页\总数四十八页\编于十七点如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’234目前十三页\总数四十八页\编于十七点xyzABCDA’B’C’D’234目前十四页\总数四十八页\编于十七点xyzABCDA’B’C’D’234目前十五页\总数四十八页\编于十七点目前十六页\总数四十八页\编于十七点目前十七页\总数四十八页\编于十七点目前十八页\总数四十八页\编于十七点目前十九页\总数四十八页\编于十七点目前二十页\总数四十八页\编于十七点目前二十一页\总数四十八页\编于十七点目前二十二页\总数四十八页\编于十七点目前二十三页\总数四十八页\编于十七点求平面向量的法向量

目前二十四页\总数四十八页\编于十七点目前二十五页\总数四十八页\编于十七点目前二十六页\总数四十八页\编于十七点目前二十七页\总数四十八页\编于十七点目前二十八页\总数四十八页\编于十七点目前二十九页\总数四十八页\编于十七点

因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题目前三十页\总数四十八页\编于十七点二、立体几何中的向量方法——证明平行与垂直目前三十一页\总数四十八页\编于十七点ml（一）.平行关系：目前三十二页\总数四十八页\编于十七点α目前三十三页\总数四十八页\编于十七点αβ目前三十四页\总数四十八页\编于十七点（二）、垂直关系：lm目前三十五页\总数四十八页\编于十七点lABC目前三十六页\总数四十八页\编于十七点αβ目前三十七页\总数四十八页\编于十七点四、平行关系：目前三十八页\总数四十八页\编于十七点五、垂直关系：目前三十九页\总数四十八页\编于十七点例1

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2

.求证：AE//FG.ABCDPGXYZFEA(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE//FG证：如图所示,建立空间直角坐标系.//几何法呢？目前四十页\总数四十八页\编于十七点例3四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA//平面EDB.ABCDPEXYZG法1几何法目前四十一页\总数四十八页\编于十七点ABCDPEXYZG法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG目前四十二页\总数四十八页\编于十七点ABCDPEXYZ法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：设平面EDB的法向量为目前四十三页\总数四十八页\编于十七点XYZABCDPE法4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1(1)证明：解得x＝－２,ｙ＝１目前四十四页\总数四十八页\编于十七点A1xD1B1ADBCC1yzEF是BB1,，CD中点，求证：D1F例2

正方体中，E、F分别平面ADE.

证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，所以目前四十五页\总数四十八页\编于十七点A1xD1B1ADBCC1yzEF目前四十六页\总数四十八页\编于十七点,E是AA1中点，例3

正方体平面C1BD.

证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)设平面EBD的一个法向量是平面C1BD.

平面EBDxyz目前四十七页\总数四十八页\编于十七点期中22．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是