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（优选）第九章方向导数与梯度目前一页\总数三十二页\编于五点一、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．目前二页\总数三十二页\编于五点当沿着趋于时，是否存在？目前三页\总数三十二页\编于五点记为方向导数的几何意义目前四页\总数三十二页\编于五点过直线作平行于z轴的平面与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为C

表示C的割线向量即即割线转化为切线目前五页\总数三十二页\编于五点上式极限存在就意味着当点趋于点曲线C在点P0有唯一的切线它关于方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl目前六页\总数三十二页\编于五点证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到目前七页\总数三十二页\编于五点故有方向导数目前八页\总数三十二页\编于五点解目前九页\总数三十二页\编于五点解由方向导数的计算公式知故目前十页\总数三十二页\编于五点推广可得三元函数方向导数的定义目前十一页\总数三十二页\编于五点解令故方向余弦为目前十二页\总数三十二页\编于五点故目前十三页\总数三十二页\编于五点二、梯度的概念问题：目前十四页\总数三十二页\编于五点目前十五页\总数三十二页\编于五点在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线目前十六页\总数三十二页\编于五点等高线的画法目前十七页\总数三十二页\编于五点例如,目前十八页\总数三十二页\编于五点梯度与等高线的关系：目前十九页\总数三十二页\编于五点此时f(x,y)沿该法线方向的方向导数为故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。目前二十页\总数三十二页\编于五点梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.目前二十一页\总数三十二页\编于五点目前二十二页\总数三十二页\编于五点解由梯度计算公式得故目前二十三页\总数三十二页\编于五点例5求函数沿曲线在点处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从x轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在两边对x求导目前二十四页\总数三十二页\编于五点解得（切线斜率）故法线斜率为内法线方向的方向余弦为而由得目前二十五页\总数三十二页\编于五点解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看，f(x,y)在点P的梯度目前二十六页\总数三十二页\编于五点方向与过点P的等高线f(x,y)=C在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线等高线为f(x,y)=C即椭圆大于椭圆因此在点处的内法线恰好是梯度方向目前二十七页\总数三十二页\编于五点故目前二十八页\总数三十二页\编于五点三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系思考

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