人教版数学八年级下册《期中考试卷》含答案解析

人教版数学八年级下学期

期中测试卷

学校班级姓名________成绩________

一、单选择题

1.下列图形中，属于中心对称图形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或直角三角

形

3.下列各组线段能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.7,12,13C,5,8,10D.15,20,25

4.在必8。中，NA：：NC：ND的值可以是（）

A.1：2：3：4B.1：2：2：1

C.1：1：2：2D.2：1：2：1

5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等

6.如图,AD〃BC,ZABC的平分线BP与NBAD的平分线AP相交于点P,作PE±AB于点E,若PE=2,则

A2B.3C.4D.5

7.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

8.如图,菱形ABCD中,E.F分别是AB、AC的中点,若EF=3,则菱形ABCD的周长是（）

C

A.12B.16C.20D.24

9.如图,在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心,AB长为半径画弧，交边AD于点；②再

分别以B,F为圆心画弧,两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E,连接

BF,若BF=3,AB=2.5,则AE的长为（）

A.2B.4C.8D.5

10.如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG,若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个

正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）

A.不变B.先增大再减小C.先减小再增大D.不断增大

11.如图，正方形A8CD和正方形CEFG中，点。在CG上,8C=1,CE=3,4是AF的中点，那么的长是

()

G

BC

36

~rD.V5

12.如图，在uABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CELAB,垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），

连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是（）

®ZDCF=—ZBCD；②EF=CF；③S独EC<2S&CEF；④NDFE=4/AEF

A.①②③④B.①②③C.①②D.①②④

二、填空题

13.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的

高度为米.

14.如图，数轴上点A表示的数据为

-4-3A-2-10

15.三个正方形的面积如图所示,则字母8所代表的正方形的面积是

16.如图,。£是448。的中位线,点尸在OE上,且NAFB=90。,AB=6,BC=10,则EF=

17.如图,在矩形ABCD中，点E在边CD上,将矩形ABC。沿AE所在直线折叠，点。恰好落在边BC上的点

尸处.若AB=8,OE=5,则折痕AE的长为.

18.如图，菱形ABCQ对角线交于点0,8。=6,AC=8,P是线段AC上一动点，E是线段AB上一个

动点,则BP+EP的最小值为

三、解答题

19.如图，NA=ND=9(r,AC=DB,AC、DB相交于点0.求证：0B=0C.

20.如图,。ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.求证：BE=DF.

B

21.如图，在四边形ABC。中，A8=BC=6,。。=9,4。=3,且45_18。于艮求四边形ABC。的面

积.

22.如图，在Rt“BC中，NBAC=90。,4。平分NBAC,过AC的中点E作FG//AD,交BA的延长线于点F,

交BC于点G,

(1)求证：AE=AF；

(2)若BC=&A8,AF=3,求BC的长.

23.在平行四边形ABCD中，连接AC、BD交于点0,点E为AD中点,连接CE并延长交于BA的延长线

于点F,连接DF.

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形;

(2)若AD=2AB,NABC=60。,试判断四边形ACDF的形状，并说明理由.

24.己知：如图，在口A3C中，AC,AOL8C,AN为DABC外角NCAM的平分线，CELAN.

(1)求证：四边形AOCE为矩形；

(2)当A。与BC满足什么数量关系时，四边形ADCE是正方形?并给予证明

AZ

25.如图,在矩形ABCD中，BC=4,AB=10,E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点A出发，以每秒1个单

位的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.

(1)求BE的长;

(2)当t为多少秒时,4BPE直角三角形?

26.如图①，已知点。为正方形ABC。的对角线的交点，点P是对角线AC上的一个动点(点P不与A、C

重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、f，连接0E和。尸.

(1)求证：OE=OF；

(2)如图②，延长正方形对角线CA,当点尸运动到C4的延长线上时，通过证明判断(1)中的结论是否仍

然成立;

(3)若点P在射线0A上运动，AE=1,CE=4,求线段0E的长.

答案与解析

一、单选择题

1.下列图形中，属于中心对称图形的是（）

AB

®（S）c©0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据中心对称图形的概念求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；

D、是轴对称图形,不是中心对称图形，故此选项错误.

故选：B

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念,解题的关键是寻找对称中心，图形旋转180。后与原图重合.

2.如果一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3,那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或直角三角

形

【答案】B

【解析】

（详解】设一份为k。,则三个内角的度数分别为k。,2k。,3k°,

根据三角形内角和定理,可知ko+2k°+3ko=180°,

得k°=30°,

那么三角形三个内角的度数分别是30°,60。和90°

故选B

3.下列各组线段能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.7,12,13C.5,8,10D.15,20,25

【答案】D

【解析】

【分析】

欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【详解】A、12+22*22,不能构成直角三角形;

B、72+122声132,不能构成直角三角形；

C、52+8V102,不能构成直角三角形；

D、152+2()2=252,能构成直角三角形.

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，己知三角形三边的长，只要利

用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a?+b2=c2,那么这个三角形是直

角三角形.

4.在口48。中，/A：N8：NC：的值可以是()

A.1：2：3：4B,1：2：2：1

C1：1：2：2D.2：1：2：1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得到NA=NC,NB=ND,/B+NC=180\NA+ND=180。，根据以上结论即可选出答

案.

,/四边形ABCD是平行四边形，

/A=/C,/B=/D,

：.ZA:ZB:ZC:ZD的值可以是2:1:2:1.

故选D.

【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关

键,题目比较典型，难度适中.

5.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.对边平行且相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线相等

【答案】D

【解析】

【分析】

矩形的对角线互相平分且相等,而平行四边形的对角线互相平分,不一定相等.

【详解】解：A.对边平行且相等,B.对角相等,C.对角线互相平分，均是矩形和平行四边形都具有的性质.

D.对角线相等是矩形具有,而平行四边形不一定具有的性质.

故选：D.

【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性,要注意运用矩形具备而一般

平行四边形不具备的性质.如,矩形的对角线相等.

6.如图,AD〃BC,ZABC的平分线BP与/BAD的平分线AP相交于点P,作PE1AB于点E,若PE=2,则

两平行线AD与BC间的距离为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

试题解析：过点P作MNJ_AD,

：AD〃BC,NABC的角平分线BP与NBAD的角平分线AP相交于点P,PE_LAB于点E,

.*.AP±BP,PN±BC,

，PM=PE=2,PE=PN=2,

MN=2+2=4；

故选C.

7.一个多边形内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【答案】B

【解析】

【分析】

多边形的外角和是360°,则内角和是2X360=720°.设这个多边形是n边形，内角和是（n-2）•180°,这

样就得到一个关于n的方程,从而求出边数n的值.

【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得

（n-2）X180°=2X360,

解得：n=6.

故这个多边形是六边形.

故选B.

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多

边形的内角和定理,求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

8.如图，菱形ABCD中,E.F分别是AB、AC的中点，若EF=3,则菱形ABCD的周长是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD,再根据菱形的周长公式列式计算即可

得解.

【详解】；E、F分别是AC、0c的中点，

•••EF是口人。。的中位线，

/.AD=2EF=2x3=6,

菱形A6C。的周长=4AD=4x6=24.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了菱形的四边形都相等,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,求出

菱形的边长是解题的关键.

9.如图,在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心,AB长为半径画弧，交边AD于点；②再

分别以B,F为圆心画弧,两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于点E,连接

BF,若BF=3,AB=2.5,则AE的长为（）

A.2B.4C.8D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

连接EF,先证AF=AB=BE,得四边形48即是菱形,据此知AE与BF互相垂直平分,继而得0B的长，由勾股

定理求得0A的长,继而得出答案.

【详解】由题意得：AF=AB,A£为的角平分线，则

又：四边形ABCD是平行四边形，则AD//BC,NBAE=NFAE=NBEA,；.AF=AB=BE.

Dp

连接EF,则四边形ABEF是菱形，.ME与8尸互相垂直平分，设AE与相交于点0,0B=k=1.5.在

2

RtAAOB中,0A=^AB2-OB2=V2.52-1.52=2,则AE=2OA=4.

故选B.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的

尺规作图方法等.

10.如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG,若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150。，两个

正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（)

A.不变B.先增大再减小C.先减小再增大D.不断增大

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形性质得出NBOC=/EOG=90o,NOBC=/OCD=45o,OB=OC,求出NBOM=NCON,根据ASA证4B

0Mg△CON,推出两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积等于SABOC=^S正方形ABCD,即可得出选项.

4

【详解】•••四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，

，ZBOC=ZEOG=90°,ZOBC=ZOCD=45°,OB=OC,

ZBOC-ZCOM=ZEOG-ZCOM,

即/BOM=NCON,

•.,在ABOM和ACON中

NBOM=ZCON

<OB=OC,

NOBM=/OCN

...△BOM岭△CON,

.•.两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是

1

SACOM+SACNO=SACOM+SABOM=SABOC=­S正方形ABCD,

4

即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于!S正方形ABCD,

4

故选A.

【点睛】

本题考查了正方形性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△BOMg^CON,即aBOM得面积等

于△CON的面积.

11.如图，正方形A8CD和正方形CEFG中，点。在CG上,BC=1,CE=3,，是A尸的中点,那么CH的长是

()

G

A

BE

5「36

A.2B.-X_z«-----D.75

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到AB=BC=1,CE=EF=3,ZE=90°,延长AD交EF于M,连接AC、CF,求出NACF=90。,

得到CH=gAF,根据勾股定理求出AF的长度即可得到答案.

（详解】•/正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上,BC=1,CE=3,

；.AB=BC=1,CE=EF=3,/E=90°,

延长AD交EF于M,连接AC、CF,

贝ijAM=BC+CE=1+3=4,FM=EF-AB=3-1=2,ZAMF=90°,

•••四边形ABCD和四边形GCEF是正方形,

ZACD=ZGCF=45°,

ZACF=90°,

为AF的中点,

1

.\CH=—AF,

2

在RSAMF中，由勾股定理得：AF=7AM2+MF2=A/42+22=2>/5.

.,.CH=V5,

故选：D.

【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助

线得到/ACF=90。是解题的关键.

12.如图，在oABCD中,AD=2AB,F是AD的中点，作CELAB,垂足E在线段AB上(£不与人、B重合)，

连接EF、CF,则下列结论中一定成立的是()

①/DCF=gNBCD；②EF=CF；③SGEC〈ZS^EF；@ZDFE=4ZAEF

A.①②③④B.©©③C.①②D.①②④

【答案】B

【解析】

【分析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出/丝△OMF(ASA)，得出对应线段之间

关系进而得出答案.

【详解】解：①是AD的中点,.MFSD

•.•在以BCD,AD=2AB,：.AF^FD=CD,：.NDFC=NDCF.

-：AD//BC,：.NDFC=NFCB,：.ZDCF=ZBCF,.\NDCF=g/BCD故①正确；

延长EF,交CD延长线于M.

•：四边形ABC。是平行四边形,ZA=ZMDF.

：F为AQ中点,：.AF=FD.在AAEF和△。尸M

-ZA=AFDM

中，＜AF=DF,：./\AEF^/\DMF(ASA),：.FE=MF,ZAEF^ZM.

ZAFE=NDFM

,：CE1AB,：.ZAEC=90°,：.ZAEC=ZECD=90°.

FM=EF,：.E/=CF,故②正确；

(3)EF-FM,SAEFC=SACFM.

MOBE,S^BEC<2sAEFC

故③正确；

④设NFEC=x,则

ZFCE=x,：.NDCF=NDFC=90。-x,.\ZEFC=180°-2x,：.ZEFD=900-x+180°-2x=270°-3x.

,/ZAEF=90°-x,：./£>FE=3NAEF,故④错误.

故答案为B.

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出aAEF畛△CMF是解题

的关键.

二、填空题

13.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的

【解析】

【分析】

如图，由于倒下部分与地面成30。夹角，所以NBAC=30。，由此得到AB=2CB,而离地面米处折断倒下，即

BC=4米,所以得到AB=8米,然后即可求出这棵大树在折断前的高度.

【详解】如图,

,/ZBAC=30°,ZBCA=90°,

/.AB=2CB,

而BC=4米,

；.AB=8米,

这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米.

故答案为12.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的边长的性质，牢牢掌握该性质是解答本题的关键.

14.如图，数轴上点A表示的数据为

B

-4-3A-2-101X

【答案】-V5

【解析】

试题分析：先根据勾股定理求得OB的长，即可得到OA的长，从而得到结果.

1耍藕=逊=J妒普喂

.•.数轴上点A表示的数据为反

考点：勾股定理

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成.

15.三个正方形的面积如图所示，则字母8所代表的正方形的面积是,

【答案】144

【解析】

【分析】

在本题中，外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方，实际上是求另一直角边的平方,用勾股定理即可

解答.

【详解】解：如图，

根据勾股定理我们可以得出：

a2+b2=c2

a2=25,c2=169

b2=169-25=144

因此B的面积是144.

故答案为144.

【点睛】本题考查正方形的面积公式和勾股定理的应用.解题关键是搞清楚直角三角形的斜边和直角边.

16.如图,OE是AABC的中位线，点尸在OE上,且NAFB=90。,A8=6,BC=10,则EF=

【答案】2

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理求出DE,根据直角三角形的性质求出。尸，计算即可.

【详解】解：•.•£)£为A4BC中位线，

\DE=-BC=5,

2

-ZAFB=90°,。是AB的中点，

\DF=-AB=3,

2

\EF=DE-DF=5-3=2,

故答案为：2

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第

三边的一半是解题的关键.

17.如图,在矩形ABC。中，点E在边CDt,将矩形48C。沿AE所在直线折叠,点。恰好落在边8c上的点

尸处.若A8=8,DE=5,则折痕AE的长为.

【答案】56

【解析】

【分析】

由折叠性质得出FE=DE=5,AF=AD,根据勾股定理求得CF=4,设AD=BC=AF=x,BF=x-4,在RtAABF中，由

勾股定理得出方程8z+(x—4)2=/，解得x=AD=10,在RtAADE中再次应用勾股定理可得出答案.

【详解】•.•四边形ABCD是长方形，

ZC=90°,AB=CD,AD=BC,

由折叠的性质可得：EF=DE=5,AD=AF,

，CE=CD-DE=3,

在RtACEF中，CF=yjEF2-CE2=A/52-32=4-

设AD=BC=AF=x,则BF=x-4,

.•.在RlZ^ABF中，82+(%-4)2=^,

解得：x=10,

在RtAADE中，AE=，3+正=加+5?=5石•

故答案为5G.

【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理,注意掌握折叠前后图形的对应关系，逐步分析,

注意数形结合思想的应用.

18.如图，菱形A8CD的对角线交于点O,BD=6,AC=8,P是线段AC上一动点，E是线段AB上一个

动点，则BP+EP的最小值为—

【答案】y

【解析】

【分析】

本题中BP+EP是折线段,要想最小，故想办法将折线段拉直，故过B点作AC的对称点,刚好为D点,连接DP,

则发现DP=BP,故相当于求DP+PE的最小值,根据点到直线的距离垂线段最短知：过D点作AB的垂线,交

AB于H点,DH即为最小值,再利用菱形等面积法求DH的长.

【详解】解：过B点作AC的对称点，由菱形对称性知刚好落在D处,连接DP,

则BP=DP,故BP+EP=DP+EP,

过D点作DHJ_AB于H点，

...当E、P、D三点共线，且DELAB时，由点到直线的距离垂线段最短知：

此时DP+EP有最小值,为DH长.

又四边形ABCD为菱形,DHLAB,

由菱形的等面积法知：ABxDH-yxACxBD,且AB=5,代入数据：

1皿24

5xDH=—x8x6,故DH=—.

25

24

故答案为：.

【点睛】本题考查了菱形的性质、菱形的对称性、点到直线距离垂线段最短；本题关键是能想到过B点作

AC的对称点,落在D处，即PB=PD,再利用点到直线距离垂线段最短求解；菱形的两个面积公式：一个是底

X高,另一个是对角线乘积的一半.

三、解答题

19.如图，NA=ND=9(T,AC=DB,AC、DB相交于点0.求证：OB=OC.

D

【答案】证明见解析.

【解析】

分析：因为NA=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtZ\BAC丝Rt^CDB(HL),所以NACB=/DBC,故OB=OC.

【解答】证明：在RtAABC和RtADCB中

BD=CA

BC=CB'

.".RtAABC^RtADCB(HL),

ZOBC=ZOCB,

.,.BO=CO.

点睛：此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的

重要工具.

20.如图,nABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE=CF.求证：BE=DF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得BO=DO,AO=CO,再利用等式的性质可得EO=FO,然后再利用SAS定理判定

△BOE^ADOF即可.

【详解】证明：•••四边形是平行四边形，

Z.BO=DO,AO=CO,

•：AE=CF,

：.AO-AE^CO-FO,

：.EO=FO,

BO=DO

在ABOE和△Q。尸中，,NBOE=ZDOF,

EO=FO

.二△BOE丝ADOF(SAS),

:.BE=DF.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相

平分，证明三角形全等是解题的关键.

21.如图，在四边形A8CO中，AB=8C=6,CD=9,A。=3,且AB，8c于8.求四边形43co的面

积.

【答案】18+972.

【解析】

【分析】

根据勾股定理求出AC,根据勾股定理的逆定理得出ACAD是直角三角形,分别求出AABC和ACAD的面积,

即可得出答案.

【详解】解：•.•在aABC中,ABLBC,AB=BC=6,

AC=672，

^EAACD中，；CD=9,AD=3,AC=6夜，

.\AD2+AC2-CD2,

...△ACD是直角三角形，

.••SAADC=JX3X6收=9a,

：SAABC=}XABXBC=18,

SABCD-SAABC+SAACD=18+9-y2•

即四边形ABCD的面积为18+972.

【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,解此题的关键是得出4CAD是直角三角形.

22.如图,在RMABC中，NBAC=90。,A。平分NBAC,过AC的中点E作FG〃4O,交8A的延长线于点F,

交BC于点、G,

(1)求证：AE—AF；

(2)若BC=石AB,AF=3,求BC的长.

3l

【答案】(1)见解析；(2)BC=.

2

【解析】

【分析】

(1)由N34C=90°平分NR4C,得NDA3=45°,又FG〃A。所以NE=NOA3=45°,NAEF=45°,

所以NF=NAEF,因此AE=AF；(2)由A尸=3,AE=3,AC=2AE=6,在Rt/VIBC中,求出

33片

AB=一,因此BC=—yJ5.

22

【详解】(1)・・・N&4C=90°平分NA4c

AZDAB=-ZCAB=—X90°=45°,

22

,:FG〃AD

：.ZF=ZDAB=450,ZAEF=45°,

AZF=NAEF,

：.AE=AF；

(2)TA尸=3,

AAE=3,

・・,点E是AC的中点，

：.AC=2AE=6f

在RtZVIBC中,AN+AQMBC2,

：.AB2+32=(小AB)2,

3

解得AB=—,

2

BC=-^5.

2

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键.

23.在平行四边形ABCD中，连接AC、BD交于点0,点E为AD的中点，连接CE并延长交于BA的延长线

于点F,连接DF.

(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；

(2)若AD=2AB,/ABC=60。,试判断四边形ACDF的形状，并说明理由.

【答案】(1)详见解析；(2)四边形ACDF是平行四边形，详见解析

【解析】

【分析】

(1)利用平行四边形的性质，即可判定4FAE丝ZXCDE,即可得到CD=FA,再根据CD〃AF,即可证得四边

形ACDF是平行四边形：

(2)利用平行四边形的性质，即可判定4BCF是等边三角形,FC=CD,即可判定是矩形.

【详解】(1)证明：在UABCD中，AB〃CD,NFAD=NCDA,

•.•点E为AD的中点，

；.AE=DE,

又：/AEF=/DEC,

.,.△AEF^ADEC

，AF=CD,

又；AF〃CD,

四边形ACDF是平行四边形；

(2)解：由(1)知四边形ACDF是平行四边形，AF=CD,

1

VAB=CD；.AF=AB=—BF

2

又：AD=2AB,AD=BC,

；.BF=BC,

•../ABC=60。，.♦.△BCF是等边三角形，

；.FC=AD,

平行四边形ACDF是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、等边三角形的判定、矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题

的关键.

24.已知：如图，在DABC中，AB=AC,AOL8C,AN为DABC外角NC4M的平分线，CELAN.

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

（2）当AD与BC满足什么数量关系时，四边形ADCE是正方形?并给予证明

【答案】（1）见解析（2）AO=g8C,理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE_LAN,ADJ_BC,所以求证NDAE=90°,可以证明

四边形ADCE为矩形.（2）由正方形AOCE的性质逆推得AO=DC,结合等腰三角形的性质可以得到答案.

【详解】（1）证明：在AABC中，AB=AC,AD_LBC,

VAN是4ABC外角ZCAM的平分线，，ZMAE=ZCAE,

.\ZDAE=ZDAC+ZCAE=-X180°=90°,

2

XVAD±BC,CE±AN,AZADC=ZCEA=90°,

四边形ADCE为矩形.

（2）当A3=；8C时，四边形ADCE是一个正方形.

理由：,?AB=AC,AD1BC,BD=DC

■.•AD=-BC,:.AD=BD=DC,

2

•••四边形ADCE为矩形，.•.矩形ADCE是正方形.

当AD=；BC时，四边形ADCE是一个正方形.

【点睛】本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识

点是关键.

25.如图,在矩形ABCD中,BC=4,AB=10,E为CD边上的一点,DE=7,动点P从点A出发，以每秒1个单

位的速度沿着边AB向终点B运动,连接PE.设点P运动的时间为t秒.

(1)求BE的长；

(2)当t为多少秒时,ABPE是直角三角形？

【答案】(1)5；(2)当t=7或土秒时，Z\BPE为直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)在直角4ADE中，利用勾股定理进行解答；

(2)需要分类讨论NBPE=90。和/BEP=90。两种情况下的直角三角形.

【详解】解：(1)由题意知,CD=AB=10,DE=7,BC=4

CE=CD-DE=10-7=3,

在RtACBE中，BE=VBC2+CE2=742+32=5；

(2)①当以P为直角顶点时，即NBPE=90。，

AP=10-3=7,则t=7+l=7(秒)，

②当以E为直角顶点时，即/BEP=90。，由勾股定理得BE2+PE2=BP2,

设AP=t,BP=10-t,PE2=42+(7-t)2

即52+42+(7-t)2=(10-t)2,

解得,t=|,

当t=7或,秒时,4BPE为直角三角形.

【点睛】本题考查了四边形综合题,综合勾股定理,直角三角形的性质，一元二次方程的应用等知识点,要注

意分类讨论，以防漏解.

26.如图①，已知点。为正方形A8CO的对角线的交点，点P是对角线AC上的一个动点(点P不与A、C

重合)，分别过点A、C向直线8尸作垂线，垂足分别为点区/，连接OE和。尸.

(1)求证：OE=O尸；

(