线性代数笔记彩色版

2014秋季学期n2

3 《LinearAlgebraandItsApplications》,Third Edition,DavidC.Lay 4课程网 ：elac Chrome5答疑时间：第5周到第1712:00-14:00答疑地点：二区BX215室，BX217 “哈工大线性代数 640%20%20%40%20%20%10%10%BX215(217).

9:00-16:00.

7第一章前言nGramer

8行列式(determinant)9Jacobian行列式（变量代换求积分）计算晶体的体积：Cauchy v1 V=(1/6)V’ V’n ⎧a11x1+a12x2= a11a22 ≠0⎩a21x1+a22x2=b2(2) aij:

a2211

=a11a22- ⎧a11x1+a12x2+a13x3=┃⎨a21x1+a22x2+a23x3=b2┃⎩a31x1+a32x2+a33x3=b3 a13 a22 a23 a32 a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a3112例：1，2，3的全排列全排列：p1p2…pi的逆序数ti=排在pi前且比pi大的数的个数

全排列p1p2…pn的逆序数t(p1p2…pn)=t1+t2+…+tn例1：a.求自然排列12345的逆序数.b.求t(53241).定理1.1 13 a22

=a11a22-a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33a13a21a22a23a31a32a33 a11a

23a32

a12a

21a33

a13a

22a31 2阶3阶

14

行脚标自然排列.列脚n定义1.1n a22 an2

a2n

=∑(-1

pana a其中“ ”是对所有n阶排列 行列式简记作Δ(aij).15例2

a14 a22 a23 a24 a32 a34

=a11a22a32a33

a44

a22

a1,a2,n-

a2n

=a11a22…ann an-1,n- an-1,

16 a1,n- a22 a23 a2,n- an-1,1an-

t(n,n-=(-1

a2,n-1…an- 例:

-3103-002-3103-00200017

=(-1)n(n-1)/2an1an-1,2…a2,n- a22

a2n

a=∑(-1)t(q1q2…⋯qn)aq q2aqa an2 a22

a2n

12n12n an2 18

D’是D a22

a22

an2

性质

D=1.1⇒“行”的性质同样适用于“列”.性质推论

(列)，行列式变号两行（列）相同⇒行列式＝0.19……⋮⋮⋮⋮⋮⋮kai2…kain=ai2…ainan2…an2…2a12b12c1 a2 b2 c2 =a3 b3 c3

a2 b2 c2a3 b3 c3A B(a2,b2,c2) C(a3,b3,c3)

A’(2a1,2b1,2c1)20……⋮⋮⋮ai1+a’i1⋮ai2+a’i2⋮…ain+a’in⋮an2…=

………⋮⋮⋮⋮⋮⋮ai2…ain+a’i2…a’in⋮⋮⋮⋮⋮⋮

an2 21推论 两行（列）成比例⇒行列式＝0.性质1.5行列式的某一行乘以k加到另一行,行列式 ai2…ainai2…ain⋮⋮⋮=⋮⋮⋮aj1+kai1aj2+kai2…ajn+kainaj1aj2…ajn⋮⋮⋮⋮⋮⋮an2…an2…注：性质1.5在化简行列式中最常用22交换第i行（列）和第 ri↔rj ci↔c第i行（列）乘以k×ri;k×ci第i行（列）提出公因子(1/k)×ri;数k乘以第i行（列）加到第 rj+kri;cj+kci23例3计 D

- - - - - - 例4

c1a2 b2 a3 b3 c3

=

a’2c2 b2 =a’3c3b3a1+2a’1a2+2a’2