套利定价模型

套利定价模型(APT)第一页，共四十五页。​CAPM的局限性相关假设条件的局限性市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符；投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是无成本的，与现实不符；投资者为风险厌恶的假设过于严格；

问题提出的背景第二页，共四十五页。​CAPM的实证检验问题市场组合的识别和计算问题

CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方法。所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是，均衡资产的收益率取决于市场资产组合的期望收益率。理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合，每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总价值的比重。但实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎是不可能的。问题提出的背景第三页，共四十五页。​一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了检验，得出的结果却与现实相悖；单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因素

RosenbergandMarashe（1977）的研究发现：如果将红利、交易量和企业规模加入计量模型，则β系数会更有说服力；问题提出的背景第四页，共四十五页。​

Basu（1977）发现，低市盈率股票的期望收益率高于资本资产定价模型的估计；Banz(1981)的实证研究表明，股票收益率存在“规模效应”，即小公司股票有较的超常收益率；Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存在季节效应；

上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实经济的解释能力.问题提出的背景第五页，共四十五页。​关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’sCritique）

Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见：对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所有风险资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率;如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指数,那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风险资产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起的,没有实际意义；

问题提出的背景第六页，共四十五页。​如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收益的任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选择;该结论断言，即便市场组合是均值-方差效率的,CAPM也是成立的，但使用前述方法得到的SML，也不能够证明单一风险资产均衡收益同β风险、市场组合之间存在某种有意义的关系。因此，罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的模糊,CAPM是无法检验的。问题提出的背景第七页，共四十五页。​罗斯生于1944年，1970年获哈佛大学经济学博士学位。罗斯曾任美国金融学会主席，现任罗尔－罗斯资产管理公司总裁；罗斯研究过许多重大课题，在APT、期权定价理论、利率的期限结构等方面作出过突出贡献；他的关于风险和套利的思想已成为许多投资公司的基本理念。

罗斯(Ross)简介第八页，共四十五页。​1976年，罗斯发表论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的定价模型—APT；

APT用无套利法则定义均衡，且所需假设比CAPM少；APT是建立在一个很重要的概念——套利(Arbitrage)之上的；套利定价模型(arbitragepricingtheory简写为APT)用多个因素来解释风险资产收益并根据无套利原则得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在(近似的)线性关系。因此该理论可以分成两个部分：因素模型和无套利均衡APT的提出第九页，共四十五页。​Ross在1976年发表的套利定价理论一文中指出，任何资产的价格可以表示为一些“共同因素”的线性组合，如通货膨胀、工业增长指数、证券市场综合指数等等；记资产市场中第i种资产的收益率为xi，影响资产收益率的因素收益率为fk(为随机变量)，k=1,2,…K．影响因素中有不可识别，或者未知，或者随机干扰的影响因素收益率为i。则线性因素模型表述为：xi=ai+∑bik

fk+i线性因素模型第十页，共四十五页。​其中，是影响资产收益的随机变量（因素），反映了资产所包含的由K个风险因子所描述的风险，同时，这些因素对所有资产而言都是共同的。它们反映了系统风险，因此，称为因子风险(Factorrisk);系数描述的是资产i对因素k的敏感度（或称之为资产i所包含的第k个因子风险的大小），称为资产i对因素k的因素载荷系数(FactorLoading);是残差项，描述的是与因子风险无关的剩余风险。反映了资产的非系统风险。线性因素模型第十一页，共四十五页。​对于上述线性模型，通常做如下假定(关键变量设定)：任意两种资产的随机误差项相互独立，即随机误差项和因子风险的期望值为零。即随机误差项与各项风险因子相互独立，即各风险资产的特质风险的方差是有界的，即线性因素模型第十二页，共四十五页。​夏普-林特纳的资本资产定价模型认为资产的收益(价格是收益率的倒数)是唯一由市场证券组合收益这个因素(或者指数)决定的，因此可以不太严格地称它为单因素模型.更为一般的单因素模型假定任意风险资产收益由一个公共因素（commonfactor）决定一般采用下面的线性函数形式:

xi=ai+bi

f+i线性因素模型第十三页，共四十五页。​资产组合的线性因素模型假设投资组合中有n中资产，各项资产投资比重为wi，i=1,2,….,n.则：Xp=∑wixi=∑wiai+∑wi(∑bik

fk)+∑i

=∑wiai+∑(∑wibik)fk+pikik线性因素模型第十四页，共四十五页。​案例：假定证券ABC有下列灵敏度如下：且资产组合中投资比重为：该证券组合对于因素1和因素2的灵敏度分别为:线性因素模型第十五页，共四十五页。​套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一简单的说它是一物一价法则(lawofoneprice)的应用。套利是利用同一种实物资产或金融资产的不同价格来获取无风险受益的行为例如在旧货市场上有人愿意用200块钱买入一只老款的机械表而有人愿意以150块卖出时，就意味存在着套利机会。精明的商人或者说套利者arbitrageur会同时按照低价买入按照高价卖出这块手表获得50元的净利润。无套利均衡第十六页，共四十五页。​案例：投资者拥有1200元投资基金平均投放在下面3种由单因素决定收益的风险资产上它们的收益和灵敏度数据如下：这可以是一种均衡状态吗？令Wn

,n=1,2,3代表投入到第i种风险资产上资金数量。令ΔWn

,n=1,2,3代表投资资金数量的变化。投资者个人总财富为W=∑Wn，则Δwn=ΔWn/W。无套利均衡第十七页，共四十五页。​可以构造套利资产组合：Δw1

+Δw2

+

Δw3=0，这就是说套利资产组合必须是自我融资(self-financing)的即通过减少某些证券的持有量来增加其它资产持有量它不需要任何新的投入；b1Δw1

+b2Δw2

+

b3Δw3=0,这是为了保证该套利资产对于因素风险完全免疫；套利资产应当相当分散这在我们的例子中由于只有3种资产很难消除非因素风险不过我们假定存在很多类似的证券完全可以把非因素风险减小到0。无套利均衡第十八页，共四十五页。​由于3个未知数2个方程可以任意为它定解不妨假定Δw1=0.1。得到：得到解：无套利均衡第十九页，共四十五页。​投资者对此会迅速做出反映，他们会抛售掉第3种资产,并使用该笔资金来买入第1、2种资产，这将导致它们价格上涨收益率下降，从而又减少了投资者对它们的需求。对于第3种资产来说情况则正好相反，这种情况将一直持续下去，直到该套利资产组合不再产生净收益这时市场均衡才能达到。无套利均衡第二十页，共四十五页。​思考：存在三只证券时如何创造套利机会？证券价格情形1的回报情形2的回报A7050100B6030120C8038112三只证券A、B、C能以表中的价格在当前购买，且从现在起1年内每只证券只能产生情形1和情形2这两种回报之一.无套利均衡第二十一页，共四十五页。​构造一个包含A和B的投资组合，它将与证券C在情形1或情形2具有相同的收益。以WA和WB分别表示其投资比例。则两种情形下的回报如下：情形1：50WA+30WB=38情形2：100WA+120WB=112联立两等式可解出：WA=0.4WB=0.6无套利均衡第二十二页，共四十五页。​投资组合（A+B）的单位成本0.4×70+0.6×60=64；证券C单位成本为80投资者花64元就获得了与证券C相同的回报。设计套利机会：按0.4和0.6的比例买入A和B并卖空C。无套利均衡第二十三页，共四十五页。​套利结果如下图，其中组合的价值是100万元，卖空的C也是100万元。情形1和情形2，都在没有风险的情况下获利了。这样的机会将被市场迅速消除？A、B、C的市场价格会发生什么变化？证券投资情形1情形2A4028.571557.1429B6030120C-100-47.5-140总计011.071537.1429无套利均衡第二十四页，共四十五页。​单因子模型xi=ai+bi

f

现在考虑两资产i,j,bi≠bj,bi≠0,bj≠0。投资于i资产的比重为w,j资产的比重为1-w。组合收益为x=w(ai-aj)+aj+[w(bi-bj)+bj]f为了消除因子影响,选择w*使得：[w(bi-bj)+bj]=0，得到w*=bj/(bj-bi)此时，相应的资产组合收益率：x*=bj(ai-aj)/(bj-bi)+aj不含残差风险线性因子模型第二十五页，共四十五页。​在无套利条件下，无风险资产组合的收益率为r，则：x*=bj(ai-aj)/(bj-bi)+aj=r.得到(aj-r)/bj=-(ai-aj)/(bj-bi)=λ若资产i和资产j投资比重互换，同理可得：

(ai-r)/bi=-(aj-ai)/(bi-bj)=λ又因为E(xi)=ai=r+λbi其中,λ称为因子的风险溢价。即使无风险资产不存在，由于无风险资产可以通过风险资产构造而得，同样有：E(xi)=λ0+λbi不含残差风险线性因子模型第二十六页，共四十五页。​多因子无残差风险模型xi=ai+bi

f1+ci

f2

其中，向量1,b,c是线性无关的。现在考虑三种资产组成的资产组合，其收益为

X=∑wixi=∑wiai+f1∑wibi+f2∑wici若∑wibi=0，∑wici=0，则资产组合为无风险组合不含残差风险线性因子模型第二十七页，共四十五页。​多因子无残差风险模型不含残差风险线性因子模型第二十八页，共四十五页。​多因子无残差风险模型不含残差风险线性因子模型第二十九页，共四十五页。​因子风险溢价的解释不含残差风险线性因子模型第三十页，共四十五页。​定理：不含残差风险线性因子模型第三十一页，共四十五页。​套利定价理论假设1、资本市场是完全竞争的，无摩擦的。2、投资者是风险厌恶的，且是非满足的。3、所有投资者有相同的预期。4、市场上的证券种类n必须远远超过模型中影响因素的种类k。5、误差项与所有影响因素及证券i以外的其它证券的误差项是彼此独立不相关的。套利定价理论的一般表述第三十二页，共四十五页。​套利定价的假设APT模型相较于CAPM没有以下假设：1、单一投资期2、不存在税收3、投资者能以无风险利率借贷4、投资者以回报率的均值和方差为基础选择投资组合套利定价理论的一般表述第三十三页，共四十五页。​套利组合无风险套利组合的构建是以因素模型为基础的。构建一个无风险套利组合，需要满足以下三个条件：(1)初始投资为零；(2)组合的风险为零；(3)组合的收益率为正。套利定价理论的一般表述第三十四页，共四十五页。​套利组合初始投资为零此时该组合的收益为：套利定价理论的一般表述第三十五页，共四十五页。​套利组合组合的风险为零，即该组合既没有系统性风险，又没有非系统性风险。满足下面三个条件的证券组合符合这一要求：(1)(2)n很大(3)对每个因素而言套利定价理论的一般表述第三十六页，共四十五页。​套利组合根据大数定理，由条件(1)和(2)得：综合（3）得到该组合的收益为：组合的收益为正：当市场均衡时：套利定价理论的一般表述第三十七页，共四十五页。​套利定价模型由于其中称为因素风险溢价。套利定价理论的一般表述第三十八页，共四十五页。​例：股票A、B、C的价格只对利率因素敏感，且敏感程度分别为1.2、1.5和1.8。股票A、B的期望收益率分别为4%、5%和8%。那么，我们可以构建一个无风险套利的组合，即卖出1000美元的股票B，同时买入500美元的股票A和500美元的股票,求组合的期望收益率．无论利率如何变动，组合的期望收益都不受影响。该组合的无风险收益为1%。案例分析第三十九页，共四十五页。​假定不同：APT只假定证券收益率与某些共同因子有关，但并未指定这些共同因子；CAPM则将共同因子确实为市场组合的收益率。CAPM假定所有投资者具有同质期望，都依据均值-方差原则来进行资产选择；APT则无此假定。APT与CAPM模型的区别与联系第四十页，共四十五页。​APT与CAPM模型的区别与联系出发点不同：

APT考察当市场不存在无风险套利而达到均衡状态时,资产如何均衡的定价；CAPM则考察当所有投资者按相似的方式进行投资，而市场最终达到均衡时，资产如何均衡地定价。第四十一页，共四十五页。​市场均衡机制不同：

APT认为只要极少数人的套利行为便可以推动市场达到均衡；CAPM认为是所有投资者的相同的投资行为导致市场均衡的出现。市场均衡机制不同：