第9章8节曲线与方程纸间书屋

第八节曲线与方[考纲]1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的C0[常用结论“Cf(x，y)＝0的曲线”是“C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．B两点，则AB中点M的轨迹方程 [M的坐标为(x，y)，A，B两点的坐标分别是(0，2y)，而 化简，x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程4AB6AM，BMM94，则点M的轨迹方程 9 94 [ABx轴，ABy建立直角坐标系(图略)，A(－3，0)，B(3，0)．M的坐标为(x，y)，AMkAM＝y(x≠－3)，BMkBM＝y(x≠3)．yy

3x＋ ＝9(x≠±3)，M的轨迹方程为943考点 直接法求轨迹方直接法求曲线方程的关注点P(x，y)M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等λ(λ≠0)．PCλC[解 (1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所y

＝λ，xλ

1的轨 的方程为 x－λ

(2)λ＞0时，C为中心在原点，x轴上的双曲线(除去顶点)；当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点λ＝－1时，C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点λ＜－1时，C为中心在原点，y轴上的椭圆(除去短轴的两[教师备选例题 卷Ⅲ)C：[教师备选例题 卷Ⅲ)C：y2＝2xFx轴的两条直l1，l2CA，BCP，Q两点．(1)AB上，RPQ(2)若△PQF的面积是△ABFAB[解 由题意F2，l1y＝a，l2

，A，Bl，l(1)证明：由于F段AB上，故ARk1，FQk2，

＝

(2)lx

-

x

，a|

x1＝0(舍去ABABx轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2＝y 而2所以ABx轴垂直时，ED重合，E点坐标为(1，0)，满足方程2＝－1.M(－1，0)，N(1，0)P使→→

→，→0P[解 设P(x，y)，由M(－1，0)，N(1，0)

MP·MNMP·MN＝2(1＋x)，PM·PN＝x＋y

→ →MP·MNMP·MN，PM·PN，NM·NP0

→ → 即P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点考点 定义法求轨迹方(1)若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由定义易求得圆锥曲线M：(x＋1)2＋y2＝1N：(x－1)2＋y2＝9PMNPC.求C[解 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心N(1，0)，r2＝3.PP(x，y)，半径为PMN内切，所以由椭圆的定义可知，CM，N为左、右焦点，2，33

[母题探究M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝[母题探究M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1N＋y2＝1P[解]PN(1，0)x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，PN(1，0)为焦点，x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.PNx＝－1P[解 由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，P的轨迹是双8

圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，xy进行限1.在△ABC＝4，△ABCBCD→|CD|＝22，则顶点A的轨迹方程 2＝1(x＞ [BC的中点为原点，y标系，E，F分别为两个切点．则所以|AB|－|AC|＝2AB，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，a＝b＝ 所以轨迹方程为22＝1(x＞ 22．(2019·长春模拟)C1：a2＋y＝1(a>1)e＝2F1，F2l1F1l2l1PPF2l2MMC2 [解 由e2＝a2＝a2＝2，得a＝由条件可知Ml1为准线，F2为焦点的抛物线∴C2考点 相关点(代入)法求轨迹方“相关点法”求轨迹方程的基本步骤检验：注意检验方程是否符合题意 卷Ⅱ)OMC2＋yMxNP满足

PQx＝－3上，且·＝1.POQ lC[解 (1)设N(x，0)＝(x－x，y)＝(0，y 由

NP＝2NMx0＝x，y0＝2因 M(x0，y0)C上，所以22P(2)证明：F(－1，0)．Q(－3，t)，P(m，n)， → 由→ OP·PQ＝1得－3m－m＋tn－n又由(1)m2＋n2＝2，所以→ POQ，POQl→本例第(1)问在求解中巧用→

2NM”P(x，y)[教师备选例题xOy中，长为2＋1C，Dx轴、 2.P(1)E(2)经过点(0，1)[教师备选例题xOy中，长为2＋1C，Dx轴、 2.P(1)E(2)经过点(0，1)EA，B＝ MEAOBM[解 (1)设由CP＝2PD，得(x－m，y)＝→所以解得2由| 2＋1，m2＋n2＝(所以(（2y2＝(2整理Ex＋2y2(2)由 OM＝OA＋OB，M坐标为由题意知，AB的斜率存在ABy＝kx＋1，E的方程，则x1＋x2＝－则x1＋x2＝－2k，x1x2＝－ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝ ME上知2即 这时 2原点到直线AB的距离 ＝3，OAMBS＝|AB|·d＝2 1.(2019·太原模拟)F1，F2C43＝1焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为

B.9＋y

4C.4＋3y D．x＋3y [F1(－1，0)，F2(1，0)，P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，

角形重心坐 可得33

即

C43

G的轨迹方程为4

2.(2019·沂州一中月考) A2C2AA1A2