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小学六年级奥数题及答案1.某市举行小学数学竞赛,结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人,及格的人数比不低于80分的人数多22人,恰是不及格人数的6倍,求参赛的总人数?解:设不低于80分的为A人,则80分以下的人数是〔A-2〕/4,及格的就是A+22,不及格的就是A+〔A-2〕/4-〔A+22〕=〔A-90〕/4,而6*〔A-90〕/4=A+22,则A=314,80分以下的人数是〔A-2〕/4,也即是78,参赛的总人数314+78=3922.电影票原价每张假设干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多少元?解:设一张电影票价x元(x-3)×〔1+1/2〕=(1+1/5)x(1+1/5)x这一步是什么意思,为什么这么做(x-3){现在电影票的单价}×〔1+1/2){假设原来观众总数为整体1,则现在的观众人数为〔1+2/1)}左边算式求出了总收入(1+1/5〕x{其实这个算式应该是:1x*〔1+5/1〕把原观众人数看成整体1,则原来应收入1x元,而现在增加了原来的五分之一,就应该再*〔1+5/1〕,减缩后得到〔1+1/5x〕}如此计算后得到总收入,使方程左右相等3.甲乙在银行存款共9600元,如果两人分别取出自己存款的40%,再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等,求乙的存款答案取40%后,存款有9600×〔1-40%〕=5760〔元〕这时,乙有:5760÷2+120=3000〔元〕乙原来有:3000÷〔1-40%〕=5000〔元〕4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖,如果增加10颗奶糖后,巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后,巧克力糖占总数的75%,则原混合糖中有奶糖多少颗?巧克力糖多少颗?答案加10颗奶糖,巧克力占总数的60%,说明此时奶糖占40%,巧克力是奶糖的60/40=1。5倍再增加30颗巧克力,巧克力占75%,奶糖占25%,巧克力是奶糖的3倍奶糖=30/1.5=20颗巧克力=1.5*20=30颗奶糖=20-10=10颗5.小明和小亮各有一些玻璃球,小明说:“你有球的个数比我少1/4!〞小亮说:“你要是能给我你的1/6,我就比你多2个了。〞小明原有玻璃球多少个?答案小明说:“你有球的个数比我少1/4!〞,则想成小明的球的个数为4份,则小亮的球的个数为3份4*1/6=2/3〔小明要给小亮2/3份玻璃球〕小明还剩:4-2/3=3又1/3〔份〕小亮现有:3+2/3=3又2/3〔份〕这多出来的1/3份对应的量为2,则一份里有:3*2=6〔个〕小明原有4份玻璃球,又知每份玻璃球为6个,则小明原有玻璃球4*6=24〔个〕6.搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开场搬运货物,丙开场帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?解:设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
答:丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时解此题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.此题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4三人共同搬完,需要60×2÷〔6+5+4〕=8〔小时〕甲需丙帮助搬运〔60-6×8〕÷4=3〔小时〕乙需丙帮助搬运〔60-5×8〕÷4=5〔小时〕7.一件工作,假设由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙参加一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,假设余下的工作由丙单独完成,还需要几天答案甲乙丙3人8天完成:5/6-1/3=1/2甲乙丙3人每天完成:1/2÷8=1/16,甲乙丙3人4天完成:1/16×4=1/4则甲做一天后乙做2天要做:1/3-1/4=1/12则乙一天做:[1/12-1/72×3]/2=1/48则丙一天做:1/16-1/72-1/48=1/36则余下的由丙做要:[1-5/6]÷1/36=6天答:还需要6天8.股票交易中,每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1%和2%分别交纳印花税和佣金〔通常所说的手续费〕。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股,6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出,老王卖出这种股票一共赚了多少钱?答案10.65*1%=0.1065(元)10.65*2%=0.213(元)
10.1065+0.213=0.3195(元)0.3195+10.65=10.9695(元)
13.86*1%=0.1386(元)13.86*2%=0.2772(元)
0.1386+0.2772=0.415813.86+0.4158=14.2758(元)
14.2758-10.9695=3.3063(元)
答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.9.某书店老板去图书批发市场购置某种图书,第一次购书用100元,按该书定价2.8元出售,很快售完。第二次购书时,每本的批发价比第一次增多了0.5元,用去150元,所购数量比第一次多10本,当这批书售出4/5时出现滞销,便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱,假设赔,赔多少,假设赚,赚多少答案一件工程原方案40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人解:设需要增加x人(40+x)(15-3)=40*15x=10所以需要增加10人10.仓库有一批货物,运走的货物及剩下的货物的质量比为2:7.如果又运走64吨,则剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨?解:第1次运走:2/〔2+7〕=2/9.
64/〔1-2/9-3/5〕=360吨。
答:原仓库有360吨货物。11.育才小学原来体育达标人数及未达标人数比是3:5,后来又有60名同学达标,这时达标人数是未达标人数的9/11,育才小学共有学生多少人?答案原来达标人数占总人数的3÷〔3+5〕=3/8现在达标人数占总人数的9/11÷〔1+9/11〕=9/20育才小学共有学生60÷〔9/20-3/8〕=800人12.小王,小李,小张三人做数学练习题,小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道答案设小王做了a道,小李做了b道,小张做了c道由题意1/2a=1/3b=1/8cc-a=72解得a=24b=36c=9613.甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟,乙做一个零件要5分钟。完成这批零件时,两人各做了多少个零件?答案设甲做了X个,则乙做了〔242-X〕个6X=5〔242-X〕X=110242-110=132〔个〕答:甲做了110个,乙做了132个14.某工会男女会员的人数之比是3:2,分为甲乙丙三组,甲乙丙三组人数之比是10:8:7,甲组中男女比是3:1,乙组中男女比是5:3。求丙组男女人数之比答案设男会员是3N,则女会员是2N,总人是:5N甲组有:5N*10/[10+8+7]=2N,其中:男:2N*3/4=3N/2,女:2N*1/4=N/2乙级有:5N*8/25=8/5N,其中男:8/5N*5/8=N,女:8/5N*3/8=3/5N丙级有:5N*7/25=7/5N丙级中男有:3N-3N/2-N=N/2,女有:2N-N/2-3/5N=9/10N则丙组中男女之比是:N/2:9/10N=5:915.甲乙丙三个村合修一条水渠,修完后,甲乙丙村可灌溉的面积比是8:7:5原来三个村方案按可灌溉的面积比派出劳力,后来因为丙村抽不出劳力,经协商,丙村应抽出的劳力由甲乙两村分担,丙村付给甲乙两村工钱1350元,结果,甲村共派出60人,乙村共派出40人,问甲乙两村各应分得工钱多少元?答案根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数:8+7+5=20份
每份需要的人数:〔60+40〕÷20=5人
甲村需要的人数:8×5=40人,多出劳力人数:60-40=20人
乙村需要的人数:7×5=35人,多出劳力人数:40-35=5人
丙村需要的人数:5×5=25人或20+5=25人
每人应得的钱数:1350÷25=54元
甲村应得的工钱:54×20=1080元
乙村应得的工钱:54×5=270元
p16619题16.李明的爸爸经营已个水果店,按开场的定价,每买出1千克水果,可获利0.2元。后来李明建议爸爸降价销售,结果降价后每天的销量增加了1倍,每天获利比原来增加了50%。问:每千克水果降价多少元?答案.哈利.波特参加数学竞赛,他一共得了68分。评分的标准是:每做对一道得20分,每做错一道倒扣6分。他做对题的数量是做错题的两倍,并且所有的题他都做了,请问这套试卷共有多少道题?解:设哈利波特答对2X题,答错X题20×2X-6X=6840X-6X=6834X=68X=2答对:2×2=4题共有:4+2=6题17.爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行,三人所带行李的质量都超过了可免费携带行李的质量,要另付行李费,三人共付了4元,而三人行李共重150千克,如果这些行李让一个人带,则除了免费局部,应另付行李费8元,求每人可免费携带行李的质量。答案设可免费携带的重量为xkg,则:〔150-3x〕/4=(150-x)/8//等式两边非免费局部单价一样;解方程:x=3018.一队少先队员乘船过河,如果每船坐15人,还剩9人,如果每船坐18人,刚好剩余1只船,求有多少只船?答案解法一:设船数为X,则〔15X+9〕/18=X-115X+9=18X-1827=3XX=9答:有9只船。解法二:(15+9)÷〔18-15〕=8只船--每船坐18人时坐了8只船8+1=9只船19.建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的是2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨答案设2堆为X吨,则一堆为X+85吨X+85-30=2(X-30)x=115(2堆)x+85=115+85=200(1堆)自然数1-100排列,用长方形框出二行六个数,六个数和为432,问这六个数最小的是几答案六个数分别是46474896979820.甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲地驶到乙地用了8小时,在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路长多少千米答案两段路所用时间共8小时。柏油路时间:〔420-x〕÷60泥土路时间:x÷407-(x÷60)+(x÷40)=8有x÷120=1所以x=12021.一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答:一个人一个碗,两个人一只菜碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人设有x个人x+x/2+x/3=55x=3022.学校购置840本图书分给高、中、低三个年级段,高年级段分的是低年级段的2倍,中年级段分的是低年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书?设低年级段分得x本书,则高年级段分得2x本,中年级段分得〔3x-120〕本x+2x+3x-120=8406x-120=8406x=840+1206x=960x=960/6x=160高年级段为:160*2=320(本)中年级段为:160*3-120=360(本)答:低年级段分得图书160本,中年级段分得图书360本,高年级段分得图书320本.23.学校田径组原来女生人数占1/3,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径组总人数的4/9。现在田径组有女生多少人解设原来田径队男女生一共x人1/3x+6=4/9(x+6)x=301/3x+6=30*1/3+6=16女生16人24.小华有连环画本数是小明6倍如果两人各再买2本则小华所有本数是小明4倍两人原来各有连环画多少本?解:设小华的有x本书4(x+2)=6x+24x+8=6x+2x=36x=1825.小春一家四口人今年的年龄之和为147岁,爷爷比爸爸大38岁,妈妈比小春大27岁,爷爷的年龄是小春及妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的年龄各是多少?答案1设小春x岁,则妈妈x+27岁,爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁,爸爸4x+54-38=4x+16岁x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5所以小春5岁,妈妈32岁,爷爷74岁,爸爸36岁。2爷爷+爸爸+〔妈妈+小春〕=爷爷+〔爷爷-38〕+〔爷爷/2)=147爷爷=74岁爸爸=36岁妈妈+小春=小春+27+小春=74/2=37小春=5岁妈妈=5+27=32岁小春一家四口人的年龄各是74,36,32,5岁3(147+38)÷(2×2+1)=37(岁〕36×2=74〔岁〕爷爷的年龄74-38=36〔岁〕爸爸的年龄〔37+27〕÷2=32〔岁〕妈妈的年龄32-27=5〔岁〕小华的年龄26.甲乙两校共有22人参加竞赛,甲校参加人数的5分之1比乙校参加人数的4分之1少1人,甲乙两校各多少人参赛?解:设甲校有x人参加,则乙校有〔22-x〕人参加。x=1022-10=12〔人〕答:甲校有10人参加,乙校有12人参加。27.在浓度为40%的盐水中参加千克水,浓度变为30%,再参加多千克盐,浓度变为50%答案1解设原有盐水x千克,则有盐40%x千克,所以根据关系列出方程:(40%x)/(x+1)=30%得出x=3,再设须参加y千克盐,则有方程:〔1.2+y〕/(4+y)=50%得出y=1.654比45多20%,算法,设所求为x,x〔1+20%〕=54算出结果45答案2设原有溶液为x千克,参加y千克盐后,浓度变为50%由题意,得溶质为40%x,则有40%x/(x+5)=30%解之得x=15千克则溶质有15*40%=6千克由题意,得〔6+y〕/(15+5+y〕=50%解之得y=8千克故再参加8千克盐,浓度变为50%28.某人到商店买红蓝两种钢笔,红钢笔定价5元,蓝钢笔定价9元,由于购置量较多,商店给予优惠,红钢笔八五折,蓝钢笔八折,结果此人付的钱比原来节省的18%,他买了蓝钢笔30枝,则。他买了几支红钢笔?答案红笔买了x支。x=36.29.甲说:“我乙丙共有100元。〞乙说:“如果甲的钱是现有的6倍,我的钱是现有的1/3,丙的钱不变,我们仍有钱100元。〞丙说:“我的钱都没有30元。〞三人原来各有多少钱?答案乙的话说明:甲钱5倍及乙钱2/3一样多所以,乙钱是3*5=15的倍数,甲钱是偶数丙钱缺乏30,所以,甲乙钱和多于70,而乙多于甲的6倍,所以,乙多于60设乙=75,甲=75*2/3÷5=10,丙=100-10-75=15设乙=90,甲=90*2/3÷5=12,90+12>100,不行所以,三人原来:甲10元,乙75元,丙15元30.某厂向银行申请甲乙两种贷款共30万,每年需支付利息4万元,甲种贷款年利率为12%,乙种贷款年利率为14%,该厂申请甲乙两种贷款金额各多少元?答案设:甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额〔30-x〕万元。列式:x*0.12+(30-x)*0.14=4化简:4.2-0.02x=4解得:x=10(万元)31.某书店对顾客有一项优惠,凡购置同一种书100本以上,就按书价的90%收款。某学校到书店购置甲、乙两种书,其中乙种书的册数是甲种书册数的3/5只有甲种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。乙种书每本1.5元,则甲种书每本定价多少元?答案1根据题意,甲种超过了100本,乙种不到100本甲乙花的总钱数比为2:1则甲打折以前,和乙的总钱数比为:〔2÷0.9〕:1=20:9甲乙册数比为5:3甲乙单价比为〔20÷5〕:〔9÷3〕=4:3优惠前,甲种每本:1.5×4/3=2元答案2答案设甲买了x本,则乙为3/5x,x>10032.两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小时,黄昏6时半同时点燃蜡烛,到什么1支剩余局部正好是另一支剩余的2倍?答案两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛,其中A蜡烛是那支烧得快点的A蜡烛,两小时烧完,则每小时燃烧1/2B蜡烛,三小时烧完,则每小时燃烧1/3设过了x小时以后,B蜡烛剩余的局部是A的两倍2〔1—x/2〕=1—x/3由于是6点半开场的,所以到8点的时候刚刚好33.学校组织春游,同学们下午1点从学校出发,走了一段平路,爬了一座山后按原路返回,下午七点回到学校。他们的步行速度平路4Km/小时,爬山3Km/小时,下山为6Km/小时,返回时间为2.5时。问:他们一共行了多少路答案1设走的平路是X公里山路是Y公里Y/3-Y/6=1小时Y=6公里去时共用3.5小时则X/4+Y/3=3.5X=6所以总路程为2〔6+6〕=24km答案2解:春游共用时:7:00-1:00=6〔小时〕上山用时:6-2.5=3.5〔小时〕上山多用:3.5-2.5=1〔小时〕山路:〔6-3〕×1÷〔3÷6〕=6〔千米〕下山用时:6÷6=1〔小时〕平路:〔2.5-1〕×4=6〔千米〕单程走路:6+6=12〔千米〕共走路:12×2=24〔千米〕答:他们共走24千米。工程问题
1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,假设水池没水,同时翻开甲乙两水管,5小时后,再翻开排水管丙,问水池注满还是要多少小时?
解:
1/20+1/16=9/80表示甲乙的工作效率
9/80×5=45/80表示5小时后进水量
1-45/80=35/80表示还要的进水量
35/80÷〔9/80-1/10〕=35表示还要35小时注满
答:5小时后还要35小时就能将水池注满。
2.修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要30天完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有原来的十分之九。现在方案16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,则两队要合作几天?
解:由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30,甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10=7/100,可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。
又因为,要求“两队合作的天数尽可能少〞,所以应该让做的快的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少〞。
设合作时间为x天,则甲独做时间为〔16-x〕天
1/20*〔16-x〕+7/100*x=1
x=10
答:甲乙最短合作10天
3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时?
解:
由题意知,1/4表示甲乙合作1小时的工作量,1/5表示乙丙合作1小时的工作量
〔1/4+1/5〕×2=9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成〞可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。
所以1-9/10=1/10表示乙做6-4=2小时的工作量。
1/10÷2=1/20表示乙的工作效率。
1÷1/20=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答:乙单独完成需要20小时。
4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天乙做,这样交替轮流做,则恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,则完工时间要比前一种多半天。乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成?
解:由题意可知
1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲=1
1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5=1
〔1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后完毕必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天〕
1/甲=1/乙+1/甲×0.5〔因为前面的工作量都相等〕
得到1/甲=1/乙×2
又因为1/乙=1/17
所以1/甲=2/17,甲等于17÷2=8.5天
5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时,徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个?
答案为300个
120÷〔4/5÷2〕=300个
可以这样想:师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2,两次一共全部完工,则徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5,刚好是120个。
6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10棵。单份给男生栽,平均每人栽几棵?
答案是15棵
算式:1÷〔1/6-1/10〕=15棵
7.一个池上装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可将满池水放完。现在先翻开甲管,当水池水刚溢出时,翻开乙,丙两管用了18分钟放完,当翻开甲管注满水是,再翻开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?
答案45分钟。
1÷〔1/20+1/30〕=12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
1/12*〔18-12〕=1/12*6=1/2表示乙丙合作将漫池水放完后,还多放了6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。
1/2÷18=1/36表示甲每分钟进水
最后就是1÷〔1/20-1/36〕=45分钟。
8.某工程队需要在规定日期内完成,假设由甲队去做,恰好如期完成,假设乙队去做,要超过规定日期三天完成,假设先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几天?
答案为6天
解:
由“假设乙队去做,要超过规定日期三天完成,假设先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,〞可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:甲乙的工作效率比是3:2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷〔3-2〕×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
方程方法:
[1/x+1/〔x+2〕]×2+1/〔x+2〕×〔x-2〕=1
解得x=6
9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,假设干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?
答案为40分钟。
解:设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1/120*x=〔1-1/60*x〕*2
解得x=40
二.鸡兔同笼问题
1.鸡及兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡及兔各有几只
解:
4*100=400,400-0=400假设都是兔子,一共有400只兔子的脚,则鸡的脚为0只,鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28=372实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只,相差372只,这是为什么?
4+2=6这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就会减少4只〔从400只变为396只〕,鸡的总脚数就会增加2只〔从0只到2只〕,它们的相差数就会少4+2=6只〔也就是原来的相差数是400-0=400,现在的相差数为396-2=394,相差数少了400-394=6〕
372÷6=62表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡,所以脚的相差数从400改为28,一共改了372只
100-62=38表示兔的只数
三.数字数位问题
1.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少
解:
首先研究能被9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能被9整除,则这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除,则得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除
依次类推:1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19,20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次,则十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除
同样的道理,100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除;
同样的道理:1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被9整除〔这里千位上的“1〞还没考虑,同时这里我们少22
从1000~1999千位上一共999个“1〞的和是999,也能整除;
22的各位数字之和是27,也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解:
(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)
前面的1不会变了,只需求后面的最小值,此时(A-B)/(A+B)最大。
对于B/(A+B)取最小时,(A+B)/B取最大,
问题转化为求(A+B)/B的最大值。
(A+B)/B=1+A/B,最大的可能性是A/B=99/1
(A+B)/B=100
(A-B)/(A+B)的最大值是:98/100
3.A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,则它的准确值是多少
答案为6.375或6.4375
因为A/2+B/4+C/16=8A+4B+C/16≈6.4,
所以8A+4B+C≈102.4,由于A、B、C为非0自然数,因此8A+4B+C为一个整数,可能是102,也有可能是103。
当是102时,102/16=6.375
当是103时,103/16=6.4375
4.一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字及个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解:设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a-100〔16-2a〕-10a-a=198
解得a=6,则a+1=716-2a=4
答:原数为476。
5.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解:设该两位数为a,则该三位数为300+a
7a+24=300+a
a=24
答:该两位数为24。
6.把一个两位数的个位数字及十位数字交换后得到一个新数,它及原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少
答案为121
解:设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a=11〔a+b〕
因为这个和是一个平方数,可以确定a+b=11
因此这个和就是11×11=121
答:它们的和为121。
7.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解:设原六位数为abcde2,则新六位数为2abcde〔字母上无法加横线,请将整个看成一个六位数〕
再设abcde〔五位数〕为x,则原六位数就是10x+2,新六位数就是200000+x
根据题意得,〔200000+x〕×3=10x+2
解得x=85714
所以原数就是857142
答:原数为857142
8.有一个四位数,个位数字及百位数字的和是12,十位数字及千位数字的和是9,如果个位数字及百位数字互换,千位数字及十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解:设原四位数为abcd,则新数为cdab,且d+b=12,a+c=9
根据“新数就比原数增加2376〞可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。
再观察竖式中的个位,便可以知道只有当d=3,b=9;或d=8,b=4时成立。
先取d=3,b=9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。
根据a+c=9,可知a、c可能是1、8;2、7;3、6;4、5。
再观察竖式中的十位,便可知只有当c=6,a=3时成立。
再代入竖式的千位,成立。
得到:abcd=3963
再取d=8,b=4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位适宜的数,所以不成立。
9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字及十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解:设这个两位数为ab
10a+b=9b+6
10a+b=5〔a+b〕+3
化简得到一样:5a+4b=3
由于a、b均为一位整数
得到a=3或7,b=3或8
原数为33或78均可以
10.如果现在是上午的10点21分,则在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分
答案是10:20
解:
〔28799……9〔20个9〕+1〕/60/24整除,表示正好过了整数天,时间仍然还是10:21,因为事先计算时加了1分钟,所以现在时间是10:20
四.排列组合问题
1.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有〔〕
A768种B32种C24种D2的10次方中
解:
根据乘法原理,分两步:
第一步是把5对夫妻看作5个整体,进展排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2=32种
综合两步,就有24×32=768种。
2假设把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()
A119种B36种C59种D48种
解:
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以120/2=60
原来有一种正确的所以60-1=59
五.容斥原理问题
1.有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,则,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()
A43,25B32,25C32,15D43,11
解:根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种
2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,则只解出第二题的学生人数是()
A,5B,6C,7D,8
解:根据“每个人至少答出三题中的一道题〞可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由〔1〕知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由〔2〕知:a2+a23=〔a3+a23〕×2……②
由〔3〕知:a12+a13+a123=a1-1……③
由〔4〕知:a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到
a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3
因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。
3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,则这次考试的合格率至少是多少?
答案:及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87〔表示5题中有1题做错的最多人数〕
87÷3=29〔表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人〕
100-29=71〔及格的最少人数,其实都是全对的〕
及格率至少为71%
六.抽屉原理、奇偶性问题
1.一只布袋中装有大小一样但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?
解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:5+2+2=9〔只〕
答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。
2.有四种颜色的积木假设干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21
解:
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.
3.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出多少只球?
解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球及白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,则就是:
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的,则就是:
6*5+3+1=34〔个〕
如果黑球或白球其中有等于8个的,则就是:
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的,则就是:
6*5+1+1=32
4.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个,然后都放入第四堆中,则,能否经过假设干次操作,使得这四堆石子的个数都一样〔如果能请说明具体操作,不能则要说明理由〕
不可能。
因为总数为1+9+15+31=56
56/4=14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇数,奇数加减假设干次奇数后,结果一定还是奇数,不可能得到偶数〔14个〕。
七.路程问题
1.狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开场追它。问:狗再跑多远,马可以追上它?
解:
根据“马跑4步的距离狗跑7步〞,可以设马每步长为7x米,则狗每步长为4x米。
根据“狗跑5步的时间马跑3步〞,可知同一时间马跑3*7x米=21x米,则狗跑5*4x=20米。
可以得出马及狗的速度比是21x:20x=21:20
根据“现在狗已跑出30米〞,可以知道狗及马相差的路程是30米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是多少路程,就是30÷〔21-20〕×21=630米
2.甲乙辆车同时从ab两地相对开出,几小时后再距中点40千米处相遇?,甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时,求ab两地相距多少千米?
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时〞可知,相遇时甲行了10份,乙行了8份〔总路程为18份〕,两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇,说明两车的路程差是〔40+40〕千米。所以算式是〔40+40〕÷〔10-8〕×〔10+8〕=720千米。
3.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,假设两个人速度不变,还是在原来出发点同时出发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解:
600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
〔50+150〕÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的较大数
〔150-50〕/2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
600/50=12分钟,表示跑得慢者用的时间
4.慢车车长125米,车速每秒行17米,快车车长140米,车速每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,则,快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
答案为53秒
算式是〔140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解:“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车〞就是快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个车长
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