九年级人教版函数及其图象

1.概念在平面内画两条互相

、

重合的数轴,组成平面直角坐标系.在平面直角坐标系内的点和

之间是一一对应的关系.

2.点的坐标的特征(常考点)(1)各象限内点的坐标有如下特征:点P(x,y)在第一象限⇔

;点P(x,y)在第二象限⇔x<0,y>0;点P(x,y)在第三象限⇔

;点P(x,y)在第四象限⇔

.

模块三函数第9讲函数及其图象平面直角坐标系垂直原点有序实数对x>0,y>0x<0,y<0x>0,y<0(2)坐标轴上的点的坐标特征:点P(x,y)在x轴上⇔

,x为任意实数;

点P(x,y)在y轴上⇔

,y为任意实数.

3.点P(x,y)坐标的几何意义点P(x,y)到x轴的距离是

;点P(x,y)到y轴的距离是

;点P(x,y)到原点的距离是

.

4.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征点P(a,b)关于x轴的对称点P1的坐标是

;

点P(a,b)关于y轴的对称点P2的坐标是

;

点P(a,b)关于原点的对称点P3的坐标是

.

y为0x为0|y||x|(a,-b)(-a,b)(-a,-b)5.各象限角平分线上的点的坐标特征第一、三象限角平分线上的横、纵坐标

;第二、四象限角平分线上的横、纵坐标

.

6.点的平移坐标变化规律在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或左平移a个单位长度,可以得到对应点

或

;将点(x,y)向上或下平移b个单位长度,可以得到对应点

或

.

相等互为相反数(x+a,y)(x-a,y)(x,y+b)(x,y-b)函数的概念(常考点)1.函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有

与它对应,那么就说x是

,y是x的函数.

2.函数有三种表示方法,分别是列表法、

、解析法,在解决一些与函数有关的问题时,有时可以同时使用两种或两种以上的方法来表示函数.

3.由函数的解析式作函数的图象的一般步骤是:①列表;②

;③连线.通常称为描点法.

唯一的值自变量图象法描点4.函数自变量取值范围的确定不等于0非负数(≥0)解集点的坐标特征思路点拨:根据x轴上点的纵坐标是0,求出m的值,再代入即可.解析:∵点P(m+2,2m-4)在x轴上,∴2m-4=0,解得m=2,∴m+2=4,则点P的坐标是(4,0).故选A.[例1](2019甘肃)已知点P(m+2,2m-4)在x轴上,则点P的坐标是(

)(A)(4,0) (B)(0,4)(C)(-4,0) (D)(0,-4)A解答此类问题首先根据已知条件判断出点的横纵坐标符号,再根据各象限内点(坐标轴上点)的坐标的符号特征进行判断.点的坐标规律探究[例2]正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图的方式放置,点A1,A2,A3…和点C1,C2,C3…分别在直线y=x+1和x轴上,则点Bn的坐标为

.思路点拨:根据一次函数解析式可得出点A1的坐标,结合正方形的性质可得出点B1的坐标,同理可得出点B2,B3,B4…的坐标,再根据点的坐标的变化规律即可找出点Bn的坐标.(2n-1,2n-1)解析:当x=0时,y=x+1=1,∴点A1的坐标为(0,1).∵四边形A1B1C1O为正方形,∴点B1的坐标为(1,1).当x=1时,y=x+1=2,∴点A2的坐标为(1,2).∵四边形A2B2C2C1为正方形,∴点B2的坐标为(3,2).同理可得,点A3的坐标为(3,4),点B3的坐标为(7,4),点A4的坐标为(7,8),点B4的坐标为(15,8),…,∴点Bn的坐标为(2n-1,2n-1).解决点的坐标规律变化题的常用方法:(1)求出前面几个数据,仔细观察,找出规律,正确确定循环的周期;(2)可在平面直角坐标系中描点,猜测其蕴含的规律.函数概念及自变量的取值范围思路点拨:根据二次根式的意义,被开方数x-1≥0;根据分式有意义的条件,x-3≠0,可以确定x的取值范围.解析:根据题意,得x-1≥0且x-3≠0,解得x≥1且x≠3.x≥1且x≠3

函数自变量的取值范围,一般从以下方面考虑:(1)函数解析式是整式时,自变量可取任意实数;(2)函数解析式中有分式时,要满足分母不能为0;(3)函数解析式中有二次根式时,要满足被开方数大于等于0;(4)实际问题中自变量要满足实际问题有意义.函数图象[例4]甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,下列结论:①甲步行的速度为60米/分;②乙走完全程用了32分钟;③乙用16分钟追上甲;④乙到达终点时,甲离终点还有300米.其中正确的结论有(

)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个A思路点拨:注意横坐标代表甲步行的时间,纵坐标代表甲、乙两人之间的距离,然后结合实际问题得出每段图象对应的实际意义.解析:由题图可得,甲步行的速度为240÷4=60(米/分),故①正确;乙步行的速度为16×60÷(16-4)=80(米/分),∴乙走完全程所用的时间为2400÷80=30(分钟),故②错误;乙追上甲用的时间为16-4=12(分钟),故③错误;乙到达终点时,甲离终点距离是2400-(4+30)×60=360(米),故④错误.综上可得,正确的结论只有①.故选A.(1)实际问题的图象,首先要弄清横、纵坐标表示的意义,然后将问题情境与函数图象的变化结合起来.(2)动点问题的图象,要根据动点运动的路径进行分段讨论,分别求出每段图象的解析式和自变量取值范围,再根据函数类型确定图象.解析:∵点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,∴m=-3,n=2.故选B.1.(2019杭州)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则(

)(A)m=3,n=2 (B)m=-3,n=2(C)m=2,n=3 (D)m=-2,n=-3BB

解析:∵点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),∴x>0,y<0,∴当x=1时,1≤y+4,解得-3≤y<0,∴y可以为-2,故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为(1,-2)(答案不唯一).3.(2019济宁)已知点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),写出一个符合上述条件的点P的坐标

.

(1,-2)(答案不唯一)4.(2018咸宁)如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为

.

(-1,5)5.(2019无锡)“低碳生活,绿色出行”是一种环保、健康的生活方式,小丽从甲地出发沿一条笔直的公