北师大数学必修二讲义第一章立体几何初步71

7.1简单几何体的侧面积[学习目标]1.通过几何体的侧面的展开过程，感知几何体的形状．2.通过对柱、锥、台体的研究，会用公式求柱、锥、台体的侧面积和表面积．3.会区别侧棱、高、斜高等概念，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.【主干自填】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧＝eq\o(□,\s\up3(01))2πrl圆锥扇形S圆锥侧＝eq\o(□,\s\up3(02))πrl圆台扇环S圆台侧＝eq\o(□,\s\up3(03))π(r1＋r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径．2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧＝eq\o(□,\s\up3(04))ch正棱锥S正棱锥侧＝eq\o(□,\s\up3(05))eq\f(1,2)ch′正棱台S正棱台侧＝eq\o(□,\s\up3(06))eq\f(1,2)(c＋c′)h′其中c′，c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高．【即时小测】1．思考下列问题(1)圆柱的侧面展开图是什么图形？如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么圆柱的侧面积公式是什么？提示：圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧＝2πrl.(2)圆锥的侧面展开图是什么图形？如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积公式是什么？提示：如下图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的面积即为圆锥的侧面积，所以S圆锥侧＝eq\f(1,2)×2πr×l＝πrl.(3)正棱锥的侧面展开图如下图，设正棱锥底面周长为c，斜高为h′，如何求正棱锥的侧面积？提示：正棱锥的侧面积就是展开图中各个等腰三角形面积之和，不难得到S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′.2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6B．12C．24D．48提示：D正四棱锥的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，S侧＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．4∶1提示：B以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，∴S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1.4．圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是________．提示：eq\f(\r(3),2)R设底面半径是r，则2πr＝πR，∴r＝eq\f(R,2)，∴圆锥的高h＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R.例1圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等．求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比．[解]如图，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r、R，圆锥母线长为l，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).∴R＝2r，l＝eq\r(2)R.∴eq\f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)πr2＋4πr2)＝eq\f(4πr2,4\r(2)＋1πr2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.类题通法在解与旋转体有关的问题时，经常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题.eq\a\vs4\al([变式训练1])圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)答案C解析圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3).例2正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，连接SE，则SE⊥AB，且SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以eq\f(1,2)×3a×h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.所以a＝eq\r(3)h′.因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2.所以32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.所以h′＝2eq\r(3).所以a＝eq\r(3)h′＝6.所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3).所以S侧＝2S底＝18eq\r(3).则S表＝S侧＋S底＝27eq\r(3).类题通法1正棱锥和正棱台的侧面分别是等腰三角形和等腰梯形，只要弄清相对应的元素求解很简单.2多面体的表面积等于各侧面与底面的面积之和，对正棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形求解，对正棱台则需要构造直角梯形或等腰梯形求解.eq\a\vs4\al([变式训练2])五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面积．解如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8cm和18cm，腰长为13cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BE＝CF.∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC，∴BF＝eq\f(BC＋AD,2)＝eq\f(18＋8,2)＝13.∴BE＝BF－AD＝13－8＝5.又AB＝13，∴AE＝12.∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·AE＝eq\f(1,2)×(18＋8)×12＝156(cm2)．故其侧面积为156×5＝780(cm2).例3已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？[解]如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．(1)设所求圆柱的底面半径为r，则eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，∴r＝R－eq\f(R,H)x，∴S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)·x2(x∈(0，H))．(2)∵S圆柱侧是关于x的二次函数，∴当x＝－eq\f(2πR,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2πR,H))))＝eq\f(H,2)时，S圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．类题通法求组合体表面积的方法解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解．eq\a\vs4\al([变式训练3])已知底面半径为eq\r(3)cm，母线长为eq\r(6)cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积．解如图，由题意易知圆锥的母线长为3cm.则S＝S底＋S柱侧＋S圆锥侧＝π×(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＋π×eq\r(3)×3＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2)．易错点⊳对几何体的表面积考虑不全致错[典例]如图所示，从底面半径为2a，高为eq\r(3)a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．[错解]由题意，知S1＝2π·2a·eq\r(3)a＋2π·(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1－πa2＝(4eq\r(3)＋7)πa2.故S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋7)．[错因分析]挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，错解中未考虑到增加的部分．[正解]由题意，知S1＝2π·2a·eq\r(3)a＋2π·(2a)2＝(4eq\r(3)＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4eq\r(3)＋9)πa2.故S1∶S2＝(4eq\r(3)＋8)∶(4eq\r(3)＋9)．课堂小结1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).1．若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()A.eq\r(2)倍B．3倍C．2倍D．5倍答案C解析设底面半径为r，则S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是eq\r(5)，则长方体的侧面积等于()A．2eq\r(7)B．4eq\r(3)C．6D．3答案C解析设底面边长分别为a和b，则ab＝2且a2＋b2＝5，解得a＝1，b＝2，或a＝2，b＝1，故侧面积为6.3．圆柱的一个底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A．4πSB．2πSC．πSD.eq\f(2\r(3),3)πS答案A解析设底面半径为r，故S＝πr2.由侧面展开图为正方形，则高h＝2πr，则圆柱的侧面积为2πrh＝4π(πr2)＝4πS，故选A.4．底面是菱形的直棱柱，它的两条体对角线长分别为9和15，高是5，则这个棱柱的侧面积是