OneWayANOVA单因素方差分析

（优选）OneWayANOVA单因素方差分析目前一页\总数二十六页\编于十五点品系IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均数65.364.467.370.868.6例调查5个不同小麦品系株高是否差异显著因变量(响应变量):连续型的数值变量株高因素(Factor)：影响因变量变化的客观条件一个因素：“品系”单因素方差分析水平(Level)：因素的不同等级不同“处理”五个水平：品系I-V重复(Repeat)：在特定因素水平下的独立试验五次重复目前二页\总数二十六页\编于十五点单因素方差分析的数据形式X因素的a个不同水平（处理）每

个

处

理

下

n

个

重

复目前三页\总数二十六页\编于十五点方差分析原理线性统计模型：模型中的xij是在第i次处理下的第j次观测值。μ是总平均数。αi是对应于第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应(treatmenteffect)。εij是随机误差，是服从N(0，σ2)的独立随机变量。目前四页\总数二十六页\编于十五点方差分析原理固定因素：

①因素的a个水平是人为特意选择的。②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。固定效应模型：处理固定因素所使用的模型。随机因素：

①因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。②从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。随机效应模型：处理随机因素所使用的模型。目前五页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型

其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相抵，因此

如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。因此，零假设为：

H0：α1＝α2＝…＝αa＝0

备择假设为：

HA：αi≠0（至少有一个i）目前六页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型平方和与自由度的分解

目前七页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型=+平方和的分割总平方和处理平方和误差平方和=+自由度的分割总自由度处理自由度误差自由度处理均方误差均方目前八页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型单因素固定效应模型的方差分析表处理效应对均方的贡献目前九页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型

方差分析统计量：若零假设成立，不存在处理效应，则组内变异和组间变异都只反映随机误差()的大小，此时处理均方()和误差均方()大小相当，F值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果存在处理效应，则处理变异不仅包含随机误差，还有处理效应引起的变异()，此时F值显著大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据

F值的大小可判断各组之间平均数有无显著差别。目前十页\总数二十六页\编于十五点固定效应模型平方和的简易计算

C称为校正项。误差平方和

SSe

＝SST－SSA

减少计算误差

利于编程目前十一页\总数二十六页\编于十五点品系IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5和326.5322.0336.5354.0343.0平均数65.364.467.370.868.6例调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：目前十二页\总数二十六页\编于十五点F4,20,0.05＝2.87，F4,20,0.01＝4.43。F>F0.01，P<0.01。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。方差分析表目前十三页\总数二十六页\编于十五点随机效应模型

其中处理效应αi为随机变量，服从μ=0的独立正态分布，其方差为在随机效应模型中，对单个αi的检验是无意义。若假设不存在处理效应，则αi的方差为零，即零假设为：备择假设为：

目前十四页\总数二十六页\编于十五点随机效应模型单因素随机效应模型的方差分析表随机效应与固定效应的方差分析的比较

①程序相同；

②获得数据的方式不同；假设不同；均方期望不同；适用范围不同。

目前十五页\总数二十六页\编于十五点方差分析应具备的条件1、可加性(Addictivity)：各处理效应与误差效应是可加的。=+平方和的分割总平方和处理平方和误差平方和处理项与随机误差项的交叉乘积和=0目前十六页\总数二十六页\编于十五点方差分析应具备的条件2、正态性(Normality)：

ε:NID(0,σ2)应该是随机的、彼此独立的,服从正态分布。正态性不满足：但处理的误差趋向于处理平均数的函数关系。例如，二项分布数据，平均数期望为φ，方差期望为φ(1-φ)/n，方差与平均数有函数关系。如果这种函数关系是已知的，则可对观察值进行反正弦转换或对数转换、平方根值转换，从而使误差转化成近似的正态分布。目前十七页\总数二十六页\编于十五点方差分析应具备的条件3、方差齐性(Homogeneity)：方差分析中的误差项方差是将各处理的误差合并而获得一个共同的误差方差，因此必须假定资料中有这样一个共同的方差σ2存在(Bartlett检验法)如果各处理的误差方差不齐，则在假设测验中处理效应得不到正确的反映。目前十八页\总数二十六页\编于十五点单因素方差分析的SPSS实现例8.1：小麦株高与品系的关系研究-单因素固定模型的方差分析目前十九页\总数二十六页\编于十五点SPSSone-wayANOVAoutput单因素方差分析的SPSS实现F4,20＝42.279，P≈0.000<0.01。因此，上述5个小麦品系的株高差异极显著。BetweenGroups:处理间WithinGroups:处理内目前二十页\总数二十六页\编于十五点多重比较当方差分析拒绝H0，为探究具体是在哪些组对之间存在显著差异，须对各处理平均数之间进行逐对比较，即多重比较（multiplecomparison）—post-ANOVAanalysis(PostHoctest)。

如何进行多重比较？逐对进行双样本的平均数差的t-检验？增大了犯I型错误的概率，不可取目前二十一页\总数二十六页\编于十五点多重比较方法：

最小显著差数（LSD）检验

Student-Newman-Keuls（SNK）q检验

Duncan检验

Dunnettt检验

Tukey检验

…多重比较目前二十二页\总数二十六页\编于十五点多重比较最小显著差数法（Fisher’sLeastsignificantdifferencetest，LSD）

是t检验的变形，在变异和自由度的计算上利用了整个样本信息，而不仅仅是所比较两组的信息。检验的敏感度最高，倾向于得出差异显著的结论，在比较时仍然存在放大1型错误的问题。目前二十三页\总数二十六页\编于十五点多重比较最小显著差数法（LSD）

当