山西省晋中市祁县高级职业中学高三数学理模拟试卷含解析

山西省晋中市祁县高级职业中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，则M∩N=A．{－1,0,1,2} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{0,1}参考答案：C据题意得：，，.【点睛】先解不等式，化简集合M，N，从而可判定集合的包含关系．

本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合．2.已知函数等于抛掷一颗骰子得到的点数，则在[0，4]上至少有5个零点的概率是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：C3.已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，） B．[，） C．（0，） D．[，e]参考答案：B【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．4.已知直线x﹣9y﹣8=0与曲线C：y=x3﹣px2+3x相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为（）A．4 B．4或﹣3 C．﹣3或﹣1 D．﹣3参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，把x1，x2看作方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值，注意检验．【解答】解：由y=x3﹣px2+3x，得y′=3x2﹣2px+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12﹣2px1+3，3x22﹣2px2+3，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3，令3x12﹣2px1+3=3x22﹣2px2+3=m，∴x1，x2是方程3x2﹣2px+3﹣m=0的两个根，则x1+x2=p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵===p﹣p3，而（）3﹣p（）2+3?=p3﹣p3+p=p﹣p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=p，知线段的中点为（p，（p﹣8）），∴﹣+p=p﹣p3，解得p=﹣1，﹣3或4．当p=﹣1时，y=x3+x2+3x的导数为y′=3x2+2x+3＞0恒成立，即函数为递增函数，直线与曲线只有一个交点，舍去；p=﹣3，或4时，y=x3﹣px2+3x不单调，成立．故选：B．5.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．6.已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A． B．C． D．参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值；函数在某点取得极值的条件．【分析】先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．【解答】解：∵f′（x）=lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）=0，由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1，x2?函数g（x）=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x=是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）=0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）=1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）=﹣a＜0，f（x2）＞f（1）=﹣a＞﹣．故选：D．7.函数的图象大致为(

)参考答案：D8.已知函数，若，且，则的最小值为（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：D9.若集合，，若，则的值为（

）A．2

B．-2

C．-1或2

D．2或参考答案：A10.函数的部分图象如图

所示，则

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式:1=1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15 13=1

…13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

13+23+33+43+53=225 …可以推测:13+23+33+…+n3=

(n∈N*,用含有n的代数式表示).

参考答案：12.如图，四面体中，两两垂直，且

.给出下列命题：①存在点（点除外），使得四面体仅有3个面是直角三角形；②存在点，使得四面体的4个面都是直角三角形；③存在唯一的点，使得四面体是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；④存在唯一的点，使得四面体与四面体的体积相等；⑤存在无数个点，使得与垂直且相等.其中正确命题的序号是

▲

．（把你认为正确命题的序号都填上）

参考答案：①②⑤略13.已知变量x，y满足，则的最小值为________.参考答案：0【分析】画出可行域，分析目标函数得，当在y轴上截距最小时，即可求出的最小值.【详解】作出可行域如图：联立得化目标函数为，由图可知，当直线过点时，在y轴上的截距最小,有最小值为，故填.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.

14.设，用表示不超过x的最大值整数，则y＝称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有＿＿＿①

②

③④

⑤离实数z最近的整数是参考答案：②③⑤15.函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如：函数是单函数，下列命题：①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。其中真命题是

（写出所有真命题的编号）参考答案：②③④16.若函数y=f(x)(x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1,1]时，f(x)=|x|，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0,+∞)时，g(x)=log3x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．参考答案：4f(x+2)=f(x)Tf(x)的周期为2，由条件在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图像如右，由图可知有4个交点.14．若实数a、b、c成等差数列，点P(–1,0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N(0,3)，则线段MN长度的最小值是

．【答案】【解析】a、b、c成等差数列Ta-2b+c=0Ta×1+b×(-2)+c=0，∴直线l：ax+by+c=0过定点Q(1,-2)，又P(–1,0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，∴∠PMQ=90°，∴M在以PQ为直径的圆上,圆心为C(0,-1)，半径r=，线段MN长度的最小值即是N(0,3)与圆上动点M距离的最小值=|NC|-r=4-.17.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名

男女总计满意503080不满意102030总计6050110

（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率.参考答案：解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客有名，样本中不满意的女游客有名.（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客为，对景区的服务不满意的2名女游客为，从这5名女游客中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：；；；；；；；；；.其中事件“选到满意与不满意的女游客各一名”包含了6个基本事件：；；；；；.所以所求的概率为.

19.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，已知侧面，为上的一点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）在线段是否存在一点，使得二面角大小为.若存在请求出E点所在位置，若不存在请说明理由。参考答案：解：因为侧面,侧面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

……4

分

故,所以,而平面.……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为

轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，,.……7分所以设，所以得

则故.设平面的法向量为，……8分

则由,得,即，……10分

令，则，是平面的一个法向量.……12分

侧面,是平面的一个法向量，

.两边平方解得或=2（舍去）所以当E在的中点时二面角大小为.…………15分

20.（本小题满分12分）据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图．（I）求频率分布直方图中a的值．（Ⅱ）为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿．

参考答案：（Ⅰ）0.0125；（Ⅱ）78【知识点】频率分布直方图（Ⅰ）由频率直方图可得（0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a+0.025）×20=1a=0.0125；…（5分）（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：（0.0030+0.0021+0.0014）×20=0.13，…（9分）所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为600×0.13=78．…（12分）【思路点拨】（Ⅰ）利用频率直方图概率的和为1，求解