河北省秦皇岛市八道河乡中学2022年高三数学理月考试题含解析

河北省秦皇岛市八道河乡中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D2.已知向量,,且，则的值为(

)A． B． C． D．参考答案：B略3.在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）+f（2,1）+f（1，2）+f（0，3）=

A．45

B．60

C．120

D．210参考答案：C4.已知表示大于的最小整数，例如．下列命题:①函数的值域是；

②若是等差数列，则也是等差数列；③若是等比数列，则也是等比数列；④若，则方程有个根.其中正确的是

（

）（A）②④

（B）③④

（C）①③

（D）①④参考答案：D．举反例②当不满足③当不满足5.已知等差数列的前项和为，且，则等于（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：D6.若且，则下列结论正确的是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：7.若，则等于

A．

B．-l

C.

D．参考答案：A略8.若函数f（x）=，方程f[f（x）]=a只有四个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（2+ln2，e） B．（e，2+ln3） C．（2+ln2，3） D．（3，2+ln3）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断；函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数求出方程左侧的表达式，画出函数的图象，利用两个函数的图形的交点个数，求出的范围．【解答】解：f[f（x）]==，画出函数y=f[f（x）]与y=a的图象，因为方程f[f（x）]=a只有四个不同的实根，函数的图象的交点有4个，可知a∈（3，2+ln3）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点个数的判断与求法，考查函数与方程的综合应用，数形结合的解题的关键．9.复数=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简为a+bi的形式即可．【解答】解：复数===．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，是基础题．10.的值为(

)A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=．参考答案：4略12.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积m?n是

．参考答案：6【考点】简单组合体的结构特征．【专题】计算题；作图题；转化思想．【分析】画出正六面体、正八面体及内切球，设出半径r1与r2，利用体积求出两个半径的比，然后得到m?n．【解答】解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与r2，再设六面体中的正三棱锥A﹣BCD的高为h1，八面体中的正四棱锥M﹣NPQR的高为h2，如图所示则h1=a，h2=\frac{\sqrt{2}}{2}a．∵V正六面体=2?h1?S△BCD=6?r1?S△ABC，∴r1=h1=\frac{\sqrt{6}}{9}a．又∵V正八面体=2?h2?S正方形NPQR=8?r2?S△MNP，a3=2r2a2，r2=\frac{\sqrt{6}}{6}a，于是是最简分数，即m=2，n=3，∴m?n=6．【点评】本题考查简单几何体的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是难题．13.若动点P与定点F(1，1)的距离和动点P与直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程是______．参考答案：x－3y＋2＝014.已知向量，，若，则

．参考答案：因为，所以-2+2m=0,所以m=1.所以=.故答案为：

15.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为

．参考答案：圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．

16.若函数，若，则实数a的取值范围是

．参考答案：17.已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增区间为

．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（15分）（2015?浙江模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=．（Ⅰ）求证{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：+…＞﹣．参考答案：【考点】：等比数列的性质；数列的求和．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）依题意可求得a1=2，当n≥2且n∈N*时，有an=Sn﹣Sn﹣1，从而得an﹣3an﹣1=2，{an+1}是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列，从而可求得an+1=3n，继而可得答案；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论an=3n﹣1，可得==﹣=﹣≥﹣，即可得出结论．解：（Ⅰ）∵对任意n∈N*，都有Sn=，且S1=a1，∴a1=S1=a1﹣1，得a1=2…当n≥2且n∈N*时，有an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣n）﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]=an﹣an﹣1﹣1，即an﹣3an﹣1=2，∴an+1=3（an﹣1+1），由此表明{an+1}是以a1+1=3为首项，3为公比的等比数列．∴an+1=3?3n﹣1=3n，∴an=3n﹣1故数列{an}的通项公式为an=3n﹣1；（Ⅱ）==﹣=﹣≥﹣，∴+…+≥﹣（++…+）=﹣（1﹣）＞﹣．【点评】：本题考查数列求和，考查等比关系的确定，考查综合分析与运算能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)已知，命题：关于的不等式对任意恒成立；：函数是增函数，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．参考答案：(1)作出函数的图象，可知函数在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为．

(2)对于命题：，故；对于命题：，故或．

由于“或”为真，“且”为假，则①若真假，则，解得．②若假真，则，解得或．故实数的取值范围是．

20.（本小题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在区域返券60元；停在区域返券30元；停在区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.（1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元），求随机变量的分布列和数学期望.参考答案：设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.则………………3分（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.[

所以………………4分即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120.………5分；

；；

；…………10分所以，随机变量的分布列为：

其数学期望…………12分21.【选修4-4：坐标系与参数方程】点P是曲线上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点，求的面积．参考答案：（1），；（2）．（1）曲线的圆心为，半径为2，把互化公式代入可得：曲线的极坐标方程为．设，则，则有．所