吉林省长春市德惠市第四中学2022年高三数学理月考试题含解析

吉林省长春市德惠市第四中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A={x|x2＜1}，B=x|2x＞，则A∩B=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞}={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（，1）．故选：C．2.若函数是偶函数，则A.

B.

C.

D.或参考答案：D因为函数为偶函数，所以,所以，,所以，选D.3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：B4.已知等比数列中，公比若则有（

）(A)最小值-4

(B)最大值-4

(C)最小值12

(D)最大值12参考答案：B当且仅当时取=号

5.)的图象的一部分图形如图所示，则函数的解析式为(

)

A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin(2x-)参考答案：C略6.在内，使成立的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】三角函数不等式的解法.

C1【答案解析】A

解析：当时，不等式为sinxcosx，解得；当时，不等式为-sinxcosx即sinx+cosx0,解得，综上得，故选A.【思路点拨】根据含绝对值的不等式的解法，通过讨论x的取值范围，去掉绝对值，然后利用单位圆及三角函数线，确定结论.7.在复平面内，复数对应的点位于---------------------------------（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：D8.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向右平移个单位

B．向左平移个单位

C．向右平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：D略9.现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有A.

B.

C.

D.参考答案：B略8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.椭圆的离心率是，则椭圆两准线间的距离为

。参考答案：12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么（﹣）?=；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围是．参考答案：2，[﹣9，9].【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件可得=，故==，由此求得的值．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=的取值范围．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么=，=+=16+4=20．∴====2．以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有．令t==（﹣4，1）?（x﹣2，y﹣1）=7﹣4x+y，即y=4x+t﹣7．故当直线y=4x+t﹣7过点A（4，0）时，t取得最小值为7﹣16+0=﹣9，当直线y=4x+t﹣7过点B（0，2）时，t取得最大值为7﹣0+2=9，故t=的取值范围是[﹣9，9]，故答案为2，[﹣9，9]．【点评】本题主要考查两个向量的数量积运算，线段的中点公式，简单的线性规划问题，属于中档题．13.若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为．参考答案：﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=﹣x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象知，当直线y=x+z经过点A时，直线的距离最小，此时z最小，由得，即A（，﹣），此时z=﹣×﹣=﹣﹣=﹣1，故答案为：﹣114.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是

.参考答案：略15.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

．参考答案：

16.已知实数，函数，若，则的值为________参考答案：略17.已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，．求四边形面积的最大值．参考答案：解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．…………………4分

(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

……5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，

…………8分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，

，……10分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为．

…………12分（法二），．．四边形的面积，

………10分

．

…………12分当且仅当时，，故．所以四边形的面积的最大值为．

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中（1）当时，求在区间上的最大值与最小值；(2)若，求的值.参考答案：（1）,……………3分，…………4分；……………6分(2)又，…………7分，…………8分…………10分，又，所以………………12分19.（理）（本题满分14分）质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。参考答案：（理）解：（1）不能被4整除的有两种情形：①4个数均为奇数，概率为（2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为故所求的概率为P（2）的分布列为01234P服从二项分布20.（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为,，，.（1）求的最大值及的取值范围；（2）求函数的最值.参考答案：解（1）

即

…2分又

所以，即的最大值为16，当且仅当b=c时取等号,即

所以

，又0＜＜

所以0＜

……6分（2）

………………9分因0＜，所以＜，

……10分当

即时，

………11分当

即时，

………12分略21.（本小题满分12分）已知、（1）若，求的值；

（2）若，的三个内角对应的三条边分别为、、，且，，，求。参考答案：解：（1）…2分…4分（2）…5分…6分…7分…8分…9分…10分由余弦定理可知：…11分…12分（其它方法酌情给分）

略22.已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．参考答案：考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）将k=e代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析函数的单调性，可得函数的极值．（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（3）解法一：根据（2）中函数的单调性分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．解法二：根据函数的导函数，分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时，函数y=ex与y=kx图象交点的个数（即函数零点的个数），最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．

令f′（x）=0，得ex﹣e=0，解得x=1．由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增…（2分）所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．

…（3分）（2）由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k．①当k≤0时，则f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）．

…（4分）②当k＞0时，由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（6分）综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（7分）（3）解法一：①当k=0时，f（x）=ex＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（﹣∞，4]上单调递增，又f（0）=1＞0，，…（9分）所以函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．

…（10分）③当k＞0时，令f'（x）=ex﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得；…（11分）（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得或k=e；

…（12分）（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．

…（13分）综上所述，当时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．

…（14分）解法二：∵f（x）=ex﹣kx，x∈R．当k=0时，f（x）=ex＞0对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）当k≠0时，f（x）=ex﹣kx在（﹣∞，4]上的零点就是方程ex=kx在（﹣∞，4]上的解，即函数y=ex与y=kx在（﹣∞，4]上的交点的横坐标．

…（9分）①当k＜0时，如图1，函数y=ex与y=kx只在（﹣∞，0）上有一个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上有一个零点．

…（10分）②当k＞0时，若y=ex与y=kx相切时，如图2，设切点坐标为，则，即切线的斜率是，所以，解得x0=1＜4，即当k=e时，y=ex与y=kx只有一个交点，函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点x=1；…（11分）由此，还可以知道，当0＜k＜e时，函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．

…（12分）当y=kx过点（4，e4）时，如图3，，所以时，y=ex与y=kx在（﹣∞，4]上有