2022年湖南省岳阳市汨罗磊石中学高三数学理月考试卷含解析

2022年湖南省岳阳市汨罗磊石中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，,则（

） （A）｛0｝ （B）｛-1，,0｝

（C）{0，1}

（D）｛-1，,0，1}参考答案：A2.点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|=|F1F2|=2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，所以e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．3.如图，I是全集，M、P、S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是A．（M∩P）∩S

B．（M∩P）∪SC．（M∩P）∩（CIS）

D．（M∩P）∪（CIS）参考答案：C略4.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略5.方程的根的个数为（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：C略6.对于任意,函数表示中的较大者，则的最小值是（

）A2

B3

C8

D参考答案：A略7.定义：“回文”是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字有这样的特征，称为回文数．设n是一任意自然数．若将n的各位数字反向排列所得自然数n1与n相等，则称n为一回文数．例如，若n=1234321，则称n为一回文数；但若n=1234567，则n不是回文数．则下列数中不是回文数的是（）A．187×16 B．1112 C．45×42 D．2304×21参考答案：C【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】分别求出结果，利用回文数的定义进行判断．【解答】解：在A中，187×16=2992，是回文数；在B中，1112=12321，是回文数；在C中，45×42=1890，不是回文数；在D中，2304×21=48384，是回文数．故选：C．8.在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为，则等于(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为，由任意角的三角函数的定义可以求得的值，依题有,则，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线与轴正半轴所成的最小正角为因为点在角的终边上，所以依题有,则，所以，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.9.若非零向量的夹角为，且，则的夹角为

（

）

A．0

B．

C．

D．参考答案：D10.已知内一点满足关系式，则的面积与的面积之比为

（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.参考答案：（1）3；（2）2.（1）观察知；；一次类推；；；，，，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.12.已知i是虚数单位，则复数

．参考答案：

结合复数的运算法则有：.13.已知不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是______.参考答案：-3<m<5略14.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______________.参考答案：略15.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：16.圆内的曲线与轴围成的阴影部分区域记为（如图），随机往圆内投掷一个点，则点落在区域的概率为_________________.参考答案：17.已知平面向量且与的夹角为150°，则（t∈R）的取值范围是．参考答案：[，+∞）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=，=，则=﹣，△OAB为等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，求得=??cos120°=﹣，再根据=，利用二次函数的性质求得它的范围．【解答】解：∵平面向量且与的夹角为150°，如图，设=，=，则=﹣，∴△OAB为等腰三角形，且∠AOB=120°，∠OAB=∠OBA=30°，∴=??cos120°=﹣，∴=====≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.参考答案：

19.（本小题满分12分）已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为．（1）求的值；（2）在△中，若，且，求．参考答案：（1）∵．

………4分来而的最小正周期为，为正常数，∴，解之，得．

………6分（2）由（1）得．若是三角形的内角，则，∴．令，得，∴或，解之，得或．由已知，是△的内角，且，∴，，

∴．

…………10分又由正弦定理，得．…………12分20.已知函数，如果函数恰有两个不同的极值点，，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此时的值.参考答案：解：（Ⅰ）∵函数恰有两个不同的极值点，，即有两个零点，∴方程有两个不同的零点，

……………2分令．，

……………4分当时，，是减函数；当时，，是增函数，……6分∴在时取得最小值．∴．

…………………7分（Ⅱ）∵，即，∴

…………………9分于是，∴

…………11分∵，∴．∴当时，，是减函数；当时，，是增函数……………12分∴在上的最小值为，此时.…13分

略21.在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；J9：直线与圆的位置关系；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

…（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1?t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．22.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，数列的前项和为，且有,点在直线上.

（1）求数列的通项公式；（2）试比较与的大小,并加以证明.参考答案：（1）；（2）见解析

【知识点】数列递推式；数列的求和．D1D4解析：(1)当时,，解得：

…………………1分

当时,，则有，即：∴是以为首项，为公比的等比数列.

……3分∴.

…………………4分(2)∵点在直线上∴.

…………………5分因为①,所以②.由①-