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文档简介
第1页(共1页)2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷(一)(一模)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.(4分)已知集合A={x|﹣1<x≤2},B={x|﹣2<x≤1},则A∪B=()A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣1<x≤1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|﹣2<x≤2}2.(4分)已知命题p:∃x>1,x2﹣1>0,那么¬p是()A.∀x>1,x2﹣1>0 B.∀x>1,x2﹣1≤0 C.∃x>1,x2﹣1≤0 D.∃x≤1,x2﹣1≤03.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R),则“a=0”是“z为纯虚数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.(4分)已知圆C:x2﹣2x+y2=0,则圆心C到直线x=3的距离等于()A.4 B.3 C.2 D.15.(4分)若数列{an}满足an+1=2an,且a4=1,则数列{an}的前4项和等于()A.15 B.14 C. D.6.(4分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=,则∠A=()A. B. C. D.或7.(4分)在抗击新冠疫情期间,有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务,其中3位志愿者参加“人员流调”,另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者,则这6位志愿者不同的分配方式共有()A.19种 B.20种 C.30种 D.60种8.(4分)已知F是双曲线的一个焦点,点M在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|OM|=|MF|,则△OMF的面积为()A. B. C. D.69.(4分)已知函数无最小值,则a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1) C.[1,+∞) D.(1,+∞)10.(4分)对任意m∈N*,若递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m,且a1+a2+⋯+an=100,则n的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.11二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。11.(5分)函数的定义域是.12.(5分)已知向量=(﹣2,3),=(x,﹣6).若∥,则x=.13.(5分)已知函数f(x)的定义域为[0,1].能够说明“若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)是增函数”为假命题的一个函数是.14.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为;设点M在抛物线C上,若以线段FM为直径的圆过点(0,2),则|FM|=.15.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,点P在线段CM上运动,给出下列四个结论:①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形;②直线B1D1到平面CMN的距离是;③存在点P,使得∠B1PD1=90°;④△PDD1面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使f(x)的解析式唯一确定.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数,求g(x)在区间[0,]上的最大值.条件①:f(x)的最小正周期为π;条件②:f(x)为奇函数;条件③:f(x)图象的一条对称轴为x=.17.(14分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=DC=.以直线AB为轴,将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF,且AF⊥AD.(Ⅰ)求证:DF∥平面BCE;(Ⅱ)在线段DF上是否存在点P,使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.18.(14分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查,结果如下:毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.(Ⅰ)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500,试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数;(Ⅱ)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人,记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率,求X的分布列和数学期望E(X);(Ⅲ)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查,发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(0<a<98)人选择了如表中其他的毕业去向,记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时,s2最小.(结论不要求证明)19.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P是椭圆C上不同于A,B的一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于点M,N.若|MN|≤4,求点P横坐标的取值范围.20.(15分)已知函数.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)若函数恰有两个不同的零点,求a的取值范围.21.(14分)已知集合S={1,2,…,n}(n≥3且n∈N*),A={a1,a2,…,am},且A⊆S.若对任意ai∈A,aj∈A(1≤i≤j≤m),当ai+aj≤n时,存在ak∈A(1≤k≤m),使得ai+aj=ak,则称A是S的m元完美子集.(Ⅰ)判断下列集合是否是S={1,2,3,4,5}的3元完美子集,并说明理由;①A1={1,2,4};②A2={2,4,5}.(Ⅱ)若A={a1,a2,a3}是S={1,2,…,7}的3元完美子集,求a1+a2+a3的最小值;(Ⅲ)若A={a1,a2,⋯,am}是S={1,2,…,n}(n≥3且n∈N*)的m元完美子集,求证:a1+a2+…+am≥,并指出等号成立的条件.
2022年北京市丰台区高考数学综合练习试卷(一)(一模)参考答案与试题解析一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.(4分)已知集合A={x|﹣1<x≤2},B={x|﹣2<x≤1},则A∪B=()A.{x|﹣1<x<1} B.{x|﹣1<x≤1} C.{x|﹣2<x<2} D.{x|﹣2<x≤2}【分析】直接利用并集运算得答案.【解答】解:∵A={x|﹣1<x≤2},B={x|﹣2<x≤1},∴A∪B={x|﹣1<x≤2}∪{x|﹣2<x≤1}={x|﹣2<x≤2}.故选:D.【点评】本题考查并集及其运算,是基础题.2.(4分)已知命题p:∃x>1,x2﹣1>0,那么¬p是()A.∀x>1,x2﹣1>0 B.∀x>1,x2﹣1≤0 C.∃x>1,x2﹣1≤0 D.∃x≤1,x2﹣1≤0【分析】将量词“∃”变为“∀”,结论否定即可.【解答】解:∵命题p:∃x>1,x2﹣1>0∴¬p:∀x>1,x2﹣1≤0故选:B.【点评】本题考查含量词的命题的否定形式:将量词“∀”与“∃”互换,结论同时否定.3.(4分)已知复数z=a+bi(a,b∈R),则“a=0”是“z为纯虚数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】z为纯虚数⇔a=0且b≠0,以此可解决此题.【解答】解:因为z为纯虚数⇔a=0且b≠0,所以“a=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题考查复数定义及充分、必要条件的判断.考查数学运算能力及推理能力,属于基础题.4.(4分)已知圆C:x2﹣2x+y2=0,则圆心C到直线x=3的距离等于()A.4 B.3 C.2 D.1【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标,从而求得点到直线的距离.【解答】解:圆C:x2﹣2x+y2=0,即(x﹣1)2+y2=1,故圆心C(1,0),则圆心C到直线x=3的距离为|3﹣1|=2,故选:C.【点评】本题主要考查圆的标准方程,点到直线的距离,属于基础题.5.(4分)若数列{an}满足an+1=2an,且a4=1,则数列{an}的前4项和等于()A.15 B.14 C. D.【分析】由已知结合等比数列的通项公式求出前4项,然后求出数列{an}的前4项和即可.【解答】解:由题意得,数列{an}是以2为公比的等比数列,又a4=1,所以a3=,a2=,a1=,所以{an}的前4项和为1+=.故选:C.【点评】本题主要考查了等比数列的定义,属于基础题.6.(4分)在△ABC中,a=2,b=3,cosB=,则∠A=()A. B. C. D.或【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值,利用正弦定理可求sinA的值,结合大边对大角可求A为锐角,进而可求A的值.【解答】解:因为a=2,b=3,cosB=,所以sinB==,因为由正弦定理可得,所以sinA===,又b>a,可得A为锐角,所以A=.故选:A.【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,正弦定理,大边对大角在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.7.(4分)在抗击新冠疫情期间,有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务,其中3位志愿者参加“人员流调”,另外3位志愿者参加“社区值守”.若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者,则这6位志愿者不同的分配方式共有()A.19种 B.20种 C.30种 D.60种【分析】先考虑:若3位志愿者参加“人员流调”,另外3位志愿者参加“社区值守”,其分配方法共有;再考虑:该社区“社区值守”岗位若分配到3位女性志愿者,只有一种方法,进而得出结论.【解答】解:若3位志愿者参加“人员流调”,另外3位志愿者参加“社区值守”,则分配方法共有=20种,该社区“社区值守”岗位若分配到3位女性志愿者,只有一种方法,因此若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者,则这6位志愿者不同的分配方式共有20﹣1=19种.故选:A.【点评】本题考查了组合的应用、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8.(4分)已知F是双曲线的一个焦点,点M在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|OM|=|MF|,则△OMF的面积为()A. B. C. D.6【分析】求解半焦距,求出M的纵坐标,然后求解三角形的面积.【解答】解:F是双曲线的一个焦点,不妨为右焦点F(2,0),渐近线方程为:y=x,不妨M在第一象限,则M的纵坐标:.所以△OMF的面积为:.故选:C.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,三角形面积的求法,是中档题.9.(4分)已知函数无最小值,则a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,﹣1) C.[1,+∞) D.(1,+∞)【分析】画出函数的图象,根据图象结合f(x)无最小值,求出a的取值范围即可.【解答】解:由f(x)=x3﹣3x,可得f′(x)=3x2﹣3,令3x2﹣3=0,解得x=±1,结合三次函数的图象,可知x=﹣1时,函数取得极小值,函数的图象如图,当a≤1时,函数取得最小值,当a>1时,函数没有最小值,所以a的取值范围为(1,+∞).故选:D.【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及函数的最值的求法,考查数形结合思想以及计算能力,是中档题.10.(4分)对任意m∈N*,若递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m,且a1+a2+⋯+an=100,则n的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.11【分析】先由条件得出an≤2n,进而结合等差数列前n项和列出不等式,解不等式即可.【解答】解:由递增数列{an}中不大于2m的项的个数恰为m可知an≤2n,又a1+a2+⋯+an=100,故2+4+6+⋯+2n≥100,即,解得或,又n∈N*,故n的最小值为10.故选:C.【点评】本题考查了等差数列求和,属于基础题.二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。11.(5分)函数的定义域是(0,2].【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可.【解答】解:由题意得:,解得:0<x≤2,故函数的定义域是(0,2],故答案为:(0,2].【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式以及对数函数的性质,是一道基础题.12.(5分)已知向量=(﹣2,3),=(x,﹣6).若∥,则x=4.【分析】如果已知的两个向量平行,由于两个向量的坐标形式已经给出,故可根据平面向量平行的坐标运算构造方程,然后解方程即可求出未知数x的值.【解答】解:∵=(﹣2,3),=(x,﹣6),又∵∥,∴3x﹣12=0,解得x=4,故答案为:4.【点评】本题考查了共线向量,考查向量的坐标运算,是基础题.13.(5分)已知函数f(x)的定义域为[0,1].能够说明“若f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)是增函数”为假命题的一个函数是f(x)=(x﹣)2,x∈[0,1](答案不唯一).【分析】根据题意,结合二次函数的性质分析可得答案.【解答】解:根据题意,要求函数的定义域为[0,1],在区间区间[0,1]上的最大值为f(1),但f(x)不能是增函数,则f(x)可以为二次函数,则要求函数可以为f(x)=(x﹣)2,x∈[0,1];故答案为:f(x)=(x﹣)2,x∈[0,1].(答案不唯一)【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用,涉及函数单调性的定义,属于基础题.14.(5分)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,则F的坐标为(1,0);设点M在抛物线C上,若以线段FM为直径的圆过点(0,2),则|FM|=5.【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标;设M(,y),根据以MF为直径的圆过点A(0,2),可得=0,解得y,然后利用抛物线的性质求解即可.【解答】解:抛物线C:y2=4x的焦点为F,∴F(1,0),设M(,y),∵以MF为直径的圆过点A(0,2),∴AM⊥AF,∴=(,y−2)•(1,﹣2)=0,∴−2(y−2)=0,解得y=4,∴xM==4,∴|MF|=4+1=5.故答案为:5.【点评】本题考查了圆的性质、抛物线的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.15.(5分)如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,A1D1的中点,点P在线段CM上运动,给出下列四个结论:①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形;②直线B1D1到平面CMN的距离是;③存在点P,使得∠B1PD1=90°;④△PDD1面积的最小值是.其中所有正确结论的序号是①③.【分析】作出截面图形判断①,利用等积法可判断②,利用坐标法可判断③④.【解答】解:对于①,如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1,N1,连接CM1,CN1分别交BB1,DD1于M2,N2,连接MM2,NN2,则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形,故①正确;对于②,由题可知MN∥B1D1,MN⊂平面CMN,B1D1⊄平面CMN,∴B1D1∥平面CMN,故点B1到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离,设点B1到平面CMN的距离为h,由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2可得,,,∴,,∴由=,可得,所以直线B1D1到平面CMN的距离是,故②错误;对于③,如图建立空间直角坐标系,则B1(2,0,2),D1(0,2,2),C(2,2,0),M(1,0,2),设,∴,又C(2,2,0),B1(2,0,2),D1(0,2,2),∴P(2﹣λ,2﹣2λ,2λ),,假设存在点P,使得∠B1PD1=90°,∴,整理得9λ2﹣14λ+4=0,∴(舍去)或,故存在点P,使得∠B1PD1=90°,故③正确;对于④,由上知P(2﹣λ,2﹣2λ,2λ),所以点P(2﹣λ,2﹣2λ,2λ)在DD1的射影为(0,2,2λ),∴点P(2﹣λ,2﹣2λ,2λ)到DD1的距离为:,∴当时,,∴故△PDD1面积的最小值是,故④错误.故答案为:①③.【点评】本题主要考查线面距离的计算,立体几何中的截面问题等知识,属于中等题.三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件,使f(x)的解析式唯一确定.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数,求g(x)在区间[0,]上的最大值.条件①:f(x)的最小正周期为π;条件②:f(x)为奇函数;条件③:f(x)图象的一条对称轴为x=.【分析】(Ⅰ)可以选择条件①②或条件①③,先由周期计算ω,再计算φ即可;(Ⅱ)先求出整体的范围,再结合单调性求最大值即可.【解答】解:(Ⅰ)选择条件①②:由条件①及已知得,所以ω=2,由条件②得f(﹣x)=﹣f(x),所以f(0)=0,即sinφ=0,解得φ=kπ(k∈Z),因为,所以φ=0,所以f(x)=sin2x,经检验φ=0符合题意;选择条件①③:由条件①及已知得,所以ω=2,由条件③得,解得φ=kπ(k∈Z),因为,所以φ=0,所以f(x)=sin2x;(Ⅱ)由题意得,化简得,因为,所以,所以当,即时,g(x)的最大值为.【点评】本题考查了三角函数的综合应用,属于中档题.17.(14分)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=DC=.以直线AB为轴,将直角梯形ABCD旋转得到直角梯形ABEF,且AF⊥AD.(Ⅰ)求证:DF∥平面BCE;(Ⅱ)在线段DF上是否存在点P,使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【分析】(Ⅰ)证明出四边形DCEF为平行四边形,进而证明出线面平行;(Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【解答】(Ⅰ)证明:由题意得EF∥CD,EF=CD,所以四边形DCEF为平行四边形.所以DF∥CE.因为DF⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以DF∥平面BCE.(Ⅱ)解:线段DF上存在点P,使得直线AE和平面BCP所成角的正弦值为,理由如下:由题意得AD,AB,AF两两垂直.如图,建立空间直角坐标系A﹣xyz.设AB=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),E(0,1,1),F(0,0,1).所以,,,.设,则设平面BCP的一个法向量为,所以,令x=λ,则y=λ,z=1+λ.于是设直线AE和平面BCP所成角为θ,由题意得:=,整理得:3λ2﹣22λ+7=0,解得或λ=7.因为0≤λ≤1,所以,即.所以线段DF上存在点P,当时,直线AE和平面BCP所成角的正弦值为.【点评】本题主要考查线面平行的证明,立体几何中的探索性问题等知识,属于中等题.18.(14分)为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查,结果如下:毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.(Ⅰ)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500,试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数;(Ⅱ)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人,记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率,求X的分布列和数学期望E(X);(Ⅲ)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查,发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(0<a<98)人选择了如表中其他的毕业去向,记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时,s2最小.(结论不要求证明)【分析】(I)用样本中“单位就业”的频率乘以毕业生人数可得;(II)先由样本数据得选择“继续学习深造”的频率,然后由二项分布可得;(III)由方差的意义可得.【解答】解:(I)由题意得,该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为.(II)由题意得,样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为.用频率估计概率,从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生,估计该生选择“继续学习深造”的概率为.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以,,,,所以X的分布列为:X0123P.(III)易知五种毕业去向的人数的平均数为200,要使方差最小,则数据波动性越小,故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小,所以a=42.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的运算能力,属于中档题.19.(15分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,且|AB|=4,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P是椭圆C上不同于A,B的一点,直线PA,PB与直线x=4分别交于点M,N.若|MN|≤4,求点P横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)直接由条件计算a,b即可;(Ⅱ)设出点P坐标,分别写出直线PA,PB的方程,表示出M,N坐标,由|MN|≤4得到不等式,解不等式即可.【解答】解:(Ⅰ)由题意得解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程是.(Ⅱ)设P(m,n)(﹣2<m<2),由已知得A(﹣2,0),B(2,0),所以直线AP,BP的方程分别为,.令x=4,得点M的纵坐标为,点N的纵坐标为,所以=.因为点P在椭圆C上,所以,所以m2﹣4=﹣4n2,即.因为|MN|≤4,所以,即(m﹣4)2≤16n2.所以(m﹣4)2≤﹣4(m2﹣4).整理得5m2﹣8m≤0,解得.所以点P横坐标的取值范围是.【点评】本题主要考查椭圆方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,韦达定理及其应用等知识,属于中等题.20.(15分)已知函数.(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)若函数恰有两个不同的零点,求a的取值范围.【分析】(Ⅰ)求得f(x)的导数,令导数为1,求得切点,可得所求切线的方程;(Ⅱ)讨论a=0,a>0,a<0,求得导数,判断单调性和最值,可得所求取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x(x≤1)的导数为f′(x)=,由f′(x)=1(x<),解得x=0或x=(舍去),即有切点为(0,0),则所求切线的方程为y=x;(Ⅱ)当a=0时,f(x)=﹣x(x≤0),所以函数只有一个零点;当a≠0时,f(x)的导数为f′(x)=,当a>0时,x<a,x0=时,f(x)有最大值,当f()=>时,g(x)才有可能有两个零点,解得a>3,此时函数的图像大致为x0=时有最大值,然后f(x)从x0两侧下降,又因为x≤a,所以要保证f(a)≤,g(x)恰有两个零点,f(a)=0<,显然成立;当a<0时,x<a<0,x0=>a,所以取不到x0,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以g(x)无两个零点.综上可得,a>3时,函数恰有两个不同的零点.【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,以及函数的零点个数,考查方程思想和运算能力,属于中档题.21.(14分)已知集合S
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