二维图形几何变换

2023/5/18华中理工大学计算机学院陆枫99-71（优选）二维图形几何变换ppt讲解目前一页\总数四十页\编于十八点图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形，是图形在方向、尺寸和形状方面的变换。基本概念几何变换目前二页\总数四十页\编于十八点二维图形几何变换平移变换旋转变换比例变换基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换目前三页\总数四十页\编于十八点二维变换矩阵T1：比例、旋转、对称、错切T2：平移T3：投影T4：整体缩放T1T3T2T4目前四页\总数四十页\编于十八点平移是一种不产生变形而移动物体的刚体变换（rigid-bodytransformation）平移变换平移是指将p点沿直线路径从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位过程。目前五页\总数四十页\编于十八点Tx，Ty称为平移矢量推导：矩阵：平移变换x’=x+Tx,y’=y+Ty目前六页\总数四十页\编于十八点比例变换比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。目前七页\总数四十页\编于十八点推导：矩阵：比例变换x’=Sx*X,y’=Sy*Y目前八页\总数四十页\编于十八点比例变换目前九页\总数四十页\编于十八点整体比例变换：比例变换问题：S>1时缩还是放？[x’y’1]=[xys]=[x/sy/ss/s]目前十页\总数四十页\编于十八点旋转变换二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。X’=rcos(a+θ)=rcosacosθ-rsinasinθ=xcosθ-ysinθy’=rsin(a+θ)=rcosasinθ+rsinacosθ=xsinθ+ycosθ目前十一页\总数四十页\编于十八点推导：矩阵：逆时针旋转θ角顺时针旋转θ角?旋转变换X’=rcos(a+θ)=rcosacosθ-rsinasinθ=xcosθ-ysinθy’=rsin(a+θ)=rcosasinθ+rsinacosθ=xsinθ+ycosθ目前十二页\总数四十页\编于十八点简化计算（θ很小）旋转变换目前十三页\总数四十页\编于十八点对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。目前十四页\总数四十页\编于十八点对称变换对称变换后的图形是原图形关于某一轴线或原点的镜像。目前十五页\总数四十页\编于十八点(1)关于x轴对称对称变换目前十六页\总数四十页\编于十八点(2)关于y轴对称对称变换目前十七页\总数四十页\编于十八点(3)关于原点对称对称变换目前十八页\总数四十页\编于十八点(4)关于y=x轴对称对称变换目前十九页\总数四十页\编于十八点(5)关于y=-x轴对称对称变换目前二十页\总数四十页\编于十八点错切变换错切变换，也称为剪切、错位变换，用于产生弹性物体的变形处理。目前二十一页\总数四十页\编于十八点其变换矩阵为：

(1)沿x方向错切(2)沿y方向错切(3)两个方向错切错切变换目前二十二页\总数四十页\编于十八点二维图形几何变换的计算几何变换均可表示成P’=P*T的形式：1.点的变换2.直线的变换3.多边形的变换4.曲线的变换目前二十三页\总数四十页\编于十八点4.1.3复合变换复合变换是指：图形作一次以上的几何变换，变换结果是每次的变换矩阵相乘。任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变换的组合形式。复合变换具有形式：目前二十四页\总数四十页\编于十八点6.3.1二维复合平移 两个连续平移是加性的。6.3.2二维复合比例 连续比例变换是相乘的。6.3.3二维复合旋转 两个连续旋转是相加的。可写为：4.1.3复合变换目前二十五页\总数四十页\编于十八点其它二维复合变换4.1.3复合变换目前二十六页\总数四十页\编于十八点6.3.5相对任一参考点的二维几何变换相对某个参考点(xF,yF)作二维几何变换，其变换过程为： (1)平移 (2)针对原点进行二维几何变换。 (3)反平移

复合变换xyF(xF,yF)oPP’θ目前二十七页\总数四十页\编于十八点相对任一参考点的二维几何变换例1.相对点(xF,yF)的旋转变换xyF(xF,yF)oPxyoPθPxyoPPTxTyTx=-xFTy=-yFxyoPTxTyTx=xFTy=yFP’目前二十八页\总数四十页\编于十八点相对任意方向的二维几何变换相对任意方向作二维几何变换，其变换的过程是： (1)旋转变换 (2)针对坐标轴进行二维几何变换； (3)反向旋转 例3.相对直线y=x的反射变换复合变换目前二十九页\总数四十页\编于十八点 例4.将正方形ABCO各点沿图6-8所示的(0,0)→(1,1)方向进行拉伸，结果为如图所示的，写出其变换矩阵和变换过程。复合变换目前三十页\总数四十页\编于十八点坐标系之间的变换问题：复合变换目前三十一页\总数四十页\编于十八点分析：坐标系之间的变换目前三十二页\总数四十页\编于十八点可以分两步进行：坐标系之间的变换目前三十三页\总数四十页\编于十八点于是：

坐标系之间的变换目前三十四页\总数四十页\编于十八点光栅变换直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换。

光栅平移变换：

目前三十五页\总数四十页\编于十八点90°、180°和270°的光栅旋转变换：

光栅变换阵列每个象素值颠倒交换行与列a11a12a13a21a22a23a13a12a11a23a22a21a13a23a12a22a11a21a13a23a12a22a11a21目前三十六页\总数四十页\编于十八点光栅变换90°、180°和270°的光栅旋转变换：

a11a12a13a21a22a23a23a22a21a13a12a11阵列每个象素值颠倒将行序颠倒a13a12a11a23a22a21a23a22a21a13a12a11目前三十七页\总数四十页\编于十八点任意角度的光栅旋转变换：

光栅变换Gray(A)=∑[Gray(i)×

A在i上的覆盖率](Gray(x)表示某点的灰度等级)i=1nGray(A)=Gray(1)×

A在1上的覆盖率+

Gray(2)×

A在2上的覆盖率+

Gray(3)×

A在3上的覆盖率目前三十八页\总数四十页\编于十八点光栅比例变换：

光栅变换123412∑[Gray(i)×

Si]i=1nGray(A)=∑Sii=1nG=(G1+G2+G3+G4)/4G=(G1×S1+