2022年山西省晋中市下庄中学高二数学理测试题含解析

2022年山西省晋中市下庄中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的定义域为，当时，，且对任意的实数x、y，等式恒成立，若数列满足，且，则的值为(

)

A.4017

B.4018

C.4019

D.4021参考答案：D2.如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是（）A．2π B．4π C．6π D．8π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体为圆柱，将半径和高代入圆柱表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体为圆柱，底面直径为2，半径r=1，高h=2，故全面积S=2πr（r+h）=6π，故选：C．3.已知直线与（）A．相交 B．平行 C．异面 D．共面或异面参考答案：B4.若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B5.已知,为的导函数，则的图象是（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.6.下列命题正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

参考答案：D，选项A中忽略了当的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了的情况，故C错.7.函数的单调减区间是（

）

A．(0，2)

B.(0，3)

C.(0，5)

D.(0，1)参考答案：A8.已知函数y=，输入自变量x的值，输出对应的函数值的算法中所用到的基本逻辑结构是（） A．顺序结构 B． 条件结构 C．顺序结构、条件结构 D． 顺序结构、循环结构参考答案：C9.设集合，集合，则是的（） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则角B=A. B. C. D.参考答案：B【分析】由，可得，结合余弦定理即可得到B的大小.【详解】由，可得，根据余弦定理得，∵，∴．故应选B．【点睛】对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据《环境空气质量指数AQI技术规定》，AQI共分为六级：（0，50]为优，（50，100]为良，（100，150]为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200，300]为重度污染，300以上为严重污染．右图是根据盐城市2013年12月份中20天的AQI统计数据绘制的频率分布直方图．由图中的信息可以得出这20天中盐城市环境空气质量优或良的总天数为

.参考答案：5略12.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是参考答案：（4，10]【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故答案为：（4，10]．13.某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右图．则罚球命中率较高的是

.参考答案：甲略14.定义在上的函数同时满足以下条件：①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②是偶函数；③在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直。（Ⅰ）求函数＝的解析式；（Ⅱ）设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围。参考答案：解:（Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………1分由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………2分又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3.……………4分（Ⅱ）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使lnx－<x2－1即存在x∈[1，e]，使m>xlnx－x3＋x

…………6分设M(x)＝xlnx－x3＋xx∈[1，e]，则M′(x)＝lnx－3x2＋2……………7分[来源:学#科#网Z#X#X#K]设H(x)＝lnx－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝

……………8分∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0

……………10分∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分于是有m>2e－e3为所求．略15.两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________.参考答案：【分析】设两球的半径分别为，根据列出关于，的方程组，解出方程组，根据球的体积公式可得结果.【详解】设两球的半径分别为，∵两个球的半径相差1，表面积之差为，∴，，解得，，∴它们的体积和为，故答案为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.16.若，，且函数在处有极值，则的最大值为__________．参考答案：9【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为得到，满足的条件，利用基本不等式求出的最值．【解答】解：由题意，导函数，∵在处有极值，，∴，∵，，∴，当且仅当时取等号，∴的最大值等于．故答案为：．17.在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录如下：、、、．（1）经判断点，在抛物线上，试求出的标准方程；（2）求抛物线的焦点的坐标并求出椭圆的离心率；（3）过的焦点直线与椭圆交不同两点且满足，试求出直线的方程．参考答案：解得∴方程为……………6分法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意……………9分当直线斜率存在时，直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为由消掉，得，…………10分于是，①

19.、(12分)如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，点为线段上的动点，(I)判断异面直线和所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；(II)当直线和平面所成角最大时，试确定点的位置．参考答案：(I)不变；(II)为的中点．20.已知A为椭圆=1（a＞b＞0）上的一个动点，弦AB，AC分别过左右焦点F1，F2，且当线段AF1的中点在y轴上时，cos∠F1AF2=．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），求得直线AC的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x轴，若AB⊥x轴，计算即可得到所求定值．【解答】解：（Ⅰ）当线段AF1的中点在y轴上时，AC垂直于x轴，△AF1F2为直角三角形．因为cos∠F1AF2=，所以|AF1|=3|AF2|，易知|AF2|=，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，则4?=2a，即a2=2b2=2（a2﹣c2），即a2=2c2，即有e==；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x2+2y2=2b2，焦点坐标为F1（﹣b，0），F2（b，0），（1）当AB，AC的斜率都存在时，设A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=（x﹣b），代入椭圆方程得（3b2﹣2bx0）y2+2by0（x0﹣b）y﹣b2y02=0，可得y0y2=﹣，又λ2===，同理λ1=，可得λ1+λ2=6；（2）若AC⊥x轴，则λ2=1，λ1==5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6；综上所述，λ1+λ2是定值6．21.如图，曲线c1：y2=2px（p＞0）与曲线c2：（x﹣6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且?=0．（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12，可得M的坐标，代入抛物线方程，即可求曲线c1的方程；（2）利用点差法求出直线AB的斜率，可得AB的方程，与抛物线方程联立，结合弦长公式，可求线段AB的长度．【解答】解：（1）由对称性知MN⊥x轴于点（6，0），且|MN|=12所以M（6，6），…所以62=2p×6所以p=3…所以曲线为y2=6x…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）因为（3，2）是AB中点所以x1+x2=6，y1+y2=4…则由点差法得k==…所以直线l：3x﹣2y﹣5=0由所以由韦达定理…所以|AB|==…22.某高校对生源基地学校一年级的数学成绩进行摸底调查，已知其中两个摸底学校分别有1100人、1000人，现采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分别统计表如下：（一年级人数为1100人的学校记为学校一，一年级人数为1000人的学校记为学校二）学校一分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频道231015分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)频数15x31

学校二分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频道1298分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)频数1010y3

（1）计算x，y的值．（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两个学校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．

学校一学校二总计优秀

非优秀

总计

附：0.100.0250.0102.7065.0246.635

参考答案：（1），（2）甲校优秀率为，乙校优秀率为（3）填