平面向量的概念及线性运算37883

平面向量的概念及线性运算37883平面向量的概念及线性运算37883/NUMPAGES29平面向量的概念及线性运算37883平面向量的概念及线性运算37883§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______)平面向量是自由向量零向量长度为______的向量；其方向是任意的记作______单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量______或共线共线向量__________________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向______的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝____________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差________法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝________；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_______3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.[难点正本疑点清源]1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.1.化简eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MS,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))的结果为________.2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝____________.3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________.5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D.2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量.判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b如图所示，△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝eq\f(1,3)AC，在AB上取一点M，使得AM＝eq\f(1,3)AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN，在CM的延长线上取点Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14分)如图所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up6(→)).审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然eq\o(OM,\s\up6(→))能用a、b表示，那我们不妨设出eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b. [3分]又∵A、M、D三点共线，∴eq\o(AM,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线.∴存在实数t，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)). [5分]∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t,n＝\f(t,2)))，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1.① [7分]又∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴eq\o(CM,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→))共线. [10分]∴存在实数t1，使得eq\o(CM,\s\up6(→))＝t1eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1,n＝t1))，消去t1得，4m＋n＝1.② [12分]由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b. [14分]批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))且AB与CD不共线，则AB∥CD；若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，则A、B、C三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

§5.1平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.其中错误命题的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D2.设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则 ()A.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0B.eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝03.已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ()A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与d反向C.k＝－1且c与d同向D.k＝－1且c与d反向二、填空题4.设a、b是两个不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为________.5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.6.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为________.三、解答题7.如图，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b为边作▱OADB，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))、eq\o(ON,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1.已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq\o(CB,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))，其中λ∈R，则点P一定在()A.△ABC的内部B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上2.已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在实数m使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m等于 ()A.2 B.3C.4 D.53.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 ()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心二、填空题4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上).①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e②存在相异实数λ、μ，使λ·a＋μ·b＝0；③x·a＋y·b＝0(实数x，y满足x＋y＝0)；④若四边形ABCD是梯形，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线.5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，则m＋n的值为______.6.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝________.7.已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|，其中O为坐标原点，则实数a的值为________.三、解答题8.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GO,\s\up6(→))；(2)若PQ过△ABO的重心G，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝ma，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝nb，求证：eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3.

答案要点梳理1.大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)b＋a(2)a＋(b＋c)三角形(1)|λ||a|(2)相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.b＝λa基础自测1.eq\o(OS,\s\up6(→))2.b－eq\f(1,2)a3.①②③4.－25.A题型分类·深度剖析例1②③变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，而AB与CD可以不共线即AB∥CD.(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例2解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.变式训练2解eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,2)b.又eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(1－m)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)a＋(1－m)b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(m,2),1－m＝\f(λ,2)))，解得λ＝m＝eq\f(2,3)，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.例3(1)证明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)解∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.变式训练3eq\f(1,2)课时规范训练A组1.C2.B3.D4.－15.eq\f(4,3)6.eq\f(3,11)7.解∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.又eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(a＋b).∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.即eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.8.解设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a.要使A、B、C三点共线，只需eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).即－eq\f(2,3