初二数学提优-轴对称图形

初二数学第二章轴对称图形知识点一、轴对称与轴对称图形（1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成___；（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如_____能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形．1．下列图形是轴对称图形吗？请你试着画出它们的对称轴．二、轴对称的性质及轴对称图形的画法成轴对称的两个图形中，对应点的连线被______________垂直平分；2．如图，已知△ABC和直线l，画出△ABC关于直线l的对称图形．3．如图所示，由小正方形组成的“7”字形图中，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形使它成为轴对称图形．三、线段、角的轴对称性（1）①线段是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；②线段垂直平分线上的点到＿＿的距离相等；到＿＿距离相等的点在线段的垂直平分线上．（2）①角是轴对称图形，＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；②角平分线上的点到＿＿＿＿的距离相等；到＿＿＿＿距离相等的点在角的平分线上．考查试题：4．如图，在△ABC中，AC=7，DE垂直平分AB，分别交AB、AC于点E、D，△BCD周长为9，则BC=_____．第7题图第6题图第5题图第4题图第7题图第6题图第5题图第4题图5．如图，AB=AC=5cm，BC=3cm，∠A=40°，点A和点B关于直线l对称，AC与l相交于点D，则∠C=＿＿＿＿°，△BDC的周长等于＿＿＿＿cm．6．如图，有张村A、李村B、王村C，这三个村庄共建一个水泵站D，使得水泵站D到A、B两村的距离相等，且使C村到水泵站D的管线最短，试确定水泵站D的位置．7．如图，△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，求证：AF垂直平分DE．四、等腰三角形的性质与判定第8题图（1）等腰三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿；第8题图（2）等腰三角形的判定：＿＿＿＿＿＿＿＿；8．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD的长为 （）A．2.5 B．1.5 C．2 D．19．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是＿＿＿＿．第第9题图10．已知：如图，点C、D在△ABE的边BE上，BC=ED，AB=AE．求证：AC=AD．第12题图第12第12题图第12题图第10题图五、等边三角形的性质与判定及直角三角形的性质（两个一半）（1）等边三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）等边三角形的判定：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；③＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；第11题图（3）两个一半：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；第11题图11．如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=＿＿12．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距 （）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里13．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点．求证：MN⊥AC．第1第13题图14．已知：在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60°．（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为＿＿＿＿，∠APB的大小为＿＿＿．（直接写出结果，不证明）15．如图，小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA．（1）试求∠DAE的度数．（2）如果把原题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？为什么？参考答案知识点1：轴对称、图形的两部分．1、略知识点2：对称轴．2、略；3略．知识点3：线段的垂直平分线、线段的两端点、线段的两端点、角平分线所在的直线、角两边、角两边4、2；5、70、8；6、略；7、角平分线上点到两边距离相等∴FD=FE∠DAF=∠EAFAF公共边所以有△DAF≌△EAF

所以AD=AE设DE与AF交于点G又∵∠DAF=∠EAFAG公共边∴△ADG≌△EAG

∴DG=EG∠AGD=∠AGE=180/2=90°

即AF垂直平分DE知识点4：等边对等角，三线合一；等角对等边．8、D9、9；10、（很简单，就略了吧！注意多种方法．）知识点5：三角都等于60度；三边相等的三角形是等边三角形、三角都相等的三角形是等边三角形、有两个角是60度的三角形是等边三角形、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．30度所对的直角边是斜边的一半．11、4；12、B；13、证明：连接CM，AM，∵∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，∴CM=1/2BD=AM．∴△AMC为等腰三角形．∵N为AC中点，∴MN⊥AC．14、证明：在△AOB和△COD中OA=OB，OD=OC，∠AOB=60??，∠COD=60∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC∴∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD∴AC=BD∴∠OAC=∠OBD，∴∠APB=∠AOB=60（2）②∠APB=α．

证明：由△AOC≌△BOD可以得到∠OAC=∠OBD，利用“三角形的外角等于和它不相邻的两个外角的和”可以证明即∠BPC=∠OBD+∠BOC+∠OCA=∠OAC+∠BOC+∠OCA=180°-α，又∵∠APB=180°-∠BPC，∴∠APB=α．15、：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．16、（1）∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠B=∠ACB=45°∵BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=67.5°

∵CE=CA

∴∠CAE=∠E=∠ACB=22.5°

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=112.5°∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45°

（2）不改变

设∠CAE=x

∵CA=CE

∴∠E=∠CAE=x

∴∠ACB=∠CAE+∠E=2x

在△ABC中，∠BAC=90°

∴∠B=90°-∠ACB=90°-2x∵BD=BA

∴∠BAD=∠BDA=（180°-∠B）=x+45°

在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠E=180°-(90°-2x）-x=90°+x∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=（90°+x）-（x+45°）

=45°课后练习：MT9527；2、6；3、1；4、B;5、B;6、略；7、略．8、（1）、OA=OB=OC(2）△OMN是等腰直角三角形．

证明：连接OA，∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO中，AN=BM，∠NAO=∠B，AO=BO，∴△NAO≌△MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点，∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．9、解：（1）∵BD⊥BC，∴△DBC是直角三角形，当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，又∵∠A=2∠C，∴∠A=∠APB，∴△ABP是等腰三角形，∴BP=AB；（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，∵∠BDC+∠C=90°，∴∠A+∠C＜90°，即2∠C+∠C＜90°，解得∠C＜30°．10、⑴ΔCOD是等边三角形．理由：∵∠OCD=60°，OC=DC，∴ΔOCD是等边三角形．⑵∵∠ODC=60°，∠ADC=∠AOB=105°，∴∠ADO=45°，①AO=AD，则∠AOD=45°，∠AOC=105°，∴α=360°-2×105°=150°，②OA=OD，则∠AOD=90°，∴α=360°-105°-90°-60°=105°，③DA=DO，则∠AOD=1/2(180°-45°)=67.5°，α=360°-(105°+60°+67.5°)=127.5．∴当α为150°或105°或127.5°时，ΔAOD是等腰三角形．⑶由⑵知，∠ADO=45°，∴ΔAOD不能成为等边三角形．⑷设AC与OD相交于P，∵∠ADO=45°，∴∠DAC=45°，∴∠CBO=∠DAC=45°，在ΔACD中，∠ADC=105°，∴∠ACD=30°，∴∠BCO=∠ACD=30°，∴α=180°-(∠CBO+∠BCO)=105°．11、（1）能（2）∵小木棒长度都相等，∴∠A1A2A=∠θ，∠A2A3A1=∠θ1，由三角形外角性质，∠θ1=∠A1A2A+∠θ=2∠θ，∠θ2=∠θ+∠θ1=∠θ+2∠θ=3θ；依此类推，∠θ3=4θ，∠θ4=5θ，∵只能摆放4根小木棒，∴5θ≥90°4θ+4θ＜180°，解得18°≤θ＜22.5°．12、（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动