辽宁省大连市第六十二高级中学高三数学理联考试题含解析

辽宁省大连市第六十二高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.计算（

）A．0

B．2

C.4

D．6参考答案：D2.已知函数f(x)＝，若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)＝0，则a＋b等于()

A．－1

B．0

C．1

D．不确定参考答案：C略3.已知函数，且在上是增函数，则实数的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形参考答案：D【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinB﹣sinA）=0，从而可得A=或B=A或B=π﹣A（舍去）．【解答】解：∵c﹣acosB=（2a﹣b）cosA，C=π﹣（A+B），∴由正弦定理得：sinC﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinAcosB=2sinAcosA﹣sinBcosA，∴cosA（sinB﹣sinA）=0，∵cosA=0，或sinB=sinA，∴A=或B=A或B=π﹣A（舍去），故选：D．5.如图,直三棱柱中,若,,则异面直线与所成的角为

A.

B.

C.

D.参考答案：A6.如图，网格纸上小正方形的为长为1，粗实线面出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（

）A.6 B.9 C. D.参考答案：A【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解即可．【详解】由三视图可知该几何体的各个面分别为，两个梯形PQCD和PQBA，一个矩形ABCD，两个三角形PDA和三角形QCB，所以两个梯形的面积相等，和为．故选：A．

【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是几何体的直观图的形状，考查空间想象能力以及计算能力．7.

已知，则的表达式为（）

B．

C．

D．参考答案：A8.直线与圆相交于A、B两点，若弦AB的中点为（-2，3），则直线的方程为（

）A.

B. C.

D.参考答案：A9.的展开式中，中间一项的二项式系数是A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.以双曲线x2-y2=2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是A.x2+y2-4x-3=0

B.x2+y2-4x+3=0C.x2+y2+4x-5=0

D.x2+y2+4x+5=0参考答案：答案：B解析：双曲线x2-y2=2的右焦点为（2，0），即圆心为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆方程为，即x2+y2-4x+3=0，选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当时，AE+BF是定值。其中正确说法是_______。（写出正确说法的序号）参考答案：（1）、（3）略12.在△中，，为线段上一点，若，则△的周长的取值范围是

.参考答案：13.给出以下四个命题：①设,，则的充分不必要条件；②过点且在轴和轴上的截距相等的直线方程是；③若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；④若直线和直线垂直，则角其中正确命题的序号为

．（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：①③14.如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，则该多面体面的个数为

，体积为

．参考答案：4，.考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断该几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，利用面的特点，得出线段，运用公式求解几何体的体积．解答： 解：∵该几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，∴该几何体是一个三棱锥，OA=OB=OC=2，OA，OB，OC两两垂直，即该多面体面的个数为4，体积为；=

故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，恢复几何体的直观图，判断棱长，直线平面的位置关系，属于中档题．15.在中，是边所在直线上任意一点，若，则

参考答案：16.若，则=_________.参考答案：17.已知,则函数的零点的个数为__________.A.1

B.2

C.

3

D.4参考答案：B三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在数列中，。（1）记，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，记，数列的前项和为。求证：＜。参考答案：解：（1），

即是等比数列

（2）由（1）可知：＜

＜＜

故＜19.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若a=8，求C上的点到l的距离的最大值．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；36：整体思想；4G：演绎法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）将参数方程化为直角坐标方程，然后联立直线方程与椭圆方程即可求得交点坐标；（2）求得距离公式的三角函数表达式，结合三角函数的性质即可求得最终结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为化为标准方程是：；a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；联立方程可得：或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和．（2）若a=8，则l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣12=0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），所以点P到直线l的距离d为：，当sin（θ+φ）=﹣1时，C上的点到l的距离有最大值．20.（本小题满分13分）已知椭圆C：右焦点F的坐标是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．（Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过椭圆右焦点且不垂直于坐标轴的直线与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点，且，求的值．参考答案：【解】：（Ⅰ）由题意,椭圆方程为……………（6分）（Ⅱ）设AB,直线方程为：由得所以，*

……………（10分）得，代入*得

略21.如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥，M，

N分别是线段，上的动点，且满足：．(1)求证：∥平面；(2)求l的值，使得平面ABC与平面MNC

所成的锐二面角的大小为45°.参考答案：方法一：(Ⅰ)证明：由，得MN∥PE，

又依题意PE∥BC，所以MN∥BC．因为平面，平面，所以//平面．

…………6分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知MN∥BC，故C、B、M、N共面，平面ABC与平面MNC所成的锐二面角即N—CB—A．因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且CB⊥AC，所以CB⊥平面PAC．故CB⊥CN，即知为二面角N—CB—A的平面角……10分所以．在△NCA中运用正弦定理得，．ks5u所以，．

……14分方法二：(1)证明：如图以点C为原点建立空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝1，CB＝t（t>0），，则，，，，．由，得，

，．=(0，0，1)是平面的一个法向量，且，故．又因为MN平面ABC，即知MN∥平面ABC．

(2)解：，，设平面CMN的法向量，则，，可取，又=(0，0，1)是平面的一个法向量．由，以及可得，即．解得（将舍去），故．

22.已知函数g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x．（Ⅰ）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；（Ⅱ）若b=a+1，x1，x2是函数g（x）的两个极值点，求证：g（x1）+g（x2）+4＜0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出g（x）的导数，得到g（1），g′（1），根据系数相等求出a，b的值即可；（Ⅱ）求出x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，得到x1+x2=a，x1?x2=a，根据△＞0，求出a＞4，于是g（x1）+g（x2）+4=alna﹣a2﹣a+4，令h（x）=xlnx﹣x2﹣x+4，（x＞4），根据函数的单调性求出h（x）＜h（4），从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）函数g（x）=alnx+x2+（1﹣b）x，x＞0，g′（x）=+x+（1﹣b），g（1）=﹣b，g′（1）=a﹣b+2，∴切线方程是：y﹣+b=（a﹣b+2）（x﹣1），即：2（a﹣b+2）x﹣2y﹣2a﹣1=0，又切线方程为8x﹣2y﹣3=0，∴，解得：a=1，b=﹣1；（Ⅱ）若b=a+1，则g（x）=alnx+x2﹣ax，（x＞0），g′（x）=+x﹣a=，（x＞0），若x1，x2是函数g（x）的两个极值点，则x1，x2是方程x2﹣ax+a=0的根，∴x1+x