吉林省长春市市第八十四中学高三数学理下学期期末试卷含解析

吉林省长春市市第八十四中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺,问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）A．128π平方尺

B．138π平方尺

C.140π平方尺

D．142π平方尺参考答案：B2.设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（?UA）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）参考答案：C【考点】子集与交集、并集运算的转换；集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出?UA，再根据（?UA）∪B=R，求出a【解答】解：集合A={x|x＞1}，?UA={x|x≤1}，B={x|x＞a}，若（?UA）∪B=R，则a≤1，即a∈（﹣∞，1]．故选C3.已知非零向量满足，则为A.等腰非等边三角形 B.等边三角形C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形参考答案：A4.已知函数在点处的切线经过原点，则实数（

）A．1 B．0 C． D．参考答案：A，，切线方程为，故，解，故选A．5.设全集,则A． B．C． D．参考答案：B6.若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣1B．0C．1D．2参考答案：C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1∴f′（x）=﹣a?sinx，g′（x）=2x+b∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1且f′（0）=0=g′（x）=b即a=1，b=0∴a+b=1故选C点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出f（0）=g（0）且f′（0）=g′（x）是解答的关键．7.如图，在四面体OABC中，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.设全集，集合,，则图中阴影部分表示的集合为A．

B．C．

D．参考答案：D9.某程序框图如图所示，若输入的n=10，则输出结果为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值，由于S=++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故选：C．10.设在函数的图象上的点处的切线斜率为k，若，则函数的图像大致为参考答案：A，即切线斜率，则函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B,C.当时，，排除D，选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量的夹角为，________________.参考答案：1略12.已知函数（为常数）的图象在点处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：13.若x，y满足约束条件，则的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率的几何意义利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得，即C（2，﹣1），则CD的斜率z==﹣，即的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．14.在正四面体ABCD中，M是棱BD上的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为_____参考答案：【分析】取上的中点，连,在△中,利用各边的大小关系得到答案.【详解】取上的中点，连，,则为所求异面直线夹角或其补角。设在△中，,同理，则在△中，.【点睛】本题考查了异面直线夹角问题,其中将AB通过平行转化为MN是解题的关键.

15.用随机数表法从名学生（男生人）中抽取人进行评教，某男生被抽取的机率是___________________。参考答案：

解析：每个个体被抽取的机率都是16.已知，则=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．17.（4分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）等于=．参考答案：5+5i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．解：（2+i）（3+i）=6﹣1+5i=5+5i．故答案为：5+5i．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）在中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且(I) 求的值；（II）若，求bc的最大值.参考答案：【知识点】两角和与差的三角函数；余弦定理.C5,C8【答案解析】

解析：解：（I）在中，因为，所以（II）由余弦定理知所以，当时，bc的最大值是【思路点拨】由两角和与差的展开式可求出值，再由余弦定理可求出值.19.已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．20.（本题满分16分）和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有成立，称函数与在上互为“函数”.（1）若函数，，与互为“函数”,证明：.（2）若集合，函数，，判断函数与在上是否互为“

函数”，并说明理由.（3）函数(，在集合上互为“函数”,求的取值范围及集合.参考答案：（1）证明：函数与互为“函数“,则对于,

恒成立.即在上恒成立………………2分化简得………………2分所以当时，，即…1分（2）假设函数与互为“函数”，则对于任意的

恒成立.即，对于任意恒成立…2分.当时，.不妨取，则，所以………………2分

所以假设不成立，在集合上，函数与不是互为“函数”………1分.（3）由题意得，（且）………2分

变形得，，由于且

，因为，所以，即………2分

此时，集合………2分21.（本题满分12分）

今年十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名

男女总计满意503080不满意102030总计6050110（1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？（2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率；（3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关注：临界值表：P()0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879参考答案：解：（1）根据分层抽样可得：样本中满意的女游客为名，样本中不满意的女游客为名。（2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为，对景区的服务不满意的2名女游客分别为。从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本事件，分别为：，，，，；其中事件A：选到满意与不满意的女游客各一名包含了6个基本事件，分别为：，，所以所求概率

。（3）假设：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则应该很小。根据题目中列联表得：由可知：有99％的把握认为：该景区游客性别与对景区的服务满意有关