河北省保定市金帆中学高三数学理模拟试卷含解析

河北省保定市金帆中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则an+1与an的关系可以表示为（）A．an+1=+150 B．an+1=+200C．an+1=+300 D．an+1=+180参考答案：A【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列递推式，结合an+bn=500，两式联立消去bn得数列{an}的递推公式．【解答】解：依题意得，消去bn得：an+1=an+150．故选：A．【点评】本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题2.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是（

）A．1 B．2 C．3

D．参考答案：C3.（5分）下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点． A． 0 B． 1 C． 2 D． 3参考答案：B考点： 空间中直线与平面之间的位置关系．专题： 空间位置关系与距离．分析： 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答： 解：①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α平行或相交，故①错误；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行或异面，故②错误；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行或包含于这个平面，故③错误；④若直线l与平面α平行，则由直线与平面平行的定义知l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故④正确．故选：B．点评： 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．4.在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC=2，E为棱BC的中点，点G在AE上且满足AG=2GE，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则（

）A．

B．

C．

D．2参考答案：D设△ABC的外心为O，则点O在AE上，设OE=r,则.设四面体ABCD的外接球半径为R，则.因为所以.故选D.

5.若在处取得极大值10，则的值为（

）A．或

B．或

C.

D．参考答案：C试题分析：∵，∴，又在处取得极大值，∴，，∴，∴，或，．当，时，，当时，，当时，，∴在处取得极小值，与题意不符；当，时，，当时，，当时，，∴在处取得极大值，符合题意；，故选C.考点：利用导数研究函数的极值.【方法点晴】本题考查函数在某点取得极值的条件求得，是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．由于，依题意知函数在某点处有极值得导数值为，，极值为，，即可求得，，从而可得答案．在该种类型的题目中，最容易遗漏的地方是对所求结果进行检验.6.已知集合，则A． B． C． D．参考答案：C7.一个锥体的正视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（

）A. B.C. D.参考答案：C分析】本题首先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，即可得出结果。【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，中的视图满足作图法则；中的视图满足作图法则；中的视图不满足锥体的顶点在左前方；中的视图满足作图法则，故选。【点睛】本题考查了三视图的相关性质，主要考查了三视图中的主视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现了基础性，是简单题。

8.若函数f（x）=x3+f′（1）x2﹣f′（2）x+3，则f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为(

)A． B． C． D．π参考答案：D【考点】导数的几何意义．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在点（0，f（0））处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出倾斜角α的值．【解答】解析：由题意得：f′（x）=x2+f′（1）x﹣f′（2），令x=0，得f′（0）=﹣f′（2），令x=1，得f′（1）=1+f′（1）﹣f′（2），∴f′（2）=1，∴f′（0）=﹣1，即f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为﹣1，∴倾斜角为π．故选D．【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象、直线的倾斜角等基础知识，属于基础题．9.设函数，则满足的x的取值范围是（A），2]

（B）[0，2]

（C）[1，+）

（D）[0，+）参考答案：D略10.定义行列式运算，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将等比数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，，则数阵的第5行所有项之和为参考答案：992【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意可的第5行a11，a12，a13，a14，a15，再根据等比数列的前n项和公式计算即可．【解答】解：由题意可的第5行a11，a12，a13，a14，a15，∵，∴a11=×210=32，∴a11+a12+a13+a14+a15==992故答案为：99212.已知下列等式：观察上式的规律,写出第个等式________________________________________.参考答案：13.在的展开式中的系数为

．参考答案：160展开式的通项为：，令，所以系数为：故答案为：160

14.已知是单位圆上的点，且点在第二象限内，点是此圆与轴正半轴的交点，记,若点的纵坐标为，则

.参考答案：略15.已知||=2，||=，，的夹角为30°，（+2）∥（2+λ），则（（+λ））?（﹣）=

．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据即可求出λ的值，然后进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：；∴；∴；∴λ=4；∴====1．故答案为：1．16.（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．参考答案：【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】写出二项展开式的通项，由x得指数为3求得r值，代入通项中求得答案．【解答】解：由，令﹣r=﹣3，得r=3．∴（1﹣）4展开式中含x﹣3项的系数是．故答案为：．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．17.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知O为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于、两点.（1）若，求直线的方程；（2）若与的面积相等，求直线的斜率.参考答案：

略19.设函数f（x）=ex﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜0.1；（3）求证：f（x）＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．（参考数据：e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈1.609，ln7≈1.946）．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；（2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；（3）求出函数的导数，得到函数零点的范围，结合函数的单调性证明即可．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣，∵函数y=ex和y=﹣在（0，+∞）均递增，∴f′（x）在（0，+∞）递增，而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右两侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈0.51＜?＞，且f′（x）在[，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（0.5，0.6），∴x0的近似值x′可以取x′=0.55，此时的x′满足|x′﹣x0|＜0.6﹣.05=0.1；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈0.56＜?＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），f（x）的极值点x0∈（，）?x0＜，由（1）知：f′（x0）=﹣=0，且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）=1.75﹣（2ln2﹣ln7）≈2.31＞2.3，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞2.3对x∈（0，+∞）恒成立．20.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|?|PB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）根据题意直接求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．（II）把代入x2+（y﹣3）2=9，利用参数的几何意义，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为ρ=6sinθ．（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2=9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2=﹣7，则|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，∴|PA|?|PB|=7．21.已知定义在实数集上的奇函数有最小正周期2，且当时，

(Ⅰ）求函数在上的解析式；

(Ⅱ）判断在上的单调性；(Ⅲ）当取何值时，方程在上有实数解？参考答案：（Ⅰ）∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)=0.设x∈(－1,0),则－x∈(0,1)，

(Ⅱ）设,

∵，∴，∴

∴f(x)在（0，1）上为减函数.

(Ⅲ）∵f(x)在（0，1）上为减函数，∴

方程上有实数解.22.已知函数（，）的图像如图所示，直线，是其两条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）若，且，求的值．参考答案：解：(1)由题意，＝－＝，∴T＝π.又ω＞0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．(2分)由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－＜φ＜，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)．(5分)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(7分)(2)解法1：依题意得2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，(8分)∵＜α＜，∴0＜2α－＜.∴cos(2α－)＝＝＝，(10分)f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]．∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)s