2022年湖南省衡阳市高湖中学高二数学理期末试卷含解析

2022年湖南省衡阳市高湖中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，，是自然对数的底数(

)A.若，则

B.若，则C.若，则

D.若，则参考答案：A略2.已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：A3.若，，且，则(

)A. B.C. D.参考答案：A4.设命题则为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C5.一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有1件次品的概率为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A6.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为：A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.是的什么条件(

)A.充分必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分与不必要参考答案：A8.设a，b，c∈（0，+∞），则三个数a+，b+，c+的值（）A．都大于2 B．都小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】利用反证法，即可得出结论．【解答】解：假设3个数a+＜2，b+＜2，c+＜2，则a++b++c+＜6，利用基本不等式可得a++b++c+=b++c++a+≥2+2+2=6，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，所以，3个数a+，b+，c+中至少有一个不小于2．故选：D．9.在的展开式中，的系数为（

）A.60 B.-60 C.240 D.-240参考答案：A【分析】写出的展开式的通项公式，让的指数为2，求出，最后求出的系数.【详解】的展开式的通项公式为：，令，所以的系数为：，故本题选A.10.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点N（1，0）时的最小值，过点M（2，0）时，2x+y最大，从而得到选项．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出参考答案：略12.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则

_______________参考答案：0是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，，，，，，所以０．13.若复数z满足，则的最大值为

．参考答案：2依题意，设复数，因为，所以有，由复数的几何意义，可知对应的点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，因为表示圆周上的点到原点的距离，所以的最大值为，所以答案为2.

14.设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则

_____

参考答案：415.设向量=（1，x），=（﹣2，2﹣x），若∥，则x=

．参考答案：﹣2【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据即可得到关于x的方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：∵；∴1?（2﹣x）﹣（﹣2）?x=0；解得x=﹣2．故答案为：﹣2．16.在中,则

___________________.参考答案：12略17.一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．参考答案：

解析：垂直时最大

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某校对高二学生的视力进行了一次抽样调查.调查时随机抽取了一部分学生作为样本.现将样本数据分组，分组区间为得到如右频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量的值；（Ⅱ）若该校某位高二学生被抽进本次调查的样本的概率为，请你根据本次抽样调查的结果估计该校高二学生中视力高于的人数.参考答案：解：（Ⅰ）由，于是，，

，即，，，

．

…………6分（Ⅱ）据题意，全校高三学生人数为人．根据频率统计表知，该校高三学生中视力高于的人数为人．………12分19.在直角坐标系xoy中，直线l的方程为x﹣y+4=0．以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）求直线l的极坐标方程，曲线C的直角坐标方程；（2）若点P曲线C上任意一点，P点的直角坐标为（x，y），求x+2y的最大值和最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）把代入可得直线l的极坐标方程．把曲线C的极坐标方程展开可得：ρ2﹣4ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把及其ρ2=x2+y2代入即可得出直角坐标方程．（2）x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，配方化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，圆心C（2，2），半径r=．设x+2y=t，则圆心C到直线的距离d=≤，解出即可得出．【解答】解：（1）直线l的方程为x﹣y+4=0．把代入可得直线l的极坐标方程：ρcosθ﹣ρsinθ+4=0．曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0，展开可得：ρ2﹣4ρ（cosθ+sinθ）+6=0，把及其ρ2=x2+y2代入可得：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，配方化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，圆心C（2，2），半径r=．设x+2y=t，则圆心C到直线的距离d=≤，解得≤t≤10+．∴x+2y的最小值和最大值分别为：；10+．20.已知数列是等差数列，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

，等号在时取得．此时需满足．

②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．

是随的增大而增大，时取得最小值．此时需满足．

综合①、②可得的取值范围是．（3），若成等比数列，则，即．…12分（法一）由，可得，即，

------------------------14分．

又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．--------16分（法二）因为，故，即，，（以下同上）．

--------------------14分21.（本小题14分）已知数列、中，对任何正整数都有：．（1）若数列是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列是等比数列；（2）若数列是等比数列，数列是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；参考答案：（1）证明：∵∴∴∵数列是首项和公差都是1的等差数列∴∴n≥3时bn=4×3n-1

又b1=4,b2=12也符合上式∴bn=4×3n-1∴

∴数列是等比数列（2）设数列的公比为q.∵

（1）

（）（）∴

（2）（2）-（1）得：anb1=3n+1-2n-3-q3n+2q(n-1)+3q

(n≥2)q=3时an=又a1=也符合上式，∴q=3时an=∴数列是等差数列q≠3数列不是等差数列22.（满分12分）某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。已知射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。（1）求这名射