材料力学讲义四九

Chapter5Stressesinbeams第五章弯曲应力§5-1引言

(Introduction)§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)§5-3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5-4梁的切应力及强度条件

(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力

(Stressesinbeams)

§5-5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力

(Stressesinflexuralmembers)当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩M，又有剪力FS.§5-1引言

(Introduction)mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素

dFN=dA

才能合成弯矩.弯矩M正应力s剪力FS切应力t内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA

才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.二、分析方法

(Analysismethod)平面弯曲时横截面

纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)ss

t

简支梁CD段任一横截面上，剪力等于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯曲就是纯弯曲.若梁在某段内各横截面的弯矩为常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲.三、纯弯曲（Purebending)++FF+FaFFaaCDABdeformationgeometricrelationship

Examinethedeformation，thenproposethehypothesis

DistributionregularityofdeformationDistributionregularityofstressEstablishtheformula变形几何关系物理关系静力关系

观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式physicalrelationshipstaticrelationship

§5-2纯弯曲时的正应力

(Normalstressesinpurebeams)一、实验（Experiment）1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设

(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径r??yzxOMdAzyσdA四、静力关系

(Staticrelationship）横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得（1）（2）（3）将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心自然满足将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.讨论（1）应用公式时，一般将My

以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断

的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(

为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.则公式改写为引用记号—抗弯截面系数（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdyzy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式

当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.§5-3

横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲(Nonuniformbending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula)

1.在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)

3.平面弯曲（Planebending）4.直梁（Straightbeams）2.具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）三、强度条件（Strengthcondition)1.数学表达式（Mathematicalformula)梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.2.强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)（2）设计截面（3）确定许可载荷（1）强度校核对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[s]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；（2）求惯性矩，抗弯截面系数（3）求许可载荷80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：最大正羞弯矩在反截面C上最大柿负弯沈矩在悟截面B上B截面C截面80y1y22020120z例题3由n片薄片剖组成的理梁，当走每片间虑的磨擦雪力甚小称时，每栗一薄片廊就独立冻弯曲，喉近似地巩认为每腊片上承振担的外统力等于zbFlh解：邮每一雁薄片忘中的湾最大裤正应概力zbFlh若用匙刚度施足够改的螺雪栓将删薄片浑联紧弃，杆决就会殿象整钩体梁掠一样容弯曲最大正搬应力等熄于一、梁衡横截面溉上的切陪应力（She谣ar维str昂ess藏es汉in祸be货ams）1.矩形截粗面梁(Be麦am蠢of续rec葡tan梨gul恋ar幕cro负ss痒sec弃tio械n)§5坏-4梁的闹切应促力及取强度趴条件(Shea产rstr红ess健es男in蚀bea衡ms亩and归st匹ren忌gth资co损ndi秋tio界n)（1）两胁个假岁设(T绢wo挥a霉ss封um榨pt俯io凉ns肥)（a）切应力值与剪力屋平行；（b）切应对力沿截蒜面宽度捡均匀分杏布（距夏中性咐轴等帆距离肠处切半应力肃相等披）.q(x)F1F2（2）分套析方岛法(A勉na晓ly脸si吗s桥me摸th固od改)（a）用横截让面m-m,n-n从梁袭中截浴取dx一段.两横截计面上的建弯矩不灿等.所以姥两截骆面同译一y处的谋正应距力也珠不等让；（b）假想地错从梁段叠上截出稿体积元冤素mB1，在两树端面mA1，nB1上两烛个法秃向欣内力予不等.q(x)F1F2mmnnxdxmnnmxyzObdxm’m’hnyABA1B1ABB1A1mnxzyyḿFN2FN1mnnmxyzOyABA1B1bdxm’m’hnττ’（c）在西纵截混面上脸必有悦沿x方向涉的切埋向内察力dFS′.故在理此面米上就贫有切雪应力τ.根据假才设，横旁截面上酸距中性腹轴等远随的各点蒸处切应称力大小氏相等.各点的蛾切应力愧方向均装与截面通侧边平皇行.取分离厚体的平与衡即可东求出.ABB1A1mnxzyyFN1FN2dFS’ḿABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’（3）公式油推导(De吉riv哲ati灰on留of虑the佩f缠orm朽ula定)假设m-m，n-n上的弯驶矩为M和M+dM，两版截面陕上距谣中性完轴y1处的开正应娃力为1和2.A1为距砍中性钉轴为y的横乏线以岛外部接分的拢横截键面面险积.式中迁：为面积A1对中性轴的静矩.A1化简后变得由平衡齿方程A1ABB1A1mnxzyym’FN2FN1dFS’b矩型选截面篮的宽遍度.yz整个横欢截面对瓣中性轴贷的惯性极矩.距中性追轴为y的横江线以冬外部难分横截面面燃积对中奴性轴的姻静矩.（4）切应乌力沿截铁面高度饰的变化锹规律(刮Th宽e斧sh哥ea转r-私s订tr步es膊s律di仿st域ri警bu匠ti禽on鼠o购n吨th糊e帮re玻ct框an狱gu僵la求r慕cr渔os伍s匆se址ct狐io粗n更)沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，镇切应力宿沿截面象高度按路抛物线帆规律变熄化.zτmaxy=±h/2（即疤在横盖截面快上距居中性挡轴最纱远处砖）t=0y=0（即掌在中津性轴碌上各默点处梦），拦切应桌力达冲到最告大值式中，A=bh为矩形截面的面积.z截面漆静矩睁的计俩算方蜜法A为截戚面面赌积为截面的形心坐标A12.工字态形截穷面梁（工-s脖ec反ti就on饼b苗ea年m)假设求毛应力的芹点到中胁性轴的贩距离为y.研究遗方法润与矩闲形截白面同酸，切巨应力酷的计敬算公启式亦熔为Hoyxbzhd—腹板的惭厚度Ozydxy—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.tminozytmaxτmax（a）腹晕板上晕的切赖应力膝沿腹袋板高帅度按肯二次贡抛物图线规桶律变膨化；（b）最驶大切思应力嘉也在召中性革轴上.这也是者整个横垦截面上柜的最大肿切应力.tmintmax式中:—中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.ydzO假设须：（a）沿泼宽度k-k'上各点昆处的切菌应力均汇交蹦于O'点；（b）各点涌处切应蛛力沿y方向的恢分量沿宽度馒相等.在截面栋边缘上屯各点的求切应力若的方向叮与圆周衬相切.3.圆截眨面梁(Be刑am故of篇ci企rcu领lar逐cr军oss赴se尿cti采on)Ozytmax最大切标应力发覆生在中没性轴上ydzO式中为圆截面的面积.4.圆环不形截岛面梁(C悲ir纵cu张la湖r被pi挥pe荣b剩ea固m)图示黄为一胡段薄陕壁环鼻形截僵面梁.环壁此厚度请为，环司的平晨均半果径为r0，由于«r0故可淘假设（a）横截释面上切姐应力的猾大小沿羞壁厚无礼变化；（b）切应胀力的方材向与圆秩周相切.zyr0δ式中A=2r0为环形轧截面的奋面积横截面日上最大斜的切应蛾力发生熟中性轴连上，其对值为zyr0δ二、她强度微条件（St赖re街ng践th进c予on省di缝ti惠on）三、需惊要校核孝切应力克的几种烂特殊情瓜况（1）梁的糊跨度较仔短，M较小，疲而FS较大半时,要校核完切应力亲；（2）铆接活或焊接熊的组合脑截面,其腹爪板的肺厚度讲与高尚度比杏小于场型钢的相躲应比低值时俱，要替校核押切应酒力；（3）各向谎异性房诚材料(如木材)的抗斑剪能赚力较围差，要校蓄核切幸应力.maxF例题4一简虏易起拌重设畏备如勤图所蚊示.起重量(包含电坊葫芦自另重)F=3迁0kN.跨长l=满5俭m.吊车睁大梁AB由20a工字钢胡制成.其许趟用弯显曲正感应力[]=1趴70M无Pa,许用竞弯曲征切应柜力[]=宝100答MPa，试校浴核梁染的强浮度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：剥此吊牙车梁借可简逃化为饭简支娇梁，坏力F在梁聪中间穷位置房诚时有达最大激正应流力.（a）正社应力羡强度灿校核由型钢表查得20a工字钢的所以之梁的爬最大伞正应应力为+FSmax5mABFC（b）切炭应力协强度邀校核在计神算最抹大切赖应力茧时，矛应取纪荷载F在紧俊靠任属一支傻座例伟如支枝座A处所卡示，匠因为坏此时柴该支架座的械支反略力最旅大，乖而梁寻的最后大切毁应力爽也就么最大.查型钢糕表中，20a号工雁字钢碗，有d=7mm据此袋校核弊梁的钓切应锯力强协度以上狡两方休面的赏强度送条件巾都满间足，尝所以抖此梁犹是安槽全的.例题5简支梁AB如图俘所示.l＝2m，a＝0.2贴m.梁上的戒载荷为q为10k播N/m，F＝20船0k餐N.材料屠的许尽用应狱力为[]=尝16颗0M臂Pa，[]＝100遵MPa，试闪选择诞工字芦钢型抬号.解：回（1）计算鞋支反力特做内力挠图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根变据最趁大弯线矩选没择工侵字钢哈型号查型钢提表，选案用22a工字钢裤，其Wz＝30捐9c拦m3FRAFRB（3）校艳核梁淋的切蜂应力腹板厚唯度d=0饿.7颂5c产m，由剪梯力图知跨最大剪混力为21炕0k迎N查表得τma狱x超过[t]很多，羞应重新勺选择更再大的截债面.现已25夜b工字钢废进行试他算查表得d=1cm所以呼应选牲用型堂号为25b的工岩字钢.例题6对于门图中走的吊证车大自梁，推现因镜移动押荷载F增加瞒为50k结N，故在20胳a号工字撑钢梁的溉中段用折两块横阀截面为120搬mm1壁0m邪m而长铃度2.察2m症m的钢债板加到强加示强段却的横衡截面厦尺寸狱如图粉所示.已知排许用邻弯曲箭正应办力[]=朴15纲2M瞧Pa，许用切轧应力[]=9即5MP翻a.试校核择此梁的听强度.2.2m200z22012010解：加绿强后的肚梁是阶然梯状变浇截面梁.所以确要校副核（3）F移至未怠加强的腹梁段在尤截面变恰化处的虚正应力.（2）F靠近支厚座时支座截引面上的切应邻力；（1）F位于淋跨中下时跨迎中截锁面上的永弯曲镇正应圣力；（1）校定核F位于跨巾中截面蛛时的弯伐曲正应艺力查表得20a工字钢62籍.5技kN·m2.2mF1.41m2.5m5mABCD1.4mFRBFRA最大弯矩值为跨中迅截面自对中手性轴驰的惯堂性矩沃为200z22012010略去门了加救强板爪对其快自身服形心故轴的雾惯性形矩.抗弯截面系数（2）校四核突忘变截爪面处残的正滩应力免，也引就是散校核纺未加这强段议的正岗应力但强度.2.2某mF1.4迈1m2.裤5m5mABCD1.香4mFRBFRA50.4kN·m该截末面上顶的最挑大弯头矩为从型钢短表中查胡得20抽a工字钢梁不能秘满足正虫应力强荐度条件.为此应塞将加强洽板适当曾延长.（3）校从核阶趋梯梁郊的切充应力F靠近脆任一秤支座码时，墓支座款截面帮为不扎利荷阶载位胸置请同学泥们自行批完成计抹算.§5途-5提高梁失强度的伶主要措庙施（Me丙as捕ur桂es尝t计o友s岗tr材en程gt肠he轮n让th妹e超s懒tr堪en吩gt勾h带of暮be元am笛s