高数课件其他向量及其线性运算

一、向量概念二、向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算三、空间直角坐标系安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§8.1向量及其线性运算VectorandOperationsofVectors高等数学课件编五、向量的模、方向角、投影高等数学§8.1向量及其线性运算一、向量概念1.1、概念1.2、两非零向量的关系二、向量的线性运算2.1、向量的加减法2.2、向量与数的乘法三、空间直角坐标系3.1、坐标系的构成3.2、点、向量与坐标四、利用坐标作向量的线性运算4.1、向量的加减法与数乘4.2、平行向量坐标表示式五、向量的模,方向角,投影5.1、向量的模与两点间的距离公式5.3、向量在轴上的投影六、小结思考题作业：12页3;5;13;15;18.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？5.2、方向角与方向余弦⑴向量：既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：模长为1的向量.模长为0

的向量.||⑶向量的模：向量的大小.或或或一、向量的概念1.1、概念⑷单位向量：⑸零向量:⑹自由向量：不考虑起点位置的向量.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.⑻负向量：大小相等但方向相反的向量.⑼向径：空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.1.2、两非零向量的关系⑴相等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行或共线：方向相同或相反的两个非零向量.⑶垂直：方向成90°夹角的两个非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为零向量与任何向量都平行或垂直。⑷共面：

把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.一、向量的概念2.1、向量的加减法二、向量的线性运算⑴加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）⑵向量的加法符合下列运算规律：①交换律：②结合律：③加负律：⑶减法二、向量的线性运算2.2、向量与数的乘法⑴定义：⑵数与向量的乘积符合下列运算规律：①结合律：②分配律：⑶线性运算：向量的加法及数乘统称为线性运算。二、向量的线性运算例1化简解例2

试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.二、向量的线性运算按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.⑷单位向量的表示注意：与三坐标轴同向的单位向量记法：二、向量的线性运算⑸两个向量的平行关系证充分性显然；下面证明必要性两式相减，得二、向量的线性运算横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系Oxyz坐标系或[O;i,j,k]坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.3.1、坐标系的构成⑴

坐标轴：横轴、纵轴、竖轴⑵

坐标面：xOy面、yOz面、zOx面⑶

卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ三、空间直角坐标系Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ无极生太极,太极生四象;四象生八卦,八卦生万物.乾(天)坤(地)坎(水)离(火)震(雷)艮(山)巽(风)兑(沼泽)艮gèn巽xùn三、空间直角坐标系空间的点M有序数组3.2、点、向量与坐标⑴点与实数组的关系:⑵特殊点的表示:①坐标轴上的点②坐标面上的点xyz),,(zyxM③.坐标Ⅰ(+,+,+);Ⅱ(-,+,+);Ⅲ(-,-,+);Ⅳ(+,-,+);Ⅴ(+,+,-);Ⅵ(-,+,-);Ⅶ(-,-,-);Ⅷ(+,-,-)x>0前四个卦限；y>0右四个卦限；z>0上四个卦限。一、空间直角坐标系空间的点M有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点3.2、点、向量与坐标三、空间直角坐标系Ⅰ(+,+,+);Ⅱ(-,+,+);Ⅲ(-,-,+);Ⅳ(+,-,+);Ⅴ(+,+,-);Ⅵ(-,+,-);Ⅶ(-,-,-);Ⅷ(+,-,-)x>0前四个卦限；y>0右四个卦限；z>0上四个卦限。练习1

已知点M(2,-1,3),则M点⑴关于原点的对称点是

；⑵关于坐标轴的对称点是

Ox轴

,Oy轴

,Oz轴

;⑶关于坐标面的对称点是

xOy面

,yOz面

,zOx面

;练习2指出下列各点在空间直角坐标系哪个卦限？A:Ⅳ;解:B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ.一、空间直角坐标系数学小故事

从一到二、从二到三、从三到四、……，可见在低维空间实现不了的事，在高维空间很容易实现，由此看来，从理论上说翻皮球可以在四维空间实现。从智慧小虫翻皮球到四维空间

从爱因斯坦到霍金，从宇宙黑洞到时间简史，从科幻时光列车到自由穿梭于过去和未来，去改变人类的历史。当然，从一定意义上说，这会破坏游戏规则。相关链接三、空间直角坐标系4.1、向量的加减法与数乘⑴加法⑵减法⑶数乘4.2、平行向量的坐标表示式四、利用坐标作向量的线性运算解例3

求解以向量为未知元的线性方程组解二元一次方程组，易得例4

已知两点A(x1,y1,z1)

和B

(x2,y2,z2)

以及实数λ≠-1,在直线AB上求点M,使解设为直线上的点，四、利用坐标作向量的线性运算由题意知：四、利用坐标作向量的线性运算⑴向量的模:5.1、向量的模与两点间距离公式:按勾股定理可得⑵两点间距离公式:五、向量的模、方向角、投影解原结论成立.例6

已知A(5,3,1)

和B

(1,0,5),求与解五、向量的模、方向角、投影解设P点坐标为所求点为例7

设P在x轴上，它到P1(0,√2,3)的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.因为P在x轴上，五、向量的模、方向角、投影5.2、方向角与方向余弦⑴空间两向量的夹角的概念:类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.五、向量的模、方向角、投影非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.⑵方向角显然有⑶方向余弦由图分析可知方向余弦通常用来表示向量的方向.向量的方向余弦方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为五、向量的模、方向角、投影例8

已知A(3,3