2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷一、选择题；本大题共10小，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞），则M∪N＝（）A．（﹣3，+∞） B．{5} C．（﹣3，5） D．[5，+∞）2．（4分）命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是（）A．∃x∈（0，+∞），ex≥x+1 B．∀x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 D．∀x∈（﹣∞，0]，ex≥x+13．（4分）已知﹣1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab4．（4分）函数y＝f（x）在x＝0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则f′（0）+f′（﹣1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．25．（4分）已知数列{an}和{bn}满足bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A． B． C． D．7．（4分）已知{an}是等差数列，公差d＜0，前n项和为Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1＞0，S4＞0 B．a1＜0，S4＜0 C．a1＞0，S4＜0 D．a1＜0，S4＞08．（4分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[﹣2，2] D．[2，+∞）9．（4分）无穷数列{an}由k个不同的数组成，前n项和为Sn，若对∀n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（4分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知f（x）＝cosx•ex，则f'（0）＝．12．（5分）设（3x2﹣x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是．13．（5分）已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak+1＞ak，②∀k∈N*，|ak+1﹣ak|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式．（答案不唯一）14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，an+3＝，下列说法正确的是．①a4＝9；②∀n∈N*，an都是正整数；③a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列；④∃k∈N*，∀n∈N*，an+an+2＝kan+1．三、解答题：本大题共6小题，共85分．15．（14分）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4+a5＝48．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项公式为bn＝an+n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．16．（14分）2021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作．我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的．某校甲、乙、丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望．17．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（x）＜x2+x．18．（14分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立．（Ⅰ）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（Ⅱ）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn）2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数）19．（14分）设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．20．（15分）设n是正整数，对每一个满足0≤ai≤n（i＝1，2，…，n）的整数数列A：0，a1…，an，定义变换T：T将数列A变换成数列T（A）：0，T（a1），T（a2），…，T（an），其中T（ai）为数列A位于ai之前的与ai不相等的项的个数（i＝1，2，…，n），令Ak+1＝T（Ak）（k＝0，1，2，⋯）．（1）已知数列A0分别为0，1，2，3和0，0，2，0，1，3，请写出对应的数列A1，A2，A3；（2）数列B：0，b1，b2，…，bn，满足bi﹣1≤bi，且bi＝i或bi﹣1（i＝1，2，…，n），求证：T（B）＝B；（3）求证：对任意满足已知条件的数列A0，当上k≥n时，Ak＝T（Ak）．

2020-2021学年北京二十中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题；本大题共10小，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞），则M∪N＝（）A．（﹣3，+∞） B．{5} C．（﹣3，5） D．[5，+∞）【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：∵M＝（﹣3，5]，N＝[5，+∞），∴M∪N＝（﹣3，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了集合的区间的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（4分）命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是（）A．∃x∈（0，+∞），ex≥x+1 B．∀x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 D．∀x∈（﹣∞，0]，ex≥x+1【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x∈（0，+∞），ex≥x+1”的否定是∃x∈（0，+∞），ex＜x+1，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（4分）已知﹣1＜a＜0，b＜0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b＜ab＜a2b B．a2b＜ab＜b C．a2b＜b＜ab D．b＜a2b＜ab【分析】因为该题为选择题，故可以用特值法，取符合条件的a，b代入进行比较即可．【解答】解：取特殊值：a＝，b＝﹣1，则ab＝，a2b＝﹣，故b＜a2b＜ab，故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，属于基础题．4．（4分）函数y＝f（x）在x＝0处的切线l经过点（1，0），如图所示，则f′（0）+f′（﹣1）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由图可知f′（﹣1）＝0，再由两点求斜率得到f′（0），作和得答案．【解答】解：由图可知，x＝﹣1是函数的极大值点，则f′（﹣1）＝0，又函数y＝f（x）在x＝0处的切线l经过点（1，0），∴直线l的斜率k＝＝﹣1，即f′（0）＝﹣1．∴f′（0）+f′（﹣1）＝﹣1+0＝﹣1．故选：B．【点评】本题考查函数的极值点与导数的关系，考查数形结合思想，是基础题．5．（4分）已知数列{an}和{bn}满足bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用等比数列的定义及其举例说明即可判断出结论．【解答】解：数列{an}和{bn}满足bn＝|an|，则“数列{an}为等比数列”⇒“数列{bn}为等比数列”，反之不成立：例如：bn＝1，an为：1，1，﹣1，1，……，∴数列{an}为等比数列”是“数列{bn}为等比数列”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春官•大师》，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A． B． C． D．【分析】现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n＝，含有打击乐器包含的基本事件个数m＝＝22，由此能求出含有打击乐器的概率．【解答】解：八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，分为金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，基本事件总数n＝，含有打击乐器包含的基本事件个数m＝＝22，∴含有打击乐器的概率为p＝＝．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（4分）已知{an}是等差数列，公差d＜0，前n项和为Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1＞0，S4＞0 B．a1＜0，S4＜0 C．a1＞0，S4＜0 D．a1＜0，S4＞0【分析】首先由a3，a4，a8成等比数列可得，然后计算得出，再由d＜0可得a1＞0，最后由等差数列的前n项和公式即可得出S4的表达式，进而得出所求的答案．【解答】因为a3，a4，a8成等比数列，所以，即，即，因为d＜0，所以a1＞0；而＝，故选：A．【点评】本题考查等差数列、等比数列以及等差数列的前n项和，考查学生的数学运算的核心素养，属于中档题．8．（4分）函数f（x）＝x3+kx2﹣7x在区间[1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[﹣2，2] D．[2，+∞）【分析】对f（x）求导，可得f'（x）＝3x2+2kx﹣7，将函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增转化为f'（x）＝3x2+2kx﹣7≥0在[1，+∞）上恒成立，再结合复合函数的单调性，以及x的取值范围，求出k的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝x3+kx2﹣7x，∴f'（x）＝3x2+2kx﹣7，∵函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，∴f'（x）＝3x2+2kx﹣7≥0在[1，+∞）上恒成立，即，设g（x）＝，则2k≥g（x）max，由复合函数的单调性，可得g（x）在区间[1，+∞）上单调递减，∴g（x）≥g（1）＝﹣3+7＝4，∴2k≥4，即k≥2，∴实数k的取值范围为[2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查利用导数求函数的单调性，以及函数恒成立问题，考查了转化的思想，属于中档题．9．（4分）无穷数列{an}由k个不同的数组成，前n项和为Sn，若对∀n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由题意可知a1＝S1∈（2，3），所以将数列写出至最多项，其中有相同的情况舍去，列举出所有的情况即可知道k的最大值．【解答】解：由∀n∈N*，Sn∈{2，3}，得a1＝S1∈{2，3}，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1，所以an∈{0，±1}，所以数列{an}最多有2，0，1，﹣1或3，0，1，﹣1，共有4个元素，故选：B．【点评】本题主要考查数列的求和，涉及分类讨论，考查学生的逻辑推理和分类讨论的能力，属于中档题．10．（4分）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（）A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，∴2a≥g（x）max＝0，∴a≥0．当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，令h（x）＝，则h′（x）＝＝，当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，∴a≤h（x）＝e，综上a的取值范围是[0，e]．故选：C．【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知f（x）＝cosx•ex，则f'（0）＝1．【分析】先求f′（x），然后求得f'（0）．【解答】解：∵f′（x）＝（cosx）′•ex+cosx（ex）′＝﹣（sinx）ex+（cosx）ex＝ex（cosx﹣sinx），∴f′（0）＝e0（cos0﹣sin0）＝1．故答案为：1．【点评】本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．12．（5分）设（3x2﹣x）n展开式的二项式系数和为32，则含x6的系数是15．【分析】首先根据二项式系数和为32求得n值，然后通过二项展开式通项求得含x6的系数．【解答】解：∵（3x2﹣x）n展开式的二项式系数和为32，∴++•••+＝2n＝32，解得n＝5．（3x2﹣x）5展开式的第r+1项为Tr+1＝（3x2）5﹣r（﹣x）r＝（﹣1）r•35﹣r•x10﹣r，由10﹣r＝6，得r＝4，∴含x6的系数是（﹣1）4•3•＝15．故答案为：15．【点评】本题考查二项式系数、二项展开式，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知数列{an}满足①∀k∈N*，ak+1＞ak，②∀k∈N*，|ak+1﹣ak|≤2，请写出一个满足条件的数列的通项公式an＝n．（答案不唯一）【分析】由已知可得数列为递增数列且后一项与前一项差的绝对值小于等于2，由此可得数列{an}的一个通项公式．【解答】解：由数列{an}满足①∀k∈N*，ak+1＞ak，可知数列为递增数列，满足②∀k∈N*，|ak+1﹣ak|≤2，可知后一项与前一项差的绝对值小于等于2，则可求数列{an}的一个通项公式为an＝n．故答案为：an＝n．【点评】本题考查数列通项公式的求法，正确理解题意是关键，是基础题．14．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，a3＝3，an+3＝，下列说法正确的是②③．①a4＝9；②∀n∈N*，an都是正整数；③a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列；④∃k∈N*，∀n∈N*，an+an+2＝kan+1．【分析】根据a1＝1，a2＝2，a3＝3，an+3＝，直接求出a4，由递推公式an+3＝，得，令，则有bn＝bn+2，从而得出数列{bn}的通项公式，从而可判断②③④的正误．【解答】解：，故①错误；因为an+3＝，所以an+3an﹣an+1an+2＝7，an+4an+1﹣an+2an+3＝7，两式相减得：an+3（an+an+2）＝an+1（an+2+an+4），即．于是令，则有bn＝bn+2，又因为，，所以，所以an+2＝bnan+1﹣an．又因为a1＝1，a2＝2，a3＝3均为整数，所以∀n∈N*，an都是整数，故②正确；当n为奇数时，则n+1为偶数，n+2为奇数，，即an+an+2＝2an+1，即a2k﹣1+a2k+1＝2a2k，所以a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，故③正确；因为，所以当n为奇数时，an+an+2＝2an+1；当n为偶数时，an+an+2＝5an+1，故④错误．故答案为：②③．【点评】本题考查数列递推式、等差数列，考查分类讨论的思想，难度较大，属中高档题．三、解答题：本大题共6小题，共85分．15．（14分）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4+a5＝48．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的通项公式为bn＝an+n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（1）直接利用等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）数列{an}是各项均为正数的等比数列，设数列的首项为a1，公比为q，由于a3＝8，a4+a5＝48，所以，解得q＝2或﹣3（负值舍去），所以a1＝2．故．（2）由（1）得：数列{bn}的通项公式为bn＝an+n﹣1＝2n+n﹣1，所以＝＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（14分）2021年6月18时48分，我国航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，这标志着中国人首次进入自己的空间站，后续还会有更多航天员进入天和核心舱开展研究工作．我国的航天员一般是从空军歼击机或强击机在飞的合格飞行员当中挑选的．某校甲、乙、丙三位同学立志投身祖国的航天事业，于是报考了空军飞行员，选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5，0.6，0.75，能通过文考关的概率分别是0.6，0.5，0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X的分布列及期望．【分析】（1）设甲，乙，丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，通过文考为A1，B1，C1，根据已知条件，可得对应的概率，即可推得甲被录取成为空军飞行员的概率P1＝1×1×0.5×0.6×0.1＝0.3．（2）由题意可得，甲同学被录取的概率P1＝0.5×0.6×1＝0.3，乙同学被录取的概率P1＝0.6×0.5×1＝0.3，丙同学被录取的概率P1＝0.75×0.4×1＝0.3，该事件可看作3次的独立重复试验，其中随机变量X可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，再结合期望公式，即可求解．【解答】解：（1）设甲，乙，丙三位同学分别通过复检为事件A，B，C，通过文考为A1，B1，C1，由题意可得，P（A）＝0.5，P（B）＝0.6，P（C）＝0.75，P（A1）＝0.6，P（B1）＝0.5，P（C1）＝0.4，∴甲被录取成为空军飞行员的概率P1＝1×1×0.5×0.6×1＝0.3．（2）由题意可得，甲同学被录取的概率P1＝0.5×0.6×1＝0.3，乙同学被录取的概率P1＝0.6×0.5×1＝0.3，丙同学被录取的概率P1＝0.75×0.4×1＝0.3，该事件可看作3次的独立重复试验，其中随机变量X可能值为0，1，2，3，，，，＝0.027，故随机变量X的分布列为：X0123P0.3430.4410.1890.027EX＝np＝3×0.3＝0.9．【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列的求解，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．17．（14分）已知函数f（x）＝xlnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（x）＜x2+x．【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）等价于lnx﹣x﹣1＜0，构造函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，利用导数求函数g（x）的最值即可证明．【解答】解：（1）f′（x）＝lnx+1⇒f′（1）＝1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．（2）证明：f（x）＜x2+x⇔xlnx＜x2+x⇔lnx＜x+1⇔lnx﹣x﹣1＜0，构造函数，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝﹣2＜0，所以lnx﹣x﹣1＜0．【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，属于中档题．18．（14分）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲，乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如表：分站运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假设甲、乙二人每次比赛成绩互独立．（Ⅰ）从如表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（Ⅱ）从如表5站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假如从甲、乙2人中推荐1人参加2022年北京冬奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由．（注：方差s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn）2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数）【分析】（Ⅰ）由题意，分别列出甲乙两人在五站中的最好成绩，然后利用概率的计算公式求解即可；（Ⅱ）先确定X的可能取值，然后分别求出对应的概率，列出分布列，再由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅲ）分别求出甲和乙的平均数和方差，然后比较即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，甲乙两人在五站中最好的成绩依次为：甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以5站中随机选取1站，在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率为＝；（Ⅱ）由题意可得，X的可能取值为0，1，2，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为：X012P期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）由可知（Ⅰ），甲：86.20，92.80，87.50，89.50.86.00；乙：88.40，88.60，89.10，88.20，87.70，所以甲的平均成绩为88.4，乙的平均成绩也为88.4，又甲的方差为[（86.20﹣88.40）2+（92.80﹣88.40）2+（87.50﹣88.40）2+（89.50﹣88.40）2+（86.00﹣88.40）2]＝6.3960，乙的方差为[（88.40﹣88.40）2+（88.60﹣88.40）2+（89.10﹣88.40）2+（88.20﹣88.40）2+（87.70﹣88.40）2]＝0.2120，所以乙的成绩更为稳定，故推荐乙参加．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了运算能力，属于中档题．19．（14分）设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【分析】（1）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；（2）当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜+x（x＞0），令g（x）＝+x，求最值，即可求k的最大值．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，f′（x）＝ex﹣a，若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；若a＞0，则f′（x）＝0解得x＝lna．当x变化时，f′（x），f（x）变化如下表：x（﹣∞，lna）lna（lna，+∞）f′（x）﹣0+f（x）减极小值增所以，f（x）的单调减区间是：（﹣∞，lna），增区间是：（lna，+∞）．（2）由于a＝1，所以（x﹣k）f′（x）+x+1＝（x﹣k）（ex﹣1）+x+1．故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜+x（x＞0）①，令g（x）＝+x，则g′（x）＝，而函数f（x）＝ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，f（1）＜0，f（2）＞0，所以f（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）的最小值为g（a）