自动控制原理课后习题答案

【教材习题及解答】

4-1【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某•参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根

在s平面上变化而形成的轨迹。

根轨迹反映了闭环系统特征根在s平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数

变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨

迹走向与分布。

4-2【答】运用相角条件可以确定s平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对

应的参数值。

4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大

系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根

轨迹等。

绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大

系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。

正反馈系统的闭环特征方程l-G(s)H(s)=O与负反馈系统的闭环特征方程l+G(s)H(s)=O存在一个符号

差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系

统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件(兀+〃兀)是180。根轨迹，正反馈系统的相角条件(0+2U)是

0°根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴匕的根轨迹，根轨迹

渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变兀+兼兀角度为3■兼必

4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形

状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。

一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定

性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨

迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。

增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。

4-5【解】(1)将S=-l+j当代入系统的开环传递函数有：NG(s)”(s)=-180°,满足根轨迹的相角

条件，故S=-l+j百是该根轨迹上的点。

当点s=-l+j尚在根轨迹上时\有|G(s)〃(s)|=l。即

广=卜+小卜+2卜卜+4|

于是，可得K*=12。

(2)系统的特征方程为D(s)=G+1)(5+2)(5+4)+K*=0,由劳斯表

尸114

s278+K*

?Xo

7

s°8+K*

易得使闭环系统稳定的K*值的范围为-8<K*<90。

4-6【答案】

1

图4-10开环传递函数根轨迹图

4-7【解】(1)G(s)〃(s)=绘制步骤如下:

(s+0.2)(s+0.5)(s+l)

1）该系统有3个开环极点，无开环零点，分别为pi=-0.2,〃2=-。5P3=T。

2）系统有3条根轨迹分支，均趋向于无穷远处。

3）实轴上（-8,-1］和［-0.5,-0.2］区域为根轨迹。

4）由于〃［〃=3,故系统有3条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：

仁=±（2空竺=±60。,180。(k=0,l)

SSz

£'£”(-0.2)+(-0.5)+(-1)

cr„=----------------=-----------------------------«-0.567

n-m3

5)确定根轨迹的分离点。

根据开环传递函数表达式,有A(s)=(s+().2)(s+().5)(s+l),B(s)=l,代入方程

A(s)8'(s)—A'(s)B(s)=0,整理得到

3s"+3.4s+0.8=0

求解上述方程，得到

S］=—0.8，s2——0.33

由于52在根轨迹「05-0.2］上，故取分离点坐标为d=-0.33。

6）确定根轨迹与虚轴的交点。

由系统的开环传递函数，可得对应的闭环特征方程为

?+1.752+0.85+0.1+/C*=0

将5=池代入上式，整理得到

-1.71+o.1+<*+卜。3+08。）=0

分别令上式中的实部和虚部为零，即

-1.7）+0.1+广=0

—co'+0.8<y=0

解得3=±0.89,K*=L26。

系统的完整根轨迹如图4-II所示。

2

图4-11题4-7(1)系统的根轨迹图

(2)G(s)H(s)=_K(,，+2)_,绘制步骤如"

(r+25+10)

1)该系统有2个开环极点，1个开环零点，分别为pi.2=T±j3,z,=-2«

2)系统有2条根轨迹分支，一条终止于有限开环零点大=-2,另一条趋向于无穷远处。

3)实轴上(-8,-2］区域为根轨迹。

4)由于=故系统只有1条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：

±(2k+l)乃,,„.

(Pa=----j----=180(&=0)

/=1M(一l+3j)+(-1一3。一(一2)

4=-----------=-----------；-----------=0

n-ni1

5)确定根轨迹的分离点或会合点。

根据开环传递函数表达式，有A(s)=/+2s+10,8(s)=s+2,代入方程

A(s)8'(s)—A'(s)B(s)=0,整理得到

s2+4.v-6=0

求解上述方程，得到

M=—5.1623,52=1.1623

由于门在根轨迹(-8,-2］上，故取分离点坐标为(I=-5.1623o

6)确定根轨迹的出射角。

由零、极点分布位置及出射角计算公式，得到点m处的出射角为

。+-e„=180°+arctan3-90°«161.57°

PlfPlP2nPl

根据对称性，点P2处的出射角为T61.57。。

系统的完整根轨迹如图4-12所示。

图4-12题4-7(2)系统的根轨迹图

K*(s+5)

(3)G(s)H(s)=绘制步骤如卜.:

s(s+2)(s+3)

3

1)该系统有3个开环极点，1个开环零点，分别为〃=0,p2=-2,Pi=-3,5=-5。

2)系统有3条根轨迹分支，其中一条终止于有限开环零点Zi=-5处，另两条则趋向于无穷远处。

3)实轴上［-5,-3困［-2,0］区域为根轨迹。

4)由于”-巾=2,故系统有2条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：

±(2k+\)7T

(Pa=---------=±90(k=0)

,=台£=(-2)(-3)-(-5)=0

n—m2

5)确定根轨迹的分离点。

根据开环传递函数表达式，有A(s)=s(s+2)(s+3),6(s)=s+5,代入方程

A(s»'(s)-A'(s*(s)=0,整理得到

21+20/+50s+30=0

求解上述方程，得到

5.=-6.5171,§2=—2.5964,53=-0.8865

由于门在根轨迹1-2,0］上，故取分离点坐标为d=-0.8865。

系统的完整根轨迹如图4-13所示。

图4-13题4-7(3)系统的根轨迹图

4-8【证】设s为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有

N(s+6)-Ns-N(s+4)=±(2k+l)肛k=0,1,2,…

然后，将s=o+j/代入上式，得到

N(b+6+j/)-N(cr+jG)-N(b+4+jM=±(2攵+1)再k=0,1,2,•••

即

COCOCO.入

arctan------arctan---arctan-----=±(2k+l);r,k=0,1,2,•••

cr4-6(ycr+4

移项，得

COCD，/〜<、CO-

arctan------arctan一=±(2k+1)〃+arctan-----,k=0,1,2,…

a+6oa+4

对上式两边取正切，可得

CDCO

cr+60=8

1.coco~a+4

1H--------

b+6CT

整理可得

(<T+6)2+(W2=(2V3)2

可见，这是一个以(-60)为圆心，以26为半径的圆方程。即证明该系统的复数根轨迹部分为一圆，其

4

圆心坐标为(-6,0),半径为26。

4-9【解】K*=l时，系统的闭环特征方程为

1+G(S)H(s)=1+,=0

♦(s+2)

即

S2(S+2)+S+7=0

则以7为参变量时的等效开环传递函数为

G*(s)"*(s)==J-

s'+2s~+s

以下绘制以T为参变量时的系统根凯迹：

1)等效开环传递函数有3个开环极点，无开环零点，即0=0,P2.3=T。

2)新系统具有3条根轨迹，均终止于无穷远处。

3)实轴上的(-8,-1］和［-1,0］均为根轨迹区域。

4)新系统有3条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为±60°和180°,交点为

_〃

%一？0+(-1)+(-1)2

(J=---------:-----=------------------=——

“n-m33

5)根轨迹的分离点

根据等效开环传递函数的表达式，有A(S)=S3+2S2+S,B(S)=1,于是

A(s)8'(s)-4'(s)B(s)=-352-4s-1=0

解得Si=T,$2=T/3。显然，分离点坐标为d=T/3。

6)根轨迹与虚轴的交点

以7为参变量时，系统的闭环特征方程为

S3+2?+.V+7'=0

将5=同代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到

T-2co1=Q

(w(1)=0

求解上述方程组，得到解为

3=±1,T=2

根据以上信息，绘制的根轨迹如图4-14所示。

图4-14题4-9的参数根轨迹

4-10

5

图4-15题4-10的系统结构图

【解】系统的开环传递函数为

门、山、10(o+l)

G(5)//(5)=—~~—

s(s+2)

系统的闭环特征方程为

52+25+10r.s+10=0

则以r为参变量时的等效开环传递函数为

G*(S)/T(S)=(K=l0)

Y+Zs+lO'

以卜.绘制以r为参变量时的系统根轨迹：

1)等效开环传递函数有2个开环极点和1个开环零点，即pm=T±j3,j,=0o

2)新系统具有2条根轨迹，一条终止于4=0,另一条终止于无穷远处。

3)实轴上的(-8,0］为根轨迹区域。

4)新系统有2条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为00和180°,交点为

”"I

SPz

7

/=1'；=1(-1+/3)+(-1-，3)0

5,=-------:----=----------:---------=-2

n-in1

5)根轨迹的汇合点

根据等效开环传递函数的表达式，有A(S)=S2+2S+10,B(S)=S,于是

A(s)B'(s)-A'(s)B(s)=-?+l0=0

解得.2=±屈*±3.16。显然，汇合点坐标为d=-3.16。

6)根轨迹的出射角

%=万+外小_=180"+(180--arctan3)-90"=198.43。，0”=-198.43°

根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图牛16所示。

图416题4-10的系统根轨迹

4-11【解】(1)确定满足条件的极点容许区域。

由题意cr%W5%,及关系式cr%=x100%,可得？20.69。根据6=arccos7,可得阻

尼角。＜463。

又由力48s,及(=3.5/4。“=3.5/。(-6为极点实部)，可知b20.4375。

因此，极点容许区域如图4-17中的阴影区所示。

6

图4-17极点容许区域

(2)确定根轨迹与容许区域边界交点处的K*值。

用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线5=-0.4375交点处的K*值为0.684；复平面上根轨迹与扇形区

边界交点一1土jl.046处的K*值为2.094,故满足条件的K*值范围为

0.684<K*<2.094

4-12【解】(1)由F已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数

部分为一圆，其中圆心在有限零点Zi=-6处，半径为有限零点到分离点(会合点)的距离。

由开环传递函数知:A(S)=S2+3S,8(S)=S+6。代入方程A(S)B'(S)-4'(S)5(S)=0,整理

得到：?+12i+18=0.解得.”=-1.76,S2=T0.24。由图可知，为分离点坐标，*为会合点坐标。系

统的根轨迹如图4-18所示。

RootLocus

w

-

x

<

A

eJ

u

_

6

Ee

-

-14-J2-10-8-6-4-202

RealAxis

图4-18题4-12系统增加开环零点后的根轨迹图

(2)根据幅值条件、可知：

分离点1=-1.76对应的开环根轨迹增益为

^|-1.76-0|-|-1.76-(-3)|

r=0.515

1.|-1.76-(-6)|

会合点^=-10.24对应的开环根轨迹增益为

|-10.24-0|-|-10.24-(-3)|

1\o-；；-1/.VO.)

1-10.24-(-6)|

由根轨迹图可知，当0</<0.515时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响

应为非周期过程：当0.515<K*<17.485时，系统有一对负实部的共腕复根，此时系统处了欠阻尼状态，单

位阶跃响应为衰减振荡过程；当K*>17.485时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当

K*=O.5I5或17.485时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期

过程，响应速度较过阻尼状态快。

(3)过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A,如图4-18所示。由关系式？=COS/?可知，该切线与负

实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时

7

?=cos尸=cos45=0.707

相应的A点坐标为-3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为-3±3j。

由幅值条件易知，A点处的开环根轨迹增益为

*=卜3+3卜0|卜3+3卜(-3)|=

|-3+3j-(-6)|

因此，系统的闭环传递函数为

小，、G(s)H(s)3(s+6)3(s+6)

l+G(s)//(s)s(s+3)+3(s+6)s2+6s+18

单位阶跃输入时，有R(s)=i/s,因此，系统阶跃响应的拉氏变换为

3。+6)s+3

C(5)=①(s)R(s)=

s?+6s+1852+6$+18

对上式求拉氏反变换,得到

c(r)=1。)-6一’coSt

图419为该系统的单位阶跃响应曲线。由图可见，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的

平稳性和快速性。

StepResponse

0.?

°。0511522.S33544.55

Time(sec)

图4-19题4-12系统的单位阶跃响应曲线

4-13【解】(I)具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20所示。

RootLocus

-w

<x

A

J

e

u

a

e

E

RealAxis

图4-20题4-13系统的根轨迹图

(2)经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为"=-0.423,根轨迹与虚轴的交点为.2=±jV2=±jl.414,

对应的临界开环根轨迹增益为K*=6。

当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共桅复

数极点。从根轨迹图4-20可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻

尼工作状态。因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*值范围。

由幅值条件，可得分离点d处对应的开环根轨迹增益为

8

父=|4-0附+1附+2|=0.385

因此，当0.385<K*<6时，系统动态过程为衰减振荡形式。

(3)显然，当K*=6时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为0=±J5。

(4)由题意，4=0$时，阻尼角Q=arccosS=60°。过坐标原点作两条与负实轴成60。的射线，与根

轨迹交于A、B两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B两点的坐标为心2=-；土#j。

由于系统的"一，论2,因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即

S|+s2+/=Pl+-2+P3

由此可得第三个闭环极点为

5,=0+(-1)+(-2)-(-1+日j)-(-1-^y-j)=

根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根轨迹增益为

K*=卜3_,信+1|巾3+2|=1.037

由此可得系统的闭环传递函数为

由于6离虚轴的距离是“2离虚轴距离的7倍多，所以.2是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三

阶系统，即K*=1.037时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为

小，、0.445

0(s)a------------------

52+0.667s+0.445

由此可得(y„=0.667,4=0.5。单位阶跃信号作用下的性能指标为

b%=H后x100%=16.3%

(=3.5/血=10.5s

由系统的开环传递函数知该系统为I型系统，故其静态速度误差系数为

K=lim.vG(5)H(5)=—

io2

因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误差为

4-14【解】(1)正反馈系统的根轨迹(此时应按零度根轨迹规则绘制)

1)该系统有4个开环极点和1个开环零点，即P1,2=O,〃3=-2和P4=-4,Z|=T。

2)该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于其余三条均趋向于无穷远处。

3)实轴上卜4尸2卜「1,0］和［0,4<»)为根轨迹区域。

4)由于〃一加=3,故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：

+2k元

(pa=^—=0\+120\-120"

〃加

Sp—V'z-

i=i'j=\0+(—2+(-4)-(—1)5

(y------------------=----------------------------=—

n-m33

5)根轨迹的分离点。

根据系统开环传递函数的表达式，可知A(S)=『"+2)(S+4),5(s)=s+l。代入方程

9

A(s)B'(s)-A'(s)B(s)=O,整理得到

s(3s'+16.v2+26.v+16)=0

求解上述方程，得到方程的根为

S|=0,52=-3.0837,«3.4=-1.1248±j0.6814

根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取"=-30837。

正反馈系统的根轨迹如图4-21(a)所示。

(2)负反馈系统的根轨迹(此时应按常规根轨迹规则绘制)

1)该系统有4个开环极点和1个开环零点，即外2=0,仆=-2和p4=-4,Z,=-1«

2)该系统有4条根轨迹分支，一条趋向于y=T，其余三条均趋向于无穷远处。

3)实轴上(-8,-4］和［-2,T］为根轨迹区域。

4)由于"r”=3,故系统有3条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：

±(2k+1)万.cno

(pu=-------------=±60,1ol)

〃"I

S£P'-"勺Z''0+(-2>(-4>(-1)5

(J=---------------=--------------------------=----

n-m33

5)根轨迹的分离点。

根据系统开环传递函数的表达式，可知A(S)=S2(S+2)(S+4),B(S)=S+1。代入方程

A(s)8'(s)—4'(s)B(s)=0,整理得到

S(3?+1652+265+16)=0

求解上述方程，得到方程的根为

S|=0,S2=-3.0837,S3.4=-1.1248土j0.6814

根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取4=0。

6)根轨迹与虚轴的交点

系统的闭环特征方程为

s4+6s3+Ss2+K's+K'=0

将5=论代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到

K*+。4_802=O

<

g(K*-6〃)=0

求解上述方程组，得到解为

co=±5/2,K"=12

_________1000_________

4-15【解】(1)当Gc(s)=K,s时，系统的开环传递函数为G(s)=

s(s+10+10K,)(s+20)

10

系统的闭环传递函数为?+30?+200s+1000+10K,s(s+20)=0

1()A：,,v(.v+20)

于是,以K,为参变量的等效开环传递函数为G*(s)=

?+3052+2005+1000

绘制以K,为参变量的根轨迹，如图4-23所示。

RootLocus

2

s

vx

I40

WB

E6

-E

-2

•15-10-50

RealAxis

图4-23当GJ，)=K,s时的参数根轨迹图

根据参变量的等效开环传递函数表达式，可知4(S)=S3+30S2+200S+1000,B(S)=S2+20S.

代入方程A(s)B'(6)-A'(s)8(s)=0,整理得到分离点方程如下：

/+40?+400?-20005-20000=0

求解得到

M=6.8377,S2=-6.2849,534=-20.2764±7.3661/

根据实轴上系统根轨迹的分布，取分离点坐标为d=-6.28。此时，对应的根轨迹增益为

/+30/+2004+1000

»0.7886

10d(d+20)

在这种情况下，可以在0<K,<0.7886范围内，通过改变K,的值使系统的主导极点具有，=0.707的最

佳阻尼比。

_________1000

(2)当Gc(s)=K/2时，系统的开环传递函数为G(s)=

s(s+10+10K“s)(s+20)

系统的闭环传递函数为?+30s2+2005+1000+10(，(s+20)=0

I0K“S2(S+20)

于是,以K为参变量的等效开环传递函数为G*(s)=

as3+30r+2005+1000

绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-24所示。

-w

<x

sr

ue

一6

E

E

图4-24当G/s)=K„s2时的参数根轨迹图

这种情况卜I由于瑞的值越大，系统的闭环极点就越靠近虚轴，从而使系统的稳定性越差，因此不能

通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。

11

1000

(3)当G,(S)=K〃S2/(s+20)时，系统的开环传递函数为G(s)=

$§+30s+200+10K/)

2

系统的闭环传递函数为?+30J+200s+1000+10Kas=0

10K』

于是，以尤为参变量的等效开环传递函数为G*(s)

53+30?+2005+1000

绘制以Ka为参变量的根轨迹，如图4-25所示。

RootLocus

O

-T

<X

A

J

e

u

a

e

t

u

-

-25-20-15-10-S

RealAxis

2

图4-25当G/s)=Kas/(s+20)时的参数根轨迹图

这种情况卜，也不能通过改变K0的值来使系统的性能达到最佳。

综上所述，应选取第•种传递函数，即Gc(s)=K/。

5-1解：系统闭环传递函数为①(5)=^^

5+10

99CD

则，闭环频率特性为①("w)=------，M(。)==-arctan一

10+j(yV102+«y210

由线性系统频率特性的特点和已知的输入信号可得，系统的稳态输出分别为：

9co

(l)c$s==sin。+30。-arctan一)*0.9sin(r+24.3°)；

V102+6y21°3=1

9CD

(2)q、=.=rx2cos(2r-45°-arctan一)=1.8cos(2r-56.3°)；

Vio2+^2io—2

(3)根据线性系统叠加性有：c\=0.9sin(f+24.3°)+1.8cos(2f—56.3°)。

5-2解：系统闭环传递函数为

0(5)--一欧-----?

6~+2g6+3；

对应的幅频和相频特性表达式分别为

1|①()⑼1|=I①",夕(①)=-arctan

"成―①2)2+转2①:①2%

由题设条件知,0=1,|0>(〃)|=2,9(1)=-45。。则：

12

I①(网=/"%

7(^-«2)2+4^2(y>2

/、，2血g._

火⑼=一arctan——七=-450

解之得：/〃=1.244$7,4=0.22。

5-3解：⑴G(s)=——，v=],m=0,n=2

s(Ts+1)

奈氏曲线起点坐标为(8,・90。),终点坐标为(0,-180。),可知图形位于第m象限。如图

5-10(a)所示。

由传递函数知，该系统为典型【型系统，当KV卡>K；时的对数幅频特性曲线分别如

图5-10(b)中的①和②所示。

图5-10题5-3(I)解答图

(2)G(s)=个"""(TXT),v=2,m=\,n=3

S2(TS+1)

奈氏曲线起点坐标为(8,-180°),终点坐标为(0,-180°)

系统相位夕(⑼=T80°+arctanCUT-arctan(t>T

可见，T>1■时奈氏曲线位于第H象限，TVT时时奈氏曲线位于第m象限。如图5-ll(a)(b)

所示。由传递函数知该系统为典型n型系统，两种情况下的对数幅频特性曲线如图5-n(o(d)

所示。

图5-11题5-3(2)解答图

13

C_1_1]

(3)G(s)=-------=>v=0,K=l,w=l,n=lo奈氏曲线起点为(1,0。),终点为(—,0°)

Ts+\T

系统相位为火⑼=arctanco-arctana)T

可见，TV1时奈氏曲线位于第I象限，如图5-12(a)中的①所示；7>1时奈氏曲线位于第IV

象限，如图5-12(a)中的②所示。

TV1时的对数幅频特性曲线如图5-12(b)中的①所示；T>1时的对数幅频特性曲线如图

5-12(b)中的②所示。

▲L"dB

①TV1

②T>1

(a)奈氏图(b)对数幅频特性图

图5-12题5-3(3)解答图

］一向

(4)G(1v)=G(j①)

Ts+1T+j①T

则，G(川)=1ZO°,G(/8)=—"="N—180°

奈氏曲线起点坐标为(1，0°),终点坐标为(1/T,-180°)

系统相位为°(①)=-arctanco-arctancoT

可见，奈氏曲线位于第IV、III象限，如图5-13(a)所示。

由传递函数知该系统为非最小相位系统，Bode图与第(3)题相同。

T<\和T〉1时的对数幅频特性曲线分别如图5-13(b)中的①和②所示。

图5-13题5-3(4)解答图

(5)G(s)=------------------n1/=1,K=1,m=0,〃=3

s(s+l)(2s+l)

奈氏曲线起点坐标为(8,-90。),终点坐标为(0,・2700)

因此，奈氏曲线位于第m、II象限，与负实轴有交点。

令：9(。)=-90°-arctanty-arctan2折竟相洸.74『

、12

则，4(%)二——1=--

店(1+?2)(1+442)3

由此概略绘制奈氏图如图5-14(a)所示o

14

G(s)=------------------,v2Q第=4)(16,二Ksco,=0.5s」co

s(s+l)(2s+l)19

对数幅频特性图如图5-14(b)所示。

(a)奈氏图(b)对数幅频特性图

图5/4题5-3(5)解答图

4s+1

⑹G(s)=v=2,/n=1,H=4

S2(5+1)(2$+1)

奈氏曲线起点坐标为(8,-180°),终点坐标为(0,・360°)

因此，奈氏曲线位于第m、n象限，与负实轴有交点。

令=-180o-arctan(y-arctan2674-,ar^lta04&&4-180o4

则，皿4)=——/J1+16.^=10.7

阳(1+0；)(1+44)

由此概略绘制奈氏图如图5-15(a)图所示。

4c+1

G(s)=-——：-----------=u=2,K=1,201gK=0dB,卸㈤.25『=1外

?(.v+l)(2.v+l)

由此概略绘制对数幅频特性图如图5-15(b)图所示。

(b)对数幅频特性图

图5-15题5-3(6)解答图

5一4解：由喇G⑸=器=*=留华

Cs+R)

令K=M，r=RCT=C

/?,+R2

则'GC)=制=4等，且4'涕

由此概略绘制对数幅频特性图如图5-17(a)图所示。

15

凡+gR〉Cs+1

由榭得,Cs

(/?i+R))Cs+1

R.+R.H-----

12CS

令T=R2cr=(/?,+/?2)c

则，G(s)=S®=史里，且T>T,K=1

a(s)Ts+1

由此概略绘制对数幅频特性图如图5-17(b)图所示。

R+J-

由图得，G⑶二也二一:C：=______(R0+帖C.S+1)_______

U,(s)R//±+/?+—+R2C2+7?,C2).V+1

'Cs2Cs

令g=R]G，T2-R2c2Ty-R}C2

则’G⑸卷而写"

令F=TKT；+T[Tt+T27；

则，网络传函可写为G(s)=竺土上空业

(举+1)(7＞+1)

再设汽=5=区＞

式4

则有，G(s)=5川*+1),且网＞王7；Tja

(a(s+l)ls+l)

a

由此概略绘