工程有限元方法材料非线性要点

有限元方法与应用

材料非线性张有为工程力学系材料非线性要点材料非线性问题分类非线性弹性问题弹塑性问题弹塑性有限元分析

弹塑性本构关系

弹塑性有限元分析材料非线性问题的来源材料非线性的来源：体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性变形分析类型特点描述方法应力和应变仅材料非线性位移和应变无限小，应力应变关系是非线性的仅材料非线性工程应力工程应变材料非线性问题的来源引例：

解：由于仅考虑材料非线性，因此a和b两段的应变可表示为

力平衡关系可表示为

此外本构关系可表示为

弹性加载塑性加载弹性卸载

材料非线性问题的来源(1)在初始加载阶段，由于外载荷较小，a和b两段将均处于弹性变形范围，有

(2)随着载荷的增加，a段均处于弹性，b段处于塑性，即

由加载曲线可知a段将一直处于弹性变形阶段材料非线性问题的来源(3)载荷达到峰值后，系统将处于弹性卸载，即有

外载荷与交界处位移之间的关系曲线如下图所示材料非线性问题分类非线性弹性问题应力与应变的关系为非线性，且加载与卸载应力应变间的对应关系相同。弹塑性问题加载的过程中同时产生可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形。弹塑性应力和应变间不再保持一一对应的关系，应变不仅依赖于当时的应力状态，而且还依赖于整个的加载历史。弹塑性本构关系2.1材料的弹塑性性质(1)单轴拉伸实验理想弹塑性材料应变硬化材料低碳钢拉伸应力应变曲线颈缩阶段强化阶段屈服阶段弹性阶段弹塑性本构关系(2)几点说明由于弹塑性的应力－应变关系不是一一对应的，因此研究弹塑性问题时，只有在确定的加载（或卸载）条件下才有明确的意义。为了避免应力应变间的多值性带来的困难，不宜追求全应力与全应变之间的全量本构关系，应建立在一定加载路线条件下的增量关系。

弹塑性本构关系为简化分析，结构工程中可采用理想弹塑性模型和弹性线性强化模型，它们的主要参数仅有屈服应力、弹性模量和硬化（软化）模量H，塑性阶段主要特征是：EEH

理想塑性应力强化应力软化弹塑性本构关系2.2塑性力学基本法则(1)初始屈服条件EEH－屈服准则此条件规定了材料开始塑性变形时的应力状态。对于各向同性材料，在一般应力状态下开始进入塑性变形的条件是

弹塑性本构关系(1.1)VonMises准则(1913年)

其中

弹塑性本构关系

VonMises准则在三维主应力空间中可表示为

弹塑性本构关系(1.2)Tresca准则(1864年)

其中

弹塑性本构关系(1.3)Mohr-Coulomb准则(1773年)(1.4)Rankine(朗肯)准则(1876年)最大剪应力为屈服决定性因素，但剪应力的临界值不是常数，而是在那一点上同一平面中正应力的函数。最大主应力达到抗拉强度时，材料发生拉伸破坏。适用于岩土材料适用于岩土材料弹塑性本构关系(2)流动法则流动法则用来规定材料进入塑性变形后的塑性应变增量在各个方向上的分量和应力分量以及应力增量之间的关系。VonMises流动法则为

弹塑性本构关系非关联塑性：若塑性势函数与后继屈服应力函数表达式不同，则称之为非关联塑性关联塑性：若流动法则中塑性势函数取为后继屈服应力函数相同的表达式，称之为和屈服函数相关联的塑性势，即关联塑性

对于金属材料，一般采用关联流动法则。对于泥土和颗粒状材料，一般采用非关联流动法则。弹塑性本构关系(3)硬化法则硬化法则是用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数在应力空间中变化的规则。后继屈服函数的一般形式为

理想塑性材料的后继屈服函数为

即无硬化效应，后继屈服函数与初始屈服函数一致。弹塑性本构关系(3.1)各向同性硬化法则当材料进入塑性变形后，加载曲面在各个方向均匀的向外扩张，但其形状、中心及其在主应力空间中的方位均保持不变其中

VonMises后继屈服函数材料的塑性模量（硬化系数）对于多数金属材料的分析均采用各向同性强化法则弹塑性本构关系(3.2)运动硬化法则此法则规定材料在进入塑性变形以后，加载曲面在应力空间中作一刚体运动，但其形状、大小和方位均保持不变后继屈服函数

Prager运动硬化法则Zeigler修正运动硬化法则弹塑性午本构关牛系(a授)送Pr遇ag残er运动硬顾化法则其中Von锄Mi禽ses屈服条挺件下的Pr滑ag蒜er运动硬捐化后继束屈服函候数此法则渴规定加赏载曲面喉中心的伞移动是们沿着表邪征当前杠应力状辣态的应懒力点的稠法线方借向一般情采况下Pr播ag终er运动促硬化横法则铃只能唉用于料完全踪蝶的9维应力吊空间，址其在各散应力子监空间（疲如平面及应力状族态）中省应用较圆为困难化，主要执是由于完在子应洞力空间氧中很难阳保证初拒始屈服段曲面与药后继屈雪服曲面涛形式上生的一致交性弹塑性鸡本构关望系(b听)笑Ze郊ig模le政r修正惯运动段硬化束法则其中Vo戴n义Mi浸se坏s屈服怜条件受下的Ze缝ig替le厉r修正敬运动夹硬化栗后继横屈服造函数此法则公规定加夫载曲面醋沿联结挣其中心舍和当前压应力点务的向量州方向移惧动移动仰张量袋的偏忘移分碍量Pr挤ag那er运动精硬化辛法则产和Zei困gle碌r修正贸运动糊硬化批法则铅的区程别仅河在于她加载合曲面锐移动炉的方躺向不监同弹塑性浙本构关奶系(3谦.3辆)混合堡硬化布法则同时尽考虑对各向锤同性秤硬化迟和运捷动硬粱化两蓄种法阴则（感由Hod霸ge首先提耐出）后继屈陆服函数一般情膀况下其中移动张堂量Pr阴ag出er运动硬来化法则Ze戏ig拒le粘r修正运狗动硬化逃法则混合硬厕化主要箩用于反津向加载蹲和循环织加载的激情况M为材巡寿料参碎数弹塑石性本势构关怀系(4)加卸谢载准担则该准则匹用来判走断从某侧塑性状逆态出发汗，材料休是处于打继续塑起性加载桌还是弹浇性卸载掉，其将捆决定计前算过程前中是采陆用弹塑舅性本构面关系还届是弹性度本构关乔系。理想弹刘塑性各向油同性柱硬化运动沟硬化混合错硬化弹塑兵性本主构关盆系2.步3弹塑性迹增量应虫力应变捐关系(1储)建立站应力拌应变巡寿关系揪所遵搭循的虎原则当材涛料的风应力富点已肤经处绘于屈浩服面辆上继崭续弹惕塑性辉加载路时，珍需要牢应用漏弹塑出性增闯量的清应力男应变蛛关系拆进行趟弹塑卡性行中为的向分析弹塑性很本构关芒系(2熔)各向旺同性相硬化怖材料弯的应系力应蹈变关丽系(a)一致性乒条件(b)流动法违则其中后继屈推服函数悠的全导钳数弹塑性铅本构关今系(c)弹塑衰性应据力应斥变关驶系其中塑性矩煎阵弹性绵矩阵矩阵形树式矩阵形钻式弹塑性除本构关冰系(c.蓄1)三维魄空间贱问题垃的应燃力应基变关桥系三维空悠间问题蔽的弹性未、塑性泥矩阵（毫各向同纷性硬化拖材料）三维空侮间问题伙的应力胞应变分撒量弹塑性饲本构关离系(c.捧2)轴对退称和容平面通应变呀问题培的应捎力应芳变关灰系轴对惹称问爷题的油应力搞应变萝分量平面周应变乐问题撑的应讲力应庄变分搞量轴对称趁问题和铸平面应姻变问题池的弹性伴矩阵和超塑性矩困阵分别杂可由三你维问题缎对应的隔矩阵去污掉最后诞两行和宗两列得似到。弹塑性川本构关贪系(c烤.3厚)平面泛应力追问题凉的应士力应厉变关每系平面漏应力丙问题邻的应绞力应痕变分窑量平面应亲力问题洞的弹性厌、塑性亩矩阵其中弹塑性强本构关提系(3)其它硬侄化材料马的应力仿应变关吓系(a驴)理想共弹塑罗性材维料(b陕)运动饥硬化个材料(c县)混合散硬化课材料屈服锣条件应力崇应变借关系颗的获挨得弹塑婆性本府构关背系2.4弹塑宁性全读量应鬼力应鹊变关蹦系(略)全量赵理论益的基神本假盘设应力你主方希向和薯应变僻主方束向重去合，笔且在闲整个产加载是过程娘中主智方向陆保持吩不变全量墓理论额的适薪用性庸及特建点一般秩情况谊下很劲难满脑足全挺量理菠论基慢本假帮设若实际共分析中表为单参数赵加载且变形巾满足小应变条件低时，饿上述君假设振近似泥成立全量理上论使得廊整个分尊析包括逼本构关黎系的建京立得到近简化弹塑羽性有矮限元陶分析3.闪1弹塑蝴性有猫限元扇分析闻概述对于小狭变形的弃弹塑性浸问题，引几何方刑程与弹圈性分析钩相同，锋不同之薪处是单违元的应力瞧－应盒变关掏系可扒能是脊线性调的或垫非线傲性的，因此恭集合单春元得到炕的总刚洒度矩阵请是与应找力水平袜相关而潜出现的通非线性棵方程组毙。求解哲弹塑粪性问仔题，一般采殊用荷载丧增量法。当出监现屈服件点后，民每次增仿加的荷芦载应适身当减小圈。弹塑注性有概限元甩分析3.2弹塑寻性问浪题的痛增量抓方程由于材乓料和尘结构绿的弹俊塑性什行为蛇与加挡载及羊变形谜历史挣相关霉，在务进行械结构敞的弹警塑性陆分析泛时，慰通常祥将载过荷分丸成若腐干个限增量辽，然窝后对绣于每娱一载孤荷增岩量，扒将弹梯塑性鸽方程躬线性丢化，趣从而朋使得少弹塑创性非消线性宽分析搜转化外为一校系列女线性义问题增量方程(1)平衡方禾程(2)几何悦关系(3偶)物理揭方程(4州)边界况条件其中弹塑柄性有闷限元教分析3.嗓3弹塑失性问敲题的磁增量僻有限里元格蝴式虚位移虹原理（钳增量形姓式）引入估应力冷应变武关系矩阵形句式弹塑性千有限元序分析有限箭元离草散单元喷内位缓移插唯值应变位抬移关系系统装平衡追方程单元节尺点增量挎位移向虫量型函数泊矩阵应变踢矩阵弹塑性同刚度矩脖阵不平希衡力适向量其中外载锡荷向舰量内力店向量避免解雄的漂移弹塑性跑有限元拆分析增量有更限元实芦施步骤(1)线性化驳弹塑性音本构关忘系(2)形成奔增量渐有限编元方揭程(3客)求解增科量有限默元方程洋，获得牢增量位洒移(4胳)积分