数学分析选讲

第一章极限

1.Xf00时指数函数的极限：

/r、limax-+ooa>1

(1)卜TE,(2)

lim优=0a>1

-00

lima'=Flimax=b=limax

X—>aCXf+aoXT—00

例1.(重点例子)计算：lim10、lim10',lim10’

X->+00XT-00

解:因为：lim10'=+8.lim10v=lim(—)-x=0?limit)'

XT-00X—>-001°X—>00

不存在.

例2.计算：lim3,

X->-00

例3.计算极限：所止！

tfx-1

角星：lim------=limCx2+^+l)=3

I】x-1x—>1

2.左右极限：

♦a表示x可以从a的两侧趋于a,当X从

〃的右侧趋于〃时，记为m当X从〃的左侧

趋于时，记为31.

把lim/(x)=Z?叫小)在a点的右极限，把

x-a+

lim/(x)=b口,〃x)在a点的左极限，

x-a~

定理：lim/(x)=/7<=>lim/(x)-b-lim/(x)

x-ax-a+x-a~

例1.计算lim华包=0

3Jx-3

例2.证明limlO：不存在.

xrO

11

,x—>0+,>—8,limlO'=0

xio

/.limlO^不存在，

课堂作业：1：设g(x)=—J—,证明：1)物g(x)=O,

10；+1

limg(x)=1；

x->0-

2)8。)在点》=0不存在极限。

3.两个重要极限与罗比塔法则

两个重要极限：(1)lim皿=1；(2)lim(l+ir=e

x->0%xf+oo%

注：把上面的极限过程改写成：3心3±8,38

定理也成立.

例1.计算1)lim(上),,2)lim(l-2x2)7

XT8]+XX->0

分析：当函数是塞指函数时，常考虑第

二个重要极限。

11-/XXA1-11

17lim(---)=lim-----——=一

—81+xxfg(i+J_)xe

x

0\-L—!(-2)

Z)lim(l—2/)，=lim[l+(-2x2)]-2?

XTO,V->0

=lim{[l+(-2-)12/}-2=e-2

.sO

例2.计算(1)lim包包；(2)lim匕警；(3)

sin2xxf0x

tanx-sinx

lim

,r->0x3

分析：凡是函数的解析式中含有sinx

的因式时常考虑第一个重要极限。

c•2Rc•2X.x

2sin-2sin-sin—

1-cosX

2lim--------lim(i

解：（2）lim2lim

Xf0Xxf0x2x->02ioX2

2

3)原式

sinx.G•2%

-sinx------12sin-i

1-cosx21

二lim运J一limcosxlim==lrim-------q=—

22

x->0xx->0COSX•XXT°COSX・X2

罗比塔法则：若Hm染是型和，叫未定式,则

Ia0(%)000

r/(x)r/⑴j

i0(x)…“(x)

注：把上面的极限过程改写成：…/…±8-00

定理也成立.

例L计算：(l)limJ%a/〉o)(2)尉廿一

*T°x1°sinx

71

(3)f冶,(4),lim—⑥(5)

xfy.10tan

sin—XT与■3x

x

1.Inx

lim——

Xf+8X，

解:

(2)

sinx-xcosx0—cosx-xsinxxsinxx1

hm----------------(―z)x-hm-----------------=lim---------=lim-------=-

xf。sinx0XT。3sinxcosx3sinxx->03sinx3

fQA尸arctanx0。一表x2

\O7lim-------------(一)=lim-------——=lrim-------=1

XT+OOsin10V)cos1x-xl+x

xXx

上面介绍了两种类型的未定式号，令的极

000

限,实际上还有五种类型的未定式：

3.O-oo(limxlnx);4.P(lim(1+—)r);5.8°(lim1,加是常数)

X->0+XT+OOXX-+0C

6.0°(lim(tanx)s,nA)7.00-00(lim(--------，))，这五种

.so+*旬Inxx-\

未定式的极限是不能直接应用罗比塔法则

计算的，但是可以先化成1与方型的未定式再

000

应用罗比塔法则计算其极限.

例2.计算limxlnx

.t->0+

limx\nx(0.oo)=lim""(―)=lim—^―=-limT=0

角聚：+

A—>o*1()+Loo4->o+—i-2*->o

Xx

作

x+a(x-a)-(x+a))

、彩百.(一/

\H匕/.•li-imxIin-X--+---(0-co)=hrm—m—(―0)=lim----------------=lim-l-a--x----二2

18X-aXT810XT8—_LXTCO/一〃2

XX

例3.计算hma+与(m是常数)

xfyX

解：lim(1+与(r)=lim=lim,

X-XXT+<»X-4+OO

mln(l+—)1+丝，x'机

,/limx\n(l+—)(0•oo)=lim-------lim—£-------=lim；~~-=m

XT+COXX->+00-Lx—>+coLXf+X"]+3

xx2

lim(l+-)A=em

XT+XX

例4.limC-1——

-Inxx-1

解：

].(x-1)一Inx,0、,1~7lim)-J——-(-)1

lim—------------㈠=lim-------------------lim

(x-1)Inx0…iInx+(x—1)•，X-xInx+(x-1)0x-1Inx+1+

例5.问a与b取何值时，有极限1期(岑+,匕)=0

分析：・・•邮券+“)=。不能求极限，所以先通

分

解：)(乎+.+份二Y一3x：一.(二、-。，要使

分式存在极限，必须lim(sin3x+奴+对)=。)A

I。0

..3cos3工+。+3。工2/0、..-9sin3x+bx0..一9cos3x+6b八

=lim--------z------(—)=lim------------(z—)x=lim-------------=0

.io3X0IOx0106

••9

••lim(-9cos3x+2b)=0,••^=~

3^•lim(3cos3x+a+3bx2)=0(?)

x->0

*

••3+Q=0,a=-3

例6.设函数小)在a点可导，且/⑷/0,求极

/(«+-)T

______n_

lim

限:/(a)■

(应用罗比塔法则)：分析：令X」，则

n

/2-»00<=>x->0，

解法二：先计算极限1与建f：因为隹寝f

…叱/(«)」…叱/(«)_

(1")—lime，，⑷

XTO

,.1iml.ln/^2(0.oo)=limUn—/W=/…=上

—ox/(a)iox'io1/(a)

所以lim「g^f=e缁，所以.上皇=e需.

T于(a)J…/⑷

注：本例告诉我们：有些数列极限可以转化成函数极限来

求！

课堂作业：求极限：Hm(〃tan与2

KT8n

作业：1.计算：(1)lim(cosx)，(=1);(2)lim(tanx)sinA(=1);

A->0XfO+

(3).("+的.+%尸(%>0,i=1,2,3)(=y]a]a2ai);

2.计算：(1)lim"一'(=a"(lna-1))；

i"x-a

(2)lim”~+扬](a,&>0).

"T2J

1

(5)limf任用"(=cota)⑹lim万啦鲂.….而(=2).

4.积分上限函数的导数:

定理：设函数/")连续，则积分上限函数F(x)="⑴力的

导数：

，f

尸(x)="⑺力=/(x).注：=/ie(x)]/(x)；

\«J\aJ

f

，例x)、

=f[(p(x)]-(p'(x)-/[v(x)]-v\x).

I心aJ

sin2x

xfln(l+t)dt

例1.求极限：(1)lim'f上理力；(2)1*---------.

例2.已知曲线y=/(x)在x=l处的切线方程是y=x-1,求极限

1-V-

lim—-------一一)小

1°xIncosx*

作业：1.求导数尸(x)：已知F(x)=H产力.

2.求极限：(1)Vl+2sin.r-£-l

lim(2)lim(q3-;

1。xln(l+x)

第二章无穷小

1.无穷小定义：若lim/(x)=O,则称/(x)是当XT•。时的无穷小。

即：在某一个极限过程中，以极限为0的变量叫无穷小.

例.出下列函数，是什么时候的无穷小.

(1)y=x2；(2)/(x)=^sinx(x->0,x—>kjr)；(3)/(x)=——

x+1

(4)y=(3，(5)y=3'(6)=^—(7)/(x)=0

2.穷小的性质：

(1)两个无穷小的和、差、积仍是无穷小.

讨论：△也是不是无穷小?(不一定!)举例说明。

g(x)

(2)当时/(x)是无穷小，g(x)(xw〃(a))是有界量：3M>0,

Vx&U(a)WIg(x)l<M,则/(x)g(x)是无穷小(x->0).

即：无穷小与有界量的积任是无穷小.

上面性质是非常重要的，请记住.

例1.计算limxsin，(•.•当xf0时，sin,不存在极限，,本题是不能用极限

10XX

的运算法则求之，而只能根据无穷小的性质求之：:X是无穷小(xf0),sin，是

X

有界量，，xsinL仍是无穷小，，心也,—>0)

xx

3.无穷小阶的比较

我们知道两个无穷小的和、差、积仍是无穷小，但商可能是无穷小，非无穷

小，甚至还可能是无穷大，例如：limx=O,lim/=0,10才，.,•当工_>0时，x

XTOXTO

2

与f都是无穷小，但lim2=8,lim二=0,为什么会产生这样的现象呢？这

x->0x/x->0x

是因当Xf0时■,x,10x,y都在f0,但它们趋于0的速度是不同的，步较快，x

与10x差不多，那么怎样来刻画无穷小趋0的速度(快慢)呢？给出下面定义：

(1)无穷小阶的比较：设当时，/(x),g(x)都是无穷小；且g(x)#O,

则：(1)若lim以2=0,称/(x)比g(x)是高阶无穷小，记为/(x)=o(g(x))；

Dg(x)

(2)若lim/^=bwO,称/(x)比g(x)是同阶无穷小；

fg(x)

特别地：若lim3=l,称/(x)与g(x)是等阶无穷小，/(x)-g(x).

』g(x)

从上面定义我们看到，/(x)比g(x)的高阶无穷小，是指x->a时，/(x)与

g(x)都趋于0，但/(x)趋于0的速度比g(x)更大：

例如：x:0.10.010.001........

x-0：X-.0.10.0010.00001.......

而/(x)与g(x)是同阶无穷小，指的是/(x)与g(x)趋于0的速度基本差不多;

/(x)与g(x)是等价无穷小，则它们趋于0的速度是完全一样的.

(3)定理：高阶无穷小的和、差、积仍是高阶无穷小；高阶无穷小与有界

量的积仍是高阶无穷小.

本节需要记忆的概念：

1.无穷小的性质：无穷小的和、差、积、与有界量的积，仍是无穷小.

2.定理：limf(x)=£><=>f(x)-b=a(x)是无穷小(x—>a).

.r—

3.无穷小阶的比较：即(x)与g(x)都是无穷小，则：

⑴若1沁/(2=0,称/(x)比g(x)是高阶无穷小，记为/(x)=o(g(x))；

-0g(x)

(2)若lim/(x)/g(x)=6w0,称/(x)比g(x)是同阶无穷小；

特别地：若=称/(x)与g(x)是等阶无穷小，/(x)〜g(x).

-g(x)

4.定理：高阶无穷小的和、差、积仍是高阶无穷小；高阶无穷小与有界量的

积仍是高阶无穷小.

作业：

1.证明：(1)/(x)=sinx?与g(x)=/是等价无穷小(x—>0).

(2)a=—二比2=——是高阶无穷小(x->oo)

"1+«4"»3+5

Y+21

2.证明：(1)-..=o(―),(x->oo)；(2)x3-1~3(x-l),(x-»1).

x+3厂

3.确定常数a/,c的值，使lim""snr(c^0)

3产+“)力

x2

4.计算(1)Hm=「1(2)lie*"j(l+x)

m3

x->0X，KTOx

5.确定常数。,b,c的值，使e'（l+云+。n2）=1+〃犬+。（工3）.

(答案：a=—,b=,c=—)

336

4*.等价无穷小在求极限中的应用:

(1)五个等价无穷小：

1°)sinx~tanx〜x〜arctanx(x->0),(注：把上面的x换成/(x),

(/(x)->0)其等价关系也成立！)

2")若/(x)f1,则：lnf(x)〜〃》)一1

3。)若“X)->0,则:e/w-l-/(x)

4。)若/0)30,则：1—cos/(x)〜gr(x),特别地：1—cosx〜g/(xf0)

5。)若/(x)f0,则:[l+f(x))-1〜4(x)

（2）用等价无穷小代换求极限：

在求极限时连乘积中的因式可以用等价无穷小代换

/2—2cosx

例1.（2012年.数三.10分）求极限（m、一;__

Xx4

分析：本题目直接应用罗比塔法则非常困难，先用等价无穷小代换.

,J-e2-2cosx

2

「e-2-2cosx(/eCN-2+2COSX—1I\)..e^x-2+2cos.r-i1x2-2+2cosx1

lim---------------------------=lim-----------------二lim

44

XTOXX—0104

xx12

例2.（2010年.数三.10分）求极限lim（＞-1）右.

分析：本题化为（0-1）±=6在*’7下面无法再计算下去了.考虑等价无穷小

11.Inx1....

一,、1।iij_Inri.——In———(InInx-ln^)

nr1,1T

代换：—1)~(----)in*=/nxx=Inx(X->+00)

X

ii,inxi.

,,1_j_InX-L-——in----------(Inlnx-ln.r)

解：因为：lim(xx-l)lnx=lim(----),nx=lime}nxx=limelnx.

,r->4-30XT+8Xx—>+O0.V—>-K0

lnlnx-lnxoo备,1一：1-lnx

•・•lim-----(—)=lim~~-lim

XT+XInx00XT+X*->+ccInx

.1.lim(x,-l)'°x=e'.

Xf+8

sin2x

Jln(l+f)力

例3.（数二.10分）计算：lim0(提示：71+x4-l--x4)

XTOTI+JF-I2

十杳//1\rxx-sinx

填空：(1)hm-------------=________；(/2o)lrim-.............=_______

Xx

DE-cosxXT。1(e-1)

/c、「arctanx-x

(3)lim------------

ln(l+2x3)

解：(1)因为当x-»0时，

1-V1-X2=-[71-X2-1]=-[1+(-x2)]"---(-x2)=-x2,e'-cosx〜x,所

22

i/iLT-^(-x2)

〔Hm—=_2——=0.

ex-cosxx

(2)因为1〜x(x-»0),所以

x-sinx..x-sinx0_1-cosx-sinx1

lim-............=lim——z-----(—)x=lim------z—=lim------=一

x2{ex-1)x-x03x2°6x6

(3)因为lim(l+2/)=1,所以:ln(l+2%3)〜(1+2/)-1=2一,所以

「arctanx-xrarctanx-x3lim耳金]_

lim------------=lim--------------=lim

ln(l+2x3)1。2x3Xf0i。6x(1+x)6

作业.

1.用等价无穷小代换计算极限:

x-sinxarctanx-x

limlim

x-0x-COSXxf02xx->03

ex(e-l)ln(l+2x)

sin-x

Jln(l+

o

Vl+X4-1

2.(1)设x—0时e"'与x"是同阶无穷小，求〃的值.(答案：3)

(2)设x-0时(l-cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高阶的无穷小，

xsinx"是比，-1)高阶的无穷小，求〃的值.(答案:2)

(3)设x->0时(1-奴2)4_［与xsinx是等价无穷小，求。的值.(答案：一4)

(4)设x-0时/(x)=x-sinax与g(x)=x?ln(l-Z?x)是等价无穷小，求a,b的

值.(答案：«=1,&=--)

6

注：下面3,4,5题应用等价无穷小代换计算

3.求极限：lim^［(2+C0S^)x-11(答案：—2)

Ix3L3J6

4.求极限：］ima-cosx)［x1n(l+tanx)］(答案：J_)

1。sinx4

..V1+2sinx-x-1

5r.Inn---------------

a。xln(l+x)

6.已知：lin1sm6x2—)=0,求］加6+4(龙)(答案:36)

z

XfOA->0x

X~2f\

7.已知/(x=，(c°sx)在x=0处连续，求。的值.(答案：J5)1.

ax=0

5.极限的保序性定理：

定理：若lim/(x)=h<limg(x)=c,则三方>0,Vx:0<|x-^|<8都有/(x)<g(x).

x-^ax->a

注：该定理对于六种极限形式都成立：

例如：若lim/(x)=/?<limg(x)=c,则>0,Vx:|x|>A都有例x)<g(x).

X—>00X—>0011

再如：若limf(x)=h<limg(x)=c,WO3A>0,Vx:x>A都有f(x)<g(x)

X->+<X>x—>+aO

例：请写出下面极限形式的保序性定理：(1)xf。±；(2)Xf±8.

例：设函数在区间［0,+8)上可导./(0)=0，吧/(x)=2,证明：(1)存在。>0

使/⑷=1；(2)对(1)中的a,存在Je(O,a),使/C)=，.

a

证明：取/>2,由函数极限的局部保序性定理得：3A>0,Wx>A都有

f(x)>I,所以切>4,使f(Xo)=/o>/>2,因为且/(x)在区间

［0,人］连续，由介值定理：丸w(O,x0)使/(a)=l.

有因为/(x)在区间［0,a］可导，由拉格朗日微分中值定理得：3^e(0,a)

/(a)-/(0)1

使/'4)=

«-0a

第三章函数的不连续点

1.定理/(x)在点x=a连续olim/(x)=/(a)；

X—>«

2.函数的间断点的分类：设x=a是函数/(x)的间断点，则：

(1)若/(x)在点a的左右极限都存在，则称点a叫/(x)的第一类间断点.

特别地：

1°)当lim/(x)=lim/(x)=lim/(x)时，称x=a是/(x)的可去间断点，(即:

x->«+x->«-x->a

极限存在的间断点叫可去间断点);

2。)若左右极限存在，但lim/(x)丰lim/(x),称x=a叫/(x)的跳跃间断点.

X—>a+x—

(2)若/(x)在点x=a的左右极限至少有一个不存在，则称点x=a叫

/(X)的第二类间断点.

v_

例L求/(%)=土上的间断点和可去间断点.(答案：x=0,±l)

sin^x

解：x=0,±l及x=k伏w0,±l;ZeZ)是函数的间断点.其中

x=k仗。0,±1;ZeZ)是第二类间断点.当x=0,时

lim=l(9)=lim上亘二=L,所以x=0是函数的可去间断点.

sinm0I。乃cos玄7i

当％=±1时，lim^^(-)=lim1_3^2=+-,所以x=±l是可去间断点.

*TOsinm0'一。兀cosmTC

例2.求函数/。)=¥^应11%的可去间断点和跳跃间断点.

卜-11

解：x=0,x=l是函数的间断点，当x=O0寸，

1

lim/(x)=lim-sinx(0•oo)=lim牛’=lim-----~~-=-limS^nA=0

Xfo+XTO+I—xx->0+1»T0+COSxlx->0X

si•nxs•in-2x

£(、ln(-x).〃、、「ln(-x)xsin2x

lrimf(x)=lrim---------sinx(0•oo)=lim--——=lim-----―-=lrim--------=0

Xf(rXT。-1—XXT。-1XT。-cosxlX->(TX

sinxsin2x

lim/(x)=0,所以：x=0是可去间断点；

XTO

当尤=1口寸：limf(x)=lim•sinx=sin1•lim—=+sinl

XTi+nrx—1A-»I+x

-1

limf(x)=limI"“),sinx=sinl・lim二工=-sinl,所以x=1是跳跃间断点.

x->rx->r\—xA->r—]

"(x)

xw0

作业.1.设F(x)=,X，其中/(X)在x=0处可导,

,/(0)x=0

广(0)*0,/(0)=0,证明X=0是尸(x)的第一类间断点.

f|x2-l|

2.证明/(x)=:丁"0在苫=1处不连续.

2x=0

3.求函数〃x)=(l+x)4在区间(0,2外内的间断点，并判别其类型.

ln(l+ax3)

------；——x<0

x一arcsinx

4.设函数/(x)=■6x=0,问。为何值时，/(x)在x=0处连

€°X+X2—(2X—1八

--------------X〉0

xsin—

4

续，。为何值时，x=0是/(1)的可去间断点.

6.设函数/(x)=1l—,求/(x)的间断点，并判别其类型.

ex~'-1

7.求函数/(x)=4型-sinx的可去间断点和跳跃间断点.(左右极限都存在,

次-1|

但不相等的间断点称跳跃间断点.)

8,求/(X)=二^的间断点和可去间断点.(答案：x=O,±l)

sin/zx

第四章函数的的导数与微分

重要知识点：

1.导数：八%)=lim/(%+-/(")=Hm"X)—"")

Arf0A%XTkX—Xo

2,左导数：£(%);lim公2匕3=1而幺止3

加-o-ArI。x-xo

3.右导数：£(%)=lim''X"+以'—‘'x")—lim"“)—于)

以f0+Axxfx；x~xo

(其中x=x0+Ax)

4.定理:/*)在x=x.可导o/；(x„)都存在，且£(乙)=/：(儿)=/(%)

5.微分的概念：设函数/(x)在％的某领域(X0-S,x〃+b)内有定义，给乙一•个

改变量Ar,使：x„+Are(x„-8,x„+J),把两点的函数值之差：

Ay=/(x.+Ax)-/(x“)叫函数/(x)在乙处的改变量.

(1)微分概念：若Ay=AAr+。3),则称函数/(x)在点x°可微，并称AAA•叫函

数/(x)在X。的微分，记为：dy［或4(x0),(其中A是与Ax无关的量).

(2)定理：/(x)在点x可微o/(x)在点x可导，且A=/'(x)

由上面定理得函数y=/(x)在点X。的微分：dy\=df(x。)=f'(x0)dx,而在任意x

的微分：dy=df(x)=f'(x)dx.

例1：设函数/(x)在(—6,6)有定义，VXG(-^>S),恒有|/(切二2

则x=0必是/(x)的可导点且r(0)=0.

证明：•••xf0(xw0),由|/(切32得/(0)=0,且悴2卜1,...与1在

,,d/八七由r/W-/(0)f(x)f(x),、(月

(一b,+5)(xwO)有界，vhm---------=lim----=hrmJ-x=0(x是

…x-0Dxa。x2

无穷小,要是有界量，定理：有界量与无穷小之积仍是无穷小.)

X

所以/(x)在x=0可导点，且/'(0)=0.

例3.设函数/(x)在x=0处连续，且lim/华=1,则/(0)=0且月(0)存在.

/»->0h/

例4.设函数/(x)在x=0处可导，且/(0)=0,求lim、/(x)[2〃1).

X70x'

(-/⑼)

例5.设/(x)是可导的单调函数、/⑴=2,月一!吧/⑴求

曲线y=/(x)在当横坐标x=l时的点处的切线与法线的方程.

作业：1.证明：设/(x)可导，F(x)=/(x)(l+|sinx|),则/(0)=0是尸(x)在x=0

处可导的充耍条件.

证明：(必要性：b(x)在x=0可导n/(0)=0)•••?(())存在，

...尸(0)=lim"“)一产⑼="①=f'(0)存在，

2。X-02。X-0

另一方面：

,月(0)=5F(xT(0)=H(一inx)/(。)=］而四)7(0)十八小叫

io'x-0九-0io*x-0x

=/；(0)+/(0).又因为F(x)在x=0可导，所以F(0)=理(0),所以

r(0)=/；(0)+/(0),/(0)=0(因为f(x)可导,所以尸(0)=H(。))

(充分性：/(0)=0=>/(x)在x=0可导)

lim-⑴一"①=lim"刈7(°)=/，⑼,所以F(x)在》=0可导，月一

-1。X-0XT。龙一0

尸(0)=((0)

2.设/(X)=「arctan—/n,(1)求((%)与4(%)；(2)试讨论/(工)

0x=0

的连续性.(提示：节点处的导数要用定义计算).

6.隐函数的导数：设方程P(x,y)=O确定隐函数y=/(x),则的隐函数y=/(x)

的导数：

(1)户小…第※

注：应用这种方法时必须把方程化为F(x,y)=0的形式.

(2)将方程两边同时对x求导，求导时把隐函数y看成中间变量，应用复

合函数的求导法则计算.

例1.求方程孙+3x-5y=/所确定的隐函数)，=/(x)的导数.

例2.求由方程2y-工=(x->,)ln(x-y)所确定的隐函数y=y(x)的导数也和微

dx

分dy,并求=/(2,1)、纵2,1)

分析：由dy=/'(x)dx知：关键是求出函数/(x)的导数/'(x)!

解:将方程两边同时对次求导：2yr-1=(1-y/)ln(x-y)+(x-y)-——

2+ln(x-y)2+My)dx,2+ln(2-l)

/.dy=而创(2J)|瓦

3+ln(x-y)3+ln(x-y)3+ln(2-l)

例3.设y=/(x+y),其中/具有二阶导数，且尸Wl,求宗.

解：令〃=x+y,则y=/Q),半="曰=/(1+了)(其中尸=半)

axduaxau

(1—/'”'=/'，<=工・

J

再将等式虫=/(1+y')两边对x求导：

ax

0=皆学(1+)，)+/•了=八1+处+乙了解得y〃="^

dxdudxf)

也可对y，=—。

注:两边同时求导:

/=上也包=门1-/]-1'(-"(I+y，)

dudx(1-fry

12V

例4.设函数y=/(x)由方程y-xe>'=l所确定，求沼.

dXx=0

7.参数方程求导：设参数方程⑺，则>，=虫=卑。

卜=济)dx“⑺

X=t24-1

例5.已知曲线L的方程,(摩0),过点(-1,0)引曲线L的切线,

y=4，一产

求切点(4,儿)，并写出切线方程；

(答案：切线：y=x+l,)

作业：

1.求由方程2*'=x+y所确定的隐函数y=y(x)的微分dy及dy(O).

_y2中ln2-l

(答案:dydx，力|40=(ln2-l)Jx)

-l-x-2vvln2

2.已知y=ln(l+3-x),求dy.(答案：dy=-3ln3Jx).

l+3-x

3.设y=(1—sinx)”,则d)[=#=.

4.设隐函数y=/(x)由方程xe"，)=e，所确定，其中/具有二阶导数，且

r*0,求d2y.(提示:函数y=/(x)的〃阶微分:d"y=fM[x}dxn,所以

关键是求函数的〃阶导数！两边同取自然对数.)

1一尸(>)/一/"(y)

(答案：d2=dx2)

/U—八疥

5-曲线tan*+y+*，在点D(。,。)处的切线方程.—

第五章导数的应用

（-）函数的单调性与极值

1.函数的单调性

⑴定理：/（X）在区间/单调增加（减少）o/z（x）＞0（/f（x）＜0）.

（2）定理：Vxe（,/（理＞O（x＜O）n/（x）在区间/严格增加（严格减少）.

2.函数极值与最值：

（1）函数极值的第一判别法：

设函数/（x）在领域力⑷可导，且/'（4）=0，若存在3＞0,使：

（1。）当Vxw（%-瓦/）时/'（%）=0；Vxe（x0Xo+b）时，/'（Xo）＜0,则与

是/（幻的一个极大值点。

（2°）当心€（%—6,・一%），/（x）＜0；Vxe（x0,%+（时,f\xo）＞0,

则X。是/（x）的极小值点。

注:定理告诉我们，当/'（x0）=0时，若尸（X）在X。的两侧异号时，X。是“X）

的极值点，在X。两侧/'（X）符号不变时，X。就不是“X）的极值，因此只须判别在

X。两侧导函数尸（X）的符号就可以判断X。是不是/（X）的极值点。

例1.求函数/。）=（》-1）2（》-2）3的极值。

分析：①首先求函数的定义域及稳定点。②再用稳定点把定义域分成若干个

小区间，判定每一个小区间/'（X）的符号即可。

解:/(%)的定义域为R,而/'(x)=2(x-l)(x-2)3+3(x-l)2(