导数的解题技巧

导数的解题技巧导数的解题技巧62/62第62页共62页导数的解题技巧导数的解题技巧专题三导数的解题技巧第____课时共__4__课【考点聚焦】1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.（2）求极值,函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.分值在1217分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.【重点难点热点】考点1:导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.【问题1】（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.[解答过程]故填3.〖演练〗例2.(2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.[解答过程]由综上可得MP时,例1．在处可导，则思路：在处可导，必连续∴∴例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）；（2）分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。解：（1）（2）说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例3．观察，，，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若为偶函数令∴可导的偶函数的导函数是奇函数另证：∴可导的偶函数的导函数是奇函数考点一：考小题，重在基础.有关函数与导数的小题，其考查的重点在于基础知识，如：导数的定义、导数的几何意义、函数解析式、图像、定义域、值域、性质等仍是高考的重点.例1．（福建11）如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数的图象可能是（）图1解析：利用函数与导数的关系：函数递增则导数大于0，函数递减则导数小于0，从图1可以看出，函数先递增再递减又递增再递减，故导函数的图像应该是先大于0再小于0又大于0再小于0，符合条件的只有A答案，故选A评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关系。例2．（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.解析：由条件，函数上是减函数，则，即，对任意的恒成立，对任意的恒成立，而上的最小值为-1，故，选C2BCAyx1O4561232BCAyx1O4561234．（用数字作答）解析：由图易知=2；，由导数的定义知-2评注：用定义解题必须准确把握导数的定义，另外还注意是先求还是将x=1代入。例4．（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝．解析：由导数的几何意义，，切点为，把切点代入切线方程得评注：用导数的几何意义求切线方程一直是高考的热点，但难度不是很大。考点二：利用导数求函数的单调性例5．（全国一19）．已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解析：（1）求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在上递增，在上递减，再上递增（2）由（1）得，且解得：评注：利用导数处理函数的单调性，简洁明快，但要注意导数与可导函数单调性的关系，是为增函数的充分不必要条件；是为增函数的必要不充分条件。考点三：利用导数求函数的极值例6．（陕西卷21）．已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．解析：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．评注：利用导数求函数的极值，先求，再令求得根，然后检验极值点左右的符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，对于含参数问题，注意分类讨论。考点四：利用导数求函数的最值例7．（江苏卷17）．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．解析：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函数关系式为②若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为（Ⅱ）选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。例4．（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。解：（1），，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0因此曲线在（1，1）处的切线方程为y=1（2）。例5．求下列函数单调区间（1）（2）（3）（4）解：（1）时∴，（2）∴，（3）∴∴，，（4）定义域为例7．利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，；当x≠1时，∵，两边都是关于x的函数，求导得即（2）∵，两边都是关于x的函数，求导得。令x=1得，即。例8．设，求函数的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.解：.当时.（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.考点2:曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2）关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)（2006湖南卷）曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.解析：曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.（2）（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即，又由，得，故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故．〖演练1〗（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A．B．C．D．[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.故选A.〖演练2〗(2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+=0相切的直线的方程为()A.y=-3x或y=xB.y=-3x或y=-xC.y=-3x或y=-xD.y=3x或y=x[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.[解答过程]解法1：设切线的方程为又故选A.解法2:由解法1知切点坐标为由故选A.〖演练3〗(全国II）过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）（A）2x+y+2=0（B）3x-y+3=0（C）x+y+1=0（D）x-y+1=0解：y=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得x0＝0或－4，代入可验正D正确。选D〖演练4〗.已知两抛物线,取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.思路启迪：先对求导数.解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即①曲线在点Q的切线方程是即②若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得，消去得方程，若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为.〖演练5〗（2007湖北理）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．[考查目的]解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，例9．已知抛物线与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为和。（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与的夹角。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。解（1）由方程组解得A(-2，0)，B(3，5)（2）由y′=2x，则，。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式，所以说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直线的夹角公式有绝对值符号。考点3：导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值（最值）；5.构造函数证明不等式。【问题3】（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.故选A.〖演练1〗（江西卷）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有（）A.f(0)＋f(2)2f(1)B.f(0)＋f(2)2f(1)C.f(0)＋f(2)2f(1)D.f(0)＋f(2)解：依题意，当x1时，f(x)0，函数f(x)在（1，＋）上是增函数；当x1时，f(x)0，f(x)在（－，1）上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C〖演练2〗若是的导数函数，的图像如图所示，则的图象可能是下面各图中的（D）xxy0abxy0abxy0abxy0abxy0abABCDyxO12-13〖演练3〗函数y=f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．记y=f(x)的导函数为y=f(x)，则不等式f(x)yxO12-13A．B．C．D．例6．求证下列不等式（1）（2）（3）证：（1）∴为上∴恒成立∴∴在上∴恒成立（2）原式令∴∴∴（3）令∴∴【问题4】（2007年全国1）设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b的值．解答过程：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．〖演练1〗（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值.[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,故在上递增，在上递减，因此在处取得极大值，所以（Ⅱ）由得解得解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）设又所以,由即得所以〖演练2〗函数的值域是_____________.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由得，，即函数的定义域为. ， 又， 当时，， 函数在上是增函数，而，的值域是.〖演练3〗（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.（Ⅱ），令，得.由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+↗极大值↘极小值↗因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.=2\*GB3②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（=3\*ROMANIII）解：由（=2\*ROMANII）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（=2\*ROMANII），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.〖演练4〗（2007年全国2）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。[解答过程]求函数的导数．（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以当时，为增函数，，由，得．（Ⅱ）在题设下，等价于即．化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．所围成的的内部，其三个顶点分别为：．ba212ba2124O所以的取值范围为．小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合．【问题5】(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力[解答过程]由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表—0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.〖演练〗（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.当a<－4时，x2>3＝x1，则在区间（－∞，3）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数.当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f`(x)<0，f(x)为减函数；在区间（―a―1，3）上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)为减函数.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－（2a＋3）e3<0，f(4)＝（2a＋13）e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.故a的取值范围是（0，）.【问题6】设函数f(x)与数列{an}满足下列关系：①a1＞a，其中a是方程f(x)=x的实数根；②an+1=f(an)(nN*)；③f(x)的导函数f′(x)∈（0，1）；⑴证明：an＞a；(nN*)；⑵判断an与an+1的大小，并证明你的结论。解答：（1）证明：用数学归纳法①n=1时，a1＞a成立②假设n=k时，ak＞a成立，则n=k+1时，由于f′(x)>0，∴f(x)在定义域内递增∴，即∴n=k+1时，命题成立由①②知，对任意，均（2）解：令，则∵，∴∴递减，∴时，，即，∴猜测，下证之①n=1时，成立②假设n=k时，成立则n=k+1时，由于递增，∴，即∴n=k+1时，命题成立，由①②知，对任意，均[点晴]:由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为今后高考的重点内容，在复习中要足够地重视。【问题7】已知双曲线与点M（1，1）.（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。[解答]：（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。，且t≠0，t≠1。设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而，即线段AB的中点在直线上。又，AB与直线垂直。故A与B关于对称，设，则有t2-2mt+m=0①由及夹角公式知，即②由①得③从而由②知，代入③知因此，。【问题8】（理）A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，B得冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N。（1）求使P－p为最大的p值；（2）求使N的期望值为最大的p值及期望值。（3）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。[解答]：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为p3；如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为于是 将代入整理得令即当时，又（2）随机变量N的概率分布为N345Q则而这时，例1、（2008浙江）已知是实数，函数.⑴求函数f(x)的单调区间；⑵设g(x)为f(x)在区间上的最小值.（i）写出g(a)的表达式；（ii）求的取值范围，使得.（1）解：函数的定义域为，（）．若，则，有单调递增区间．若，令，得，当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．（2）解：（i）若，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，在上单调递增，所以．若，在上单调递减，所以．综上所述，（ii）令．若，无解．若，解得．若，解得．故的取值范围为．变式：已知函数.（1）求的最大值；(2)设实数，求函数在上的最小值.解（1）令得当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数（2），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减．在上的最小值当时，当时，例2、已知（1）求函数在上的最小值（2）对一切的恒成立，求实数a的取值范围（3）证明对一切，都有成立解，即时，，（2），则设，则，单调递增，，，单调递减，因为对一切，恒成立，（3）问题等价于证明，，由（1）可知，的最小值为，当且仅当x=时取得设，，则，易得。当且仅当x=1时取得从而对一切，都有成立变式1：已知函数f(x)=ln2(1+x)-.(1)求函数的单调区间;（2）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.解:（1）函数的定义域是，设则令则当时，在（-1，0）上为增函数，当x＞0时，在上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，当x＞0时，所以，当时，在（-1，0）上为增函数.当x＞0时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（2）不等式等价于不等式由知，设则由（Ⅰ）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为变式2：若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，为自然对数的底数)．（1）求的极值；（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．(1)，．当时，．当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．(2)由（1）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．…………8分设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．由，可得当时恒成立．，由，得．下面证明当时恒成立．令，则，当时，．当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；∴当时，取极大值，其极大值为．从而，即恒成立．∴函数和存在唯一的隔离直线．变式3、设f(x)=px－EQ\F(q,x)－2lnx，且f(e)=qe－EQ\F(p,e)－2（e为自然对数的底数）(I) 求p与q的关系；(II) 若f(x)在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III) 设g(x)=EQ\F(2e,x)，若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围.解：(I)由题意得f(e)=pe－EQ\F(q,e)－2lne=qe－EQ\F(p,e)－2 (p－q)(e+EQ\F(1,e))=0 而e+EQ\F(1,e)≠0∴ p=q (II) 由(I)知f(x)=px－EQ\F(p,x)－2lnxf’(x)=p+EQ\F(p,x2)－EQ\F(2,x)=EQ\F(px2－2x+p,x2)令h(x)=px2－2x+p，要使f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需h(x)在(0,+)内满足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立. …………5分①当p=0时，h(x)=－2x，∵x>0，∴h(x)<0，∴f’(x)=－EQ\F(2x,x2)<0，∴ f(x)在(0,+)内为单调递减，故p=0适合题意. ②当p>0时，h(x)=px2－2x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=EQ\F(1,p)∈(0,+)，∴ h(x)min=p－EQ\F(1,p)只需p－EQ\F(1,p)≥1，即p≥1时h(x)≥0，f’(x)≥0∴ f(x)在(0,+)内为单调递增，故p≥1适合题意. ③当p<0时，h(x)=px2－2x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=EQ\F(1,p)(0,+)只需h(0)≤0，即p≤0时h(x)≤0在(0,+)恒成立.故p<0适合题意. 综上可得，p≥1或p≤0 另解：(II) 由(I)知f(x)=px－EQ\F(p,x)－2lnxf’(x)=p+EQ\F(p,x2)－EQ\F(2,x)=p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x) 要使f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需f’(x)在(0,+)内满足：f’(x)≥0或f’(x)≤0恒成立. 由f’(x)≥0p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x)≥0p≥EQ\F(2,x+\F(1,x))p≥(EQ\F(2,x+\F(1,x)))max，x>0∵ EQ\F(2,x+\F(1,x))≤EQ\F(2,2\R(x·\F(1,x)))=1，且x=1时等号成立，故(EQ\F(2,x+\F(1,x)))max=1∴ p≥1 由f’(x)≤0p(1+EQ\F(1,x2))－EQ\F(2,x)≤0p≤EQ\F(2x,x2+1)p≤(EQ\F(2x,x2+1))min，x>0而EQ\F(2x,x2+1)>0且x→0时，EQ\F(2x,x2+1)→0，故p≤0 综上可得，p≥1或p≤0 (III) ∵ g(x)=EQ\F(2e,x)在[1,e]上是减函数∴ x=e时，g(x)min=2，x=1时，g(x)max=2e即 g(x)[2,2e] ①p≤0时，由(II)知f(x)在[1,e]递减f(x)max=f(1)=0<2，不合题意。②0<p<1时，由x[1,e]x－EQ\F(1,x)≥0∴ f(x)=p(x－EQ\F(1,x))－2lnx≤x－EQ\F(1,x)－2lnx右边为f(x)当p=1时的表达式，故在[1,e]递增∴ f(x)≤x－EQ\F(1,x)－2lnx≤e－EQ\F(1,e)－2lne=e－EQ\F(1,e)－2<2，不合题意。③p≥1时，由(II)知f(x)在[1,e]连续递增，f(1)=0<2，又g(x)在[1,e]上是减函数∴ 本命题f(x)max>g(x)min=2，x[1,e]f(x)max=f(e)=p(e－EQ\F(1,e))－2lne>2p>EQ\F(4e,e2－1) 综上，p的取值范围是(EQ\F(4e,e2－1),+) 例3、设函数（1）求函数的极值点（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围（3）证明：解：（1），当上无极值点当p>0时，令的变化情况如下表：x(0，)+0－↗极大值↘从上表可以看出：当p>0时，有唯一的极大值点（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，要使恒成立，只需，∴∴p的取值范围为[1，+∞（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，∴，∴∴∴结论成立变式1、已知函数（e为自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；（3）设，证明：。例4、已知函数f(x)=(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数a>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。解：（1）由已知，得h(x)=且x>0,则hˊ(x)=ax+2-=,∵函数h(x)存在单调递增区间,∴hˊ(x)≥0有解,即不等式ax2+2x-1≥0有x>0的解.当a<0时,y=ax2+2x-1的图象为开口向下的抛物线,要使ax2+2x-1≥0总有x>0的解,则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根,而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时,则必定是两个不相等的正根.故只需Δ=4+4a>0,即a>-1.即-1<a<0当a>0时,y=ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线,ax2+2x-1≥0一定有x>0的解.综上,a的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞)（2）方程即为等价于方程ax2+(1-2a)x-lnx=0.设H(x)=ax2+(1-2a)x-lnx,于是原方程在区间()内根的问题,转化为函数H(x)在区间()内的零点问题.Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=当x∈(0,1)时,Hˊ(x)<0,H(x)是减函数；当x∈(1,+∞)时,Hˊ(x)>0,H(x)是增函数；若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点,只须解得,所以a的取值范围是(1,)变式1、已知x=是的一个极值点(1)求的值；(2)求函数的单调增区间；(3)设，试问过点（2，5）可作多少条曲线y=g(x)的切线？为什么？⒙解：(1)因x=－1是的一个极值点∴即2+b-1=0∴b=-1经检验，适合题意，所以b=-1．(2)∴>0∴>0∴x>∴函数的单调增区间为（3）=2x+lnx设过点（2，5）与曲线g(x)的切线的切点坐标为∴即∴令h(x)=∴==0∴∴h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-1<0，∴h(x)与x轴有两个交点∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线.变式2、已知函数（1）求f(x)在[0，1]上的极值；（2）若关于x的方程在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.（1），令（舍去）单调递增；当单调递减.上的极大值（2）由令，当上递增；当上递减而，恰有两个不同实根等价于总结提炼：1.函数的综合问题，这类问题涉及的知识点多，与数列、不等式等知识加以综合。主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.2.通过求导来研究函数性质是一种非常重要而有效的方法。通常的步骤：先求导，要注意求导后定义域的情况；将导数整理变形，能看出导数的符号性质或零点。再列表，从表中回答所要求解答的问题。3.对于含有字母参数的问题，可以通过分类，延伸长度，从而降低难度。也可以通过分离变量，转化为函数或不等式问题去解决合理构造函数解导数问题构造函数是解导数问题的基本方法，但是有时简单的构造函数对问题求解带来很大麻烦甚至是解决不了问题的，那么怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。例1：（2009年宁波市高三第三次模拟试卷22题）已知函数.若为的极值点，求实数的值；若在上增函数，求实数的取值范围；若时，方程有实根，求实数的取值范围。解：（1）因为是函数的一个极值点，所以，进而解得：，经检验是符合的，所以（2）显然结合定义域知道在上恒成立，所以且。同时此函数是时递减，时递增，故此我们只需要保证，解得：（3）方法一、变量分离直接构造函数解：由于，所以：当时，所以在上递增；当时，所以在上递减；又当时，所以在上递减；当时，所以上递增；当时，所以在上递减；又当时，当时，则且的取值范围为原函数草图二阶导数草图原函数草图二阶导数草图一阶导数草图一阶导数草图，，方法二、构造：从而在上为增函数；从而在上为减函数而分析点评：第（3）问的两种解法难易繁杂一目了然，关键在合理构造函数上。那么怎样合理构造函数呢？（1）抓住问题的实质，化简函数1、已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值.（1）求的解析式；（2）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1）（2）假设满足要求的实数存在，则，即有：，即有：构造函数画图分析：进而检验，知,所以存在实数使得在区间内有且只有两个不等的实数根。点评：本题关键是构造了函数，舍弃了原函数中分母问题得到了简化。变式练习：设函数，求已知当时，恒