微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学

习题1-1解答

Y11X\

1-设/(x,y)=xy+-，求/(—x,一〉),“一,一),“》》,一),；^~-

yxyyf(x,y)

A”//、X//11、1yr/X、2，1y

解/(_x,_y)=xy+_；/(-,-)=—+--,f(xy,-)=x-+y-;—~~；---

yXyxyxyf(x,y)xy+x

2.设/*,田=历力”,证明：f{xy,uv)=/(x,w)+/(x,v)+f(y,u)+f(y,v)

f(xy,uv)=ln(xy)•ln(wv)=(lnx+lny)(\nu+Inv)

=Inx-Inw+Inx-inv+Iny-Inw+Iny-Inv

=/(x,w)+f(x,v)+f(y,u)+f(.y,v)

3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形：

(1)/(x,y)=71-x2+7^2-1；

八y

d4x一/

(2)/(x,y)=：」；NZd

ln(l-x2一:/)

1

1222

(3)-----1i>

Vab-c-101x

、Vx+77+V7

(4)f(x,y,z)=,——-——-——--

^-x2-y2-z2

解(1)D={(x,y)||x|<l,|y|>l}八y

_rL

(2)D={(x,y)|0<x2+y2<l,y2<4x}

222

(3)£)=卜了,>)*+右+二<1>v“”一

a2h2c-

(4)D={(x,y,z)|xNO,yNO,z>0,x2+y2+z2

八z

1

/A、、、、

/:、、

1，•)、、

，’!\

I：0'y

1/1f------>

*,/，/

xi<-…J

4.求下列各极限:

..1—xy1—0.

(1)hm—―=----=1

1,厂+厂0+1

>'->1/

/、［.ln(x+ev)ln(l+e°).

(2)hm/==\___Jin2

K3+二VTTo

2-Jxy+4(2-Jxy+4)(2+J盯+4)1

(3)lim----------=lim-------------/-----=——

，孙，孙(2+J盯+4)4

sin(xy)sin(孙)

(4)lim-----=lim------x=2

x->2yXT2XV

y->0)3T0J

5.证明下列极限不存在：

22

(1)lim''+);(2)lim,「)----7

x-yrxy+(x-y)

y->0J)T0J'J'

（1）证明如果动点P（羽y）沿y=2x趋向（0,0）

Ix+yx+2x

则hm----=hm-----=-3；

x-yx->0尤一2x

>'=2A->0t,

如果动点P(x,y)沿x=2y趋向(0,0),则limX+y=lim—=3

yf°x—yv

x=2y->0)J

所以极限不存在。

(2)证明：如果动点P(x,y)沿y=x趋向(0,0)

lim=

则lim1；

x->0x2y2+(x-y)2x4

>=x->0

o2

xylim4

如果动点P（x,y）沿y=2x趋向（0,0）则limy,=0

10/y2+(x-y)2…4x+x

y=2.v->0

所以极限不存在。

6.指出卜列函数的间断点：

⑴小小岩;⑵Z=MT。

解（1）为使函数表达式有意义，需y—2x*0,所以在y-2x=0处，函数间断。

（2）为使函数表达式有意义，需xwy,所以在x=y处，函数间断。

习题1—2

xy

1.(1)z=-+-

y%

dz_1ydz_1x

dxyx2dyxy2

⑵ycos(盯)-2ycos(xy)sin(xy)=yfcos(xy)-sin(2xy)]

&

②一=xcos(xy)-2xcos(xy)sin(xy)=x[cos(xy)-sin(2xy)]

azl

(3)瓦V(l+xyY'~y=y-(1+xy)T,

107x

lnz=yln(l+xy),两边同时对y求偏导得----=ln(l+xy)+y

zdy1+xy

dz、孙1、町i

—=z[rln(Zl1+q)+[=一]=(1+xyxYyr[lln(Zl1+xy)+;

oy14-xyl+xy

1

1-打

_1

dzx3x3-2y

(4)—=—工一二一一~力Y+yx'y

6x%+上x(x+>)Xn---

duydu

4-上二

—=-X,—AInx

⑸dxzdy-2

“、加，_z(x-y严du_z(x—y)zTdu_(x-y)zIn(x-y)

dxl+(x-y)2z'dy1+(工一)，产’&l+(x-y产

=

2.(1)zx=y,z),x,zxx—0,zxy=L=0;

(2)zX=asin2(ax+by),zy=bsin2(ax+by),

2

zxx=2acos2(ax+by),zxy=2abcos2(ax4-by),zyy=2b2cos2(ax+by).

222

3fx=y+2xz,fy=2xy+z,f.=2yz+x,fxx=2z,fxz=2x,fyz=2z,

九(0,0,1)=2,fxz(1,0,2)=2,4(0-1,0)=0.

=-===

4zx2sin2(x—),sin2(x—),zxt2cos2(x—),ztl-cos2(x—)

=_—=

2z+zxl2cos2(x—)+2cos2(x--)0.

=/，z,=L；,dz=—=-e^dy;

5.(1)4

XXXX

-L/22、Xyxy

(2)z=二]n(x+y),z*=-5T，Z、,=~zT，dz=-zdxHzrdy\

2x+厂x+yx+yx+y

1

X=%-ydx+xdy

(3)句=-------=----2'2,dz

1+(马2'+>22

1+(9x.+)「x+y

XX

yz[yzyz

(4)ux=yzx~.uy=zxlnx,w.=yxInx,

du=yzx^dx+zxyzInxdy+yxyzInxdz.

22xdx+ydy

6.设对角线为z,则z=^x+y,zxdz=

6x0.05+8x(-01)

当x=6,y=8,Ar=0.05,Ay=-0.1时,加adz==-0.05(m).

7.设两腰分别为x、y,斜边为z,则z=，■+/,

yxdx+ydy

,dz=

设x、y、z的绝对误差分别为瓦、3V、

当x=7,y=24,|Ax|<b,=0.1,|Ay|<^v=0.1时，z="+24?=25

7x0.1+24x0.1

|Az|<\dz\<=0,124,z的绝对误差2=0.124

6+242

A70124

z的相对误差空«巴咛=0.496%.

z25

8.设内半径为r,内高为h,容积为V,贝I」

22

V-7irh,Vr-2mzz,Vh-m-,dV-Ijrrhdr+7rr~dh,

当，=4,/7=20,Ar=0.1,A%=0.1时,

AV«JV=2x3.14x4x20x0.1+3.14x42x0.1=55.264(cm3).

习题1—3

2xxy

du^dfdxdfdydfdz

z------------aeaxH------------•2a{ax+1)

dxdxdxdydxdzdx./孙、21+(现＞1+卢＞

zzz

y[z+axz-2axy(ax+1)]__+(l+tz2x2)

z2+x2y2(ax+1)4+x2e2ax

3

口第，劭二「一4x

20=}x+arcsinJ•——-

&笫dxdr/dx“_铲J_2

413arcsinyjl-x2-y2xln(x4+y4)

X4+y4yl(l-x2-y2)(x2+y2)

4y3

四巨四迎也匚一)’—

+arcsin57•—4-----4-

Sy药dydr/dyJ]_g2^_x2_y2x+y

4yaarcsinyjl-x2-y2yln(x4+y4)

/+y，^l-x2-y2Xx2+y2)

⑴^=2xfye^f,粤=—2次+xe%

3.l+2

oxdy

du1.dux.1.duy.

⑵在=7.九瓦=-F"72反"一了左

du...du.,du

(3)亚"+%+必0=小+卬3安"为

，八dllcrr,crr,

（4）丁2助+以+为加=2以+%+力r拓

_八、&dz6c

4.⑴瓦=）九r加=犷十九

=y(fu,＞9=y2/ir

dx2dx

袅_=4_(如)=力+,雪=力+y(启・尤+力2)=力+芝股+以2，

oxoydydy

2

彳4=^~凶1+f2)=X驾+萼=戏九-X4-/12)+/21-X+f22=X/11+2福12f22

dydydydy

次不_(<-))(『-)2户黑小一月1一一,/喇―丫’-=d

£I

人一冲’./

'——2」UB1小一产『-2=(2'x)d积亿)

为0,W岭

1

一I-20【一力-29

&.)/+1=W

'(e)N+1='%'(ej+1=N'-。-2+(+丫=(2H%)-♦⑴9

餐S)+式X花Q)=式I而Q)+式S而Q

昌匕+生”工当匕骂当上+组丝工+禺上招

zngJng即"zng£2ngzng£ngngzng\zng

SC犯CIQ0IQXQIQ0CXQZSQ他SQXQSQ

，--------1-------------=-：---------F--------=，----------+--------=-：----4----------=£

”0【〃。"0"0XQnQnQ〃QqnQIQnQXQ%〃。

，>+"双抄+%。抄+奴=

(3-z7+..忆/)产+(产•zy+-・u/)Gc+奴=

刈0,ir/zrI"

幅户得卬尔=(4丫+河)万=也

"一《产g+配凡丫0++zJxz+奴=

(产•zz/+/z/)Gc++(产zi/+Gc.u/)小+/c=

。。,、。XOXO

卷仁"+总"收=(gc+5)*皆

配/4抄+乜(抄+*《+=

-zzf+/JZQGc+z/(c+(G2.g+/."/)/=

xpxpxpxp

尔+总曰的+3)小.

Oxp

"+师=后加+3=访⑵

[3

-F==(-T)(X2-y2)-2(-2yz)

2

⑶设F{x,y,z)=x+2y+z-2y/xyz,FX=1一

包=_"_yz-4xyz&_=_F^xz-2y/xyz

dxF.而^—xy'OyF_y[xyz-xy

(4)设F(x,y,z)=--In—=--Inz+Iny,F=-,F=—F.=--

1yzzyvzz

Sz_zdz__£y__z1

dxF.x+z'dyF.y(x+z)

7.设F(x,y,z)=x+2y-3z-2sin(x+2y-3z),&=1-2cos(x+2y-3z),

,/Fy=2-4cos(x+2y-3z),F,=-3+6cos(x+2y-3z),

.dz_Z7,_1dz_F)._2

"dx~~~F\~3，dy~~~F\~3,

dzdz

—+—=1.

dxdy

8.设b(x,y,z)=O(cx-az,cy-bz),&=c0(,Fy=c(/>2,F.=-a(f)y-b</>2,

_dz—__F_、.—___c_必___dz—__K_—___M___,a_dz_|_,_dz—c

9

dxFza。1+b(/)2dyFza(/)x+b(/)2"dxdy

9.(1)方程两边同时对x求导得

办

dz0,0dyx(6z+1)

­=2x+2y—,区-2y(3z+l)

dxdx

解之得办

CAdydzx

2x+4y—+6z——=0,区

dxdx37+1

(2)方程两边同时对z求导得

连

办y-z

-

一=0,Xy

+1型-

之得

解

工

承2V

以zX

O--

2XX-y

(3)方程两边同时对x求偏导得

„dudu.dv\du_sinv

IdxdxIdx(sinv-cosv)+l

udududv'\dvcosv-e"

、Sxdxdx®w[ew(sinv-cosv)+l]

同理方程两边同时对y求偏导得

ot如a/-cosv

-et一-

+—sinv+wcosv穿

小eM(sinv-cosv)+l?

/

一解之得

1-eMa-vsinv+eM

cosv+wsinv分-

axu[eH(sinx^-cosv)+ll

_

_

_

_

_

_

_

习题1一4

1.求下列函数的方向导数2

dl'"

(1)u=x2+2y+3z2,与(1,1,0),/=(1-1,2)

解：瓢=2卜=2,凯=41=4,凯=6*0,I。=(&泉靠

.与广2*京+4*(一

(2)M=(Z)S7^(1,l,l),z=(2,1-1)；

duI/八±2-11

‘扯=()V676=-76,

（3）u=ln（x2+y2）,々）（1,1）,/与ox轴夹角为q；

史I:2x।=]

解:力帆x2+y2lPn

包|一.2y।

dylP°x?+V1%=1'

TTTT

由题意知a=2,则£=勺,

•.然亭芋

(4)u=xyz，1(5,1,2),々(9,4,14),/=P0Pr

_412

/=(4,3,12),.•./°

13，13，13

_.4,_.3_.1298

2*——+10*—+5*—

部131313T3

2.求下列函数的梯度grat"

(1)f(x,y)=sin(/y)+(cos(盯2)；

解：—=cos(x2y)*(2xy)-sin(xy2)*y2,

dx

—=cos(x2y)*x2-sin(孙2)*(2xy),

办

.二gradf=(2xycos(x2y)-y2sin(x)?2),x2cos(x2>0_2xysin(xy,2))

X

⑵〃x,y)=2ey

X

XX

1-

解十7—"(I-2),

=(-4>+~e^~

XXyxX

笠」3+乙"一专=）/」）

dyxxyxy

XXxy

3.一个登山者在山坡上点（一3,-1，）处，山坡的高度Z由公式z=5—%2-2y2近似，其

24

中x和y是水平直角坐标，他决定按最陡的道路上登，问应当沿什么方向上登。

dz

解:-2x33=3,

(W七)

dz

--44=-4）'33=4

力仁》七）

按最陡的道路上登，应当沿（3,4）方向上登。

4.解：—=y(l-y)(l-2x),—=x(l-x)(l-2y)

oxoy

沿方向一g%"|(u)=(_g「±)

5.解:设路径为y=/(x),在点(x,y)处g4/T=(-2x,-8y)

y=/(x)在(x,y)点的切向量为T=(L*)

,/gradT平行于切向量r匚==>y=ex4

-2x-Sy

因为过(1,2),；.y=—2/

JQ<1-5

1、求曲线x=—L,>名=户在对应于r=l点处的切线及法平面方程。

l+tt

解：当f=l时，x⑴=；,y⑴=2,z⑴=1,

二I'Z1\'Z1X,f1,(1+0-1•fQ+l).>f11-、

T।={x⑴,y⑴,z⑴}={------------，----o---，2f}={-,-1,2}

(2)(1+疗厂I4

故所求切线方程为：皆二宁勺，即：-=f=平

法平面方程为：-(x--)-(y-2)+2(z-l)=0即：2x-8y+16z=l

42

2、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

、，+y2=2..

(1),2在点(LU)

[y2+Z2=2

解：将方程两端对x求导，得

2x+2心=0dy_x

dxdxy

在川(1,1,1)处T=(l,—1,1)

2#+2z包=0dz_x

dxdxdxz

故所求的切线方程为：x-l=3=z-1

法平面方程：x-y+z=\

…+/=6在点(卜2,1)

(2)4

x+y+z=0

解法1：将方程两端对x求导，得

-+2z•生=0dydz

2x+2yy,—1—Fz----—x

dxdxdx

.dydydz1

1+—+=0-4--=-l

dxdxdx

V7

当/=]]=y-xw0时，有

dy_l-xZ_Z-Xdz_Iy-xx-y

瓦一7'-iIy-zVTy-z

Idy_dz

：.T={1,0-1)

(l，-2,1)'dx’dxy-z

(1-2,1)(1.-2J)

x—1z—1

故所求的切线方程为：二丁=一厂

y+2=0

法平面方程：-(x-l)+0-(y+2)+(z-l)=0即：x-z=O

Ixdx+2ydy+2zdz=0

解法2：将方程组两端求微分：得

dx+dy+dz-0

，曲线在点(1,-2,1)处的切向量为

3.(题略)

V1I

解：(1)令F(x,y,z)=arctg--z,Ft(/^)=,F、.(鸟)=一,工(与)=-1,曲面在点

x22

P0的切平面方程为：-；(x—l)+g(y—l)+(—l)(z—?)=O,即：X-y-2z-|=0；

7171

法线方程为：二■=、P=一生，即：—=^=一生；

_21-11-12

~22

y

(2)令F(x,y,z)=z-y-ln—

z

贝1|产<=一,，F=-1,F,=1+—

*x'z名

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：»={-1,-1,+2}

故所求的切平面方程为:(-l).(x-l)+(-l)-(y-l)+2(z-l)=0BP：x+y-2z=0

法线方程为：3=2二1=七1

-1-12

xy_

::

(3)令F(x>y,z)=2+2-8,Fx(7^)=4In2,Fy(f；,)=-4In2,F.)=-

161n2,曲面在点P0的切平面方程为：41n2(x-2)-41n2(y-2)-161n2(z-1)=0,

x-2_y-2_z-1即:一号弓

即:x-y-4z=0,法线方程为:

41n2-41n2--161n2

.dz1dz1一I，工1JJL、

4、w：,,,—=-----,—=-----

dxx+ydyx+y。2)x+yx+y(i2)33

又•.•抛物线V=4x在(1,2)点处的切线斜率为：处

=1

dx(1,2)

，抛物线V=4x在（1,2）点处偏向x轴正向的切线方向为〒=11,空>={1,1}

.dx（|,2）

11

T°=

172972；

azJi1]11\\叵66

故所求的方向导数为:落.J行寸i万正尸石+工一?

i）A1-6

1（题略）.

解：由3=4-2%=0,g=-4-2y=0,有x=2,y=-2,即P0（2,-2）为f（x,y）的驻点,

oxdy

又¥=-2,息=。，?=-2,D（P。）=4>0,*（综）=一2

dxdxdydydx

故P0（2,-2）为心》）的极大值点，其极大值为f（2,-2）=8.

2（题略）.

更

&=3?-6y-3940f2_

角

S由

T<有X,驻点：（5,6）和（1,-6）

=2y-6x+18含0l〉-3x+9=0

⑪

•斗6xd2f

dx2dxdy

*6广6.2-（巩）=3-36腹）=24>0,而韶=6〃=3。

1（5,6）

...f（x,y）在点（5,6）取得极小值y（5,6）=-88

又,:纵一=6》.2一（-6儿一=g_36）『）=—24<0

I.f（x,y）在点（1,-6）不取得极值

3、求z=--V在闭区域V+4244上的最大值和最小值

一

=0

=2x

由I

ax

)

点(0,0

唯一驻

,得

&

?­:

-

-0

--2y

0

㈠』)

…

4-5y

f=

=x

上，z

+y』

圆5

即椭

"—

界x

在边

又•.•

_

点：

,得驻

，)=0

5)

由d(4

u)

(

Oe

y=

dy

0,1)

)(

(0,-1

)