比例式和等积式的证明-

比例式和等积式的证明 从一道课本题的解题反思和探究中提高解题能力关键词：比例式反思探究规律内容提要：比例式和等积式的证明中，如何找比例式是难点。利用A型图和X型图寻找比例式比较容易比例式和等积式的证明是初中平面几何题型中一类重要题型。其中等积式可以转化成比例式，因此主要是比例式的证明。许多学生看到题后都不知道从何入手，用什么方法证明。笔者从一道课本上的习题的反思和探究中总结出了一些方法。如何提高数学解题能力，有许多因素。不少的学生采用“题海战术”来提高解题能力。“题海战术”固然在一定程度上可以提高解题能力，但这是“事倍功半”。而解题过程中和解题后的“反思和探究”能达到“事半功倍”的效果。那什么是“解题的反思和探究”呢？也就是解答一道题的前后，进行如下一些思考：命题是考查我们哪些知识点？哪些概念、公式、定理，以及它们的应用？命题有无其他的思路和其他的解法？能否一题多解？哪一种更简捷？命题能否有规律可循？能否举一反三？多题一解？许多学生是单纯地做题，不会过多地去思考和分析。再加上老师在指导和训练上的欠缺，没能形成良好的解题习惯。在农村中学中，这种情况尤为突出。分析过程是解数学题的一个必要环节，解题的反思和探究包含了分析过程。分析就是人们在思维活动中把研究对象由统一整体分解为它的各个组成部分，即把一个复杂的事物分解成简单的部分或要素，并对它的各个部分或各种要素分别进行研究，揭示出它的属性和本质，从未知追述到已知的思维过程和研究方法。对于解数学题不仅仅是这种逆行过程。解数学题的分析还可以从已知到未知顺势分析。也可以从两边同时分析，从中找到共同点。另外，分析应把以前的经验和方法应用到解题过程中。九年义务教育三年制初中〈〈几何〉〉第二册第222页B组第一题：AABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB于点D，交边CA的延长AD线于点E，父边BC于点N，求证：——ABAE一ACE/\解题过程：/Z\A一.作图：（图1）//7\二.分析：%''\1.平时做题不能简单地做出来了事，而应该多思b/ ； \C考多分析。把此类题型的思路和方法再想一遍。N M比例式的证明方法和步骤有口诀可依：“一现二找三代四辅” （图1）⑴.“一现”：现成的等积式分两种：•直接用等积式来证明。如射影定理、相交弦定理、切割线定理及推论、面积法。把等积式转变成比例式。⑵.“找”：

.利用“三点定位法”找三角形相似。.利用平行线分线段成比例。⑶.“三代”：（分四种）①等量代换，②等比代换，③等积代换，④综合性代换。⑷.“四辅”：利用辅助线，构造出“一现二找三代”，其中辅助线以平行线居多。本题是比例式，其中口诀“一现”不是，用“二找”需证明△ADE-AABC，而两个三角形一个是钝角三角形，一个是锐角三角形，很明显不相似。那只有用“三代”，如何代换是许多同学都感到很棘手。我们来反思：⑴.本题有中点，那么可能有等量代换或中位线可以讨论。⑵.本题有平行线，那么可能有平行线的性质，有三角形相似或平行线分线段成比例问题。⑶.本题证明比例式，那么很有可能是考查相似和平行线分线段成比例。打草稿：（基础好的可以打腹稿，一般的同学应写在草稿上）AD AE七 ?-» TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"AB ACII II卜只需证BM=MC，而这是已知，此题得证。MN MN » BM MC」ND//AM证明（略）归纳总结是解题后的反思和探究的必然结果。是从个别到一般总结规律的过程。归纳总结就是通过对一些个别的经验事实和感性材料进行概括和总结，从中抽象出一般性结论、原理、公式或原则的一种逻辑思维和推理方法，从一些个别性的前提推出一般性结论。在等比代换中，如何快速罗列比例式，然后从中代换？本题的线段少，容易想到。如果线段多了呢？证明比例式有口诀，那么找比例式有没有什么特殊的方法？经过反思和探究，找比例式有如下图形作为比例式的基本图形：1.A型（或者叫重三角型）：条件DE//BC。（图2）⑴.DE//BCn△ADEs^ABCn小三角形=竺=竺=DE大三角形ABACBC⑵.平行线分线段成比例（口诀）:DE~AE上上—AD_AE下_下_DB下一下一~D^~Ec；±=±=~ADDE~AE上_上_A^_AE全_全_AB_AC全=全=~AB—AC；±=上=AD—~AE

下下—DBEC全_全_A^AC全一全一~AB—AC；下一下—DB—EC上全下全 —::—:—上全下全2.X型（或者叫叉叉型）：条件是DE//BC。（图3）（1）.同1.（1）（图2）（图2）（图3）. . AD上题如果用这两种类型的图形，很容易找到比例式。求证的左边AD属于AAB型（图4），右边也属于A型（图5）。（图（图5）MN MN ?-» BM MC把归纳总结出的一般性结论加以演绎应用，由一般到个别，从而解决一系列的数学题。这种找比例式所用的A型和X型，能否作为一种思路和解法或规律？举一反三，多题一解？下面我们用这种寻找比例式的方法来证明其他题。例如九年义务教育三年制《几何》第255页的18题：如图，BD=CE，求证AC*EF=AB*DF（提示：过点D作。6//人。，交BC于G）（图6）1.⑴分析：已经提示了，因此很简单。但是没有提示那么又怎么办？我们用A型和X型来找比例式，看能否较快地解决问题？

C（图6）（图8）（图7）用“一现”行不通，再化成比例式¥ABEF用“三代”就要找左右两边的比例式。这里没有平行线，因此不可能有AC（图6）（图8）（图7）用“一现”行不通，再化成比例式¥ABEF用“三代”就要找左右两边的比例式。这里没有平行线，因此不可能有A型和X型。吗？但构造又要尽量与已知所求证的线段相联系。AC④.从左边的一一不好构造，因为AC和AB不在同一条线上，而DF和EFAB在同一条线上，所以从右边构造。线段EC是已知"BD=EC”中的，而EC又和DF右边虬中的线段DF和EF直接相联接，所以我们作线段EC的平行线DG父EFDF用“二找”也行不通。那么，我们不可以构造BC于点G，构造出A型（图8）：得到大三角形=DF=竺。同时得到另一小三角形EFEC个A型（图7）：得到大三角形=一一=四n一一DG

小三角形DGBDABBD⑤.要证AC=竺只需证DG=DG，只需再证明BD=EC了。而BD=ECABEFECBD是已知，所以可以得证。⑵.草稿:AC*EF—AB*DFIYJAC?）DFABEFAC//DGW大=AC=AB5

小DGBD大IIu大uAC//DG小竺〜丝BDECJ这是已知，此题得证。2.证明（略）。题多解？难道本题只有构造A题多解？难道本题只有构造A型了吗？能构造X型DF，同样从左边不好构造，那么我们从右边试一试。DF，同样从左边不好构造，那么我们从右边试一试。先化成比例式^^ ABEF同样DF和EF在同一线上，又与已知中的EC直接相联接，因此，我们作CF的平行线交AC于点H,构造出X型（图10）：得到全=D-=竺，同时得到A下EFEC型（图11）:得到全=下nAC=匹，因此只需证竺=匹，再需证明全下ABBD ECBDBD=EC，这是已知，所以得证。（图9） （图10） （图11）因此，在比例式和等积式的证明中，利用口诀“一现二找三代四辅”来分析就有了切入点。其中，要代换的比例式的寻找，用A型和X型（现