模拟低通巴特沃斯滤波器

《数字信号处理》课程设计报告设计课题 模拟低通巴特沃斯滤波器专业班级 姓名 学号 报告日期 2012年11月

《数字信号处理》课程设计任务书题目滤波器设计与实现学生姓名斗口 专业班学号 级设计内容与要求一、 设计内容：1设计个模拟低通巴特沃斯滤波器，技术指标：通带截止频率5KHz，通带最大衰减3dB；阻带起始频率10KHz，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。二、 设计要求1设计报告一律按照规定的格式，使用A4纸，格式、封面统一给出模版。2报告内容（1） 设计题目及要求（2） 设计原理（包括滤波器工作原理、涉及到的matlab函数的说明）（3） 设计内容（设计思路，设计流程、仿真结果）（4） 设计总结（收获和体会）（5） 参考文献（6） 程序清单起止时间2012年12月3日至2011年12月11日指导教师签名2011年12月2日系（教研室）主任签名年 月日学生签名年 月目录TOC\o"1-5"\h\z1课题描述 1\o"CurrentDocument"1.1报告介绍 12设计原理 12.1滤波器的分类 1\o"CurrentDocument"2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理 1\o"CurrentDocument"2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下 2\o"CurrentDocument"2.3函数说明 3buttord函数 3butter函数 4\o"CurrentDocument"2.4模拟低通滤波器的性能指标 5\o"CurrentDocument"3设计内容 6\o"CurrentDocument"3.1MATLAB简介 6\o"CurrentDocument"3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤 6\o"CurrentDocument"3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真 6\o"CurrentDocument"4实验结果分析 8\o"CurrentDocument"5实验心得体会 8\o"CurrentDocument"程序清单 8\o"CurrentDocument"参考文献 91课题描述1.1报告介绍模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有多种典型的滤波器供我们选择，如巴特沃斯(butterworth)滤波器，切比雪夫(chebyshev)滤波器，椭圆(ellipse)滤波器，贝塞尔(bessel)滤波器等。这些滤波器都有着严格的设计公式，现成的曲线和图表供设计人员使用，而且所设计的系统函数都满足电路实现条件。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降到幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在带通或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。设计时，根据具体要求选择滤波器的类型。2设计原理2.1巴特沃斯低通模拟滤波器的设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|ha(j)2用下式表示：|Ha(j)2=——1——c公式中，N称为滤波器的阶数。在。=0时，|Ha(j。)|=1;Q=Qc时，|Ha(jq)|=1/・J2，Qc是3dB截止频率。在Q=Qc附近，随。加大，幅度迅速下降。幅度特性与。和N的关，N越大，通带越平坦，过渡带越宽，过渡带与阻带幅度下降的速度越快，总是频响特性与理想低通滤波器的误差越小。以s代替j。,将幅度平方函数|ha(j)2写成s的函数：Ha(S)Ha(-S)= 1——1( )2Nj复变量S=6+jQ，此公式表明幅度平方函数有2N个极点，极点Sk用下公式表示:-1 12U1、Sk=(—1)2N(jQ)=Q5顶2+2N)公式中K二0,1,2……，2N-1。2N个极点等间隔分布在半径为Qc的圆上，间隔是兀/Nrad。为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取S平面左半平面的N个极点构成Ha(S),而右半平面的N个极点构成Ha(-S)。Ha(S)的表达式为Ha(S)=QcN:忙1(S-Sk)k=0设N=3,极点有六个，它们分别是S0=Qe3 S1=-Qc S2=Qe一j3.皿 ,1XS3=Qe一j3 S4=Qc S5=Qe3取S平面的左半平面的极点S0,S1,S2组成系统函数Ha(S),即Qc3Ha(S)= .2 .2(S+Qc)(S—Qcj3n)(S—Qc-j3n)由于不同的技术指标对应的边界频率和滤波器幅频特性不同，为使设计公式和图表统一将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用对3dB截止频率Qc归一化，归一化后的系统函数为CC令P=n+j^=s/Q,X=Q/Q，入称为归一化频率，P称为归一化复变量，这样的巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为k=0公式中，P 称为归一化极点，用下公式表示，kMQC.12k+1、P=ej(2+2n) k=0,1,…，N-112k+1 ... _.这样，只要根据技术指标求出阶数N,按照Pk=ej(2+2N)公式求出N个极点，再

按G(p)=―1—得到归一化低通原型系统函数Ga(p)，如果给定Qc,再去“疗‘(P-P)kk=0归一化，即将p=^，代入G(p)中，便可得到期望设计的系统函数Ha(S)。O 。C2.2低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：根据技术指标。,a,。,a,用人=―sk=,、 N= PPssspOspv10a/10—1 1g人P sp求出滤波器的阶数N。-、一一 12k+1、 .一. ..按照p广e%+2n) k=0,1,…，N-1公式求出归一化极点pk，将PkPk代入Ga(p)=——-——kk=0得到归一化低通原型系统函数GA(p)。也可根据阶数N直接查表得到pk,Ga(p)。，、- S.将Ga(p)去归一化。将p=S带如G.(p)，得到实际的滤波器系统函数cH(S)=G(p)1工Oc这里Oc为3dB截止频率，如果技术指标没有给出Oc，可以由LO=O(100.1ap-1)-2NO=O(100.1as—1)—2N求出。2.3函数说明2.3.1buttord函数[N,wc]=buttord(wp，ws，Rp，As)用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3dB截止频率wc。其中，调用参数wp，ws分别为数字滤波器的通带、阻带截止频率的归一化值，要求：0WwpW1,0WwsW1(1表示数字频率pi)。当wsWwp时，为高通滤波器；当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。Rp，As分别为通带最大衰减和组带最小衰减(dB)。N，wc为butter函数的调用参数。[N,Qc]=buttord(Qp,Qs,Rp,As,‘s’)用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3dB截止频率Qc。其中，Qp,Qs,Qc均为实际模拟角频率。说明：buttord函数使用阻带指标计算3dB截止频率，这样阻带会刚好满足要求，而通带会有富余。butter函数[B,A]=butter(N,wc,‘ftype’)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子、分母多项式的系数向量B、A。其中，调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3dB截止频率的归一化值(关于兀归一化)，一般是调用buttord(1)格式计算N和wc。系数B、A是按照z-1的升幕排列。[B,A]=butter(N，Qc，'ftype'，'s')计算巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子、分母多项式系数向量B、A。其中，调用参数N和ac分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3dB截止频率(实际角频率)，可调用buttord(2)格式计算N和Qc。系数B、A按s的正降幕排列。tfype为滤波器的类型：Qftype=high时，高通；Qc只有1个值。Qftype=stop时，带阻阻；此时Qc=[Qcl,Qcu],分别为带阻滤波器的通带3dB下截止频率和上截止频率。Qftype缺省时，若Qc只有1个值，则默认为低通；若Qc有2个值，则默认为带通；其通带频率区间Qcl<Q<Qcu。所设计的带通和带阻滤波器系统函数是2N阶。因为带通滤波器相当于N阶低通滤波器与N阶高通滤波器级联。2.4模拟低通滤波器的性能指标

模拟低通滤波器的设计指标有a,Q和a,。，其中Q和。分别称为通带pps s ps边界频率和阻带截止频率。ap称为通带最大衰减([0,Op]中允许A(Q)中的最大衰减系数)，以,是阻带最小衰减(即阻带QN。上允许A(Q)的最小值)，a,和a，一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成:a=10lga=10lgH(j0)|

七(jQ,))|2(2-1)=10lgH(j0)|2

& H(R))=10lgH(j0)|2

& H(R))2(2-2)如果Q=o处幅度已归一化为一，即H(Q)=1,a和a表示为a=—10lgH(jQ)pa=-10lg|Ha(jQ』2(2-3)(2-4)以上技术指标用图2.2表示，图中Q^称为3dB截止频率，因\H(Q)=£,-20\H(jQ)=3dB图2.2低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标ap和a?，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因\Ha(jQ)|2="(a)七(-s)ls部=H(jQ.)H*(jQ) (2-5)如果能由ap,Qp,as,Qs求出%(jQ^，那么就可以求出所需的H(s),对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是Ha(s)必须是稳定的。因此极点必须落在，平面的左半平面，相应的Ha(-s)的极点落在右半平面。这就是由七(S)Ha(-S)求所需要的H(S)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。3设计内容3.1MATLAB简介MATLAB软件包括基本部分和专业扩展部分。基本部分包括:矩阵的运算和各种变换、代数和超越方程的求解、数据处理和傅里叶变换、数值积分等等.专业扩展部分称为工具箱.它实际上是用MATLAB的基本语句编成的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。易扩展性是MATLAB最重要的特点，每一个MATLAB用户都可以成为对其有贡献的人。在MATLAB的发展过程中，许多科学家、数学家、工程技术人员用它开发出了一些新的、有价值的应用程序，所有的程序完全不需要使用低层代码来编写。通过这些工作，已经发展起来的工具箱有控制系统、信号处理、图像处理、系统辨识、模糊集合、神经元网络、小波分析等20余个。如果使用MATLAB来开发光学方面的应用程序，在不久的将来，也可能出现专门用来解决光学问题的工具箱。3.2巴特沃斯滤波器的设计步骤给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率①0或上、下边界频率也,气等。确定滤波器阶数设计模拟低通原型滤波器。按频率变换设计模拟滤波器(低通、高通、带通、带阻)。3.3对巴特沃斯模拟低通滤波器的仿真技术指标：通带截止频率5KHz，通带最大衰减3dB；阻带起始频率10KHz，阻带最小衰减30dB，画出其幅度谱和相位谱。设计程序如下Wp=2*pi*5000;Ws=2*pi*10000;Rp=3;As=30;%设置滤波器参数[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s'); %计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc[B,A]=butter(N,Wc,'s'); %求传递函数k=0:511;fk=0:14000\512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,20*log10(abs(Hk)));gridontitle('巴特沃斯低通滤波器的幅频特性')；xlabel('频率/Hz');ylabel('幅度/db')axis([0,14000,-40,5])subplot(2,1,2);plot(wk,angle(Hk));gridontitle('巴特沃斯低通滤波器的相频特性')；xlabel('频率/Hz');ylabel('相位/rad')巴特沃斯低通滤波器的幅频特性-10-20-30■40QFigure1 I口尽I巴特沃斯低通滤波器的幅频特性-10-20-30■40FileE.ditVievwInsertTuclsDesktopWindowHelp *□涂IS昌O'©«□@□S0 2000 4000 6000 S000 0 2000 4000 6000 S000 10000 12000 J4000频率JHw巴特沃斯低通滤•波器的相频特性420-2频率JHz4实验结果分析技术要求其通带截止频率为5KHZ，通带最大衰减为3dB，阻带起始频率为10KHZ，阻带最小衰减30dB,画出其幅度和相位图。由幅频曲线和相位曲线可以看出，巴特沃斯滤波器拥有最平滑的频率响应，在截断频率以外，在阻带中响应为0。在截断频率处有3dB的衰减。巴特沃斯滤波器除了具有单调平滑递减的频率响应的优点之外，其过渡带的陡峭程度正比于滤波器的阶数。高阶巴特沃斯滤波器的频率响应近似于理想低通滤波器。5实验心得体会通过这次实验，明白了数字滤波器的基本概念，即指输入，输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。了解数字滤波器的分类，技术指标。知道模拟滤波器的简单设计方法，简单运用巴特沃斯滤波器，它具有单调下降的幅频特性。模拟低通滤波器的设计指标参数有。，a,。,a。掌握巴特沃斯低通滤波器的设计原理，即根据设计指标求阶数N和的B截止频率Q的过程。了解如何MATLAB工具函数设计巴特沃斯滤波器。 c通过这次数字信号处理课程设计，我对教材中所学知识有了更深的理解和认识，教材中的基本定理和原理对我的设计起到了很好的指导作用，同时学习应用了数字信号处理软件Matlab，。通过了解所要编程运行的对象的原理，我学会了熟练运用其基本功能。这次的课程设计对每一个人来说都是一个不断学习，挑战的过程。从一开始看书，上课听老师讲授知识，自己查阅资料，编写运行程序，每一次都是提高自己的过程。让我们将