历年中考数学真题汇编 49 运动变化类的压轴题（含答案解析）

运动变化类的压轴题

年运动变化类的压轴题，题目展示涉及：单一（双）动点在三角形、四边形上运动；在直线、抛物线

上运动；几何图形整体运动问题.知识点涉及：全等三角形的判定与性质；特殊四边形形的判定和性质；圆

的相关性质；解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质.数学思想涉及：分类讨论；数形结合；方程思

想.解答这类问题的关键是正确分类画出直观图形.现选取部分省市的年中考题展示，以飨读者.

一、单动点问题

【题1］（年江苏徐州第28题）如图，矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4aw,点E从点A出发，沿射线

移动，以CE为直径作圆。，点尸为圆。与射线BC的公共点，连接EF、CF,过点E作EGLEF,EG

与圆0相交于点G,连接CG.

（1）试说明四边形EFCG是矩形；

（2）当圆0与射线80相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，

①矩形E/CG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；

②求点G移动路线的长.

【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切

线的性质；相似三角形的判定与性质.

【专题】：压轴题；运动变化型.

【分析】：（1）只要证到三个内角等于90。即可.

（2）易证点。在。。上，根据圆周角定理可得从而证到根据相似三角

形的性质可得到以舷ABO=2SKF『"一.然后只需求出CF的范围就可求出S做的范围.根据圆周角

4

定理和矩形的性质可证到/GDC=/FZ）E=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起

点与终点，求出该线段的长度即可.

【解答】：解：（1）证明：如图1,

：CE为。。的直径，

；.NCFE=NCGE=90°.

VEG1EF,

，NFEG=90°.

：.ZCFE=ZCGE=ZFEG=90°.

...四边形EFCG是矩形.

(2)①存在.

连接00，如图2①，

•.•四边形ABCD是矩形，

：.ZA=ZADC=90°.

•.•点0是CE的中点，

：.OD=OC.

...点。在。。上.

ZFCE=ZFDE,ZA=ZCFE=90°,

'./\CFE<^/\DAB.

.SACFE_("2.

^ADABDA

'：AD=4,AB=3,

：.BD=5,

S4CFM(5^)"SADAB

4

=CF_XAX3X4

162

,3CF2

一"

8

二・S矩形ABCD=2SACFE

=3CF£

4

・・•四边形EFCG是矩形，

J.FC//EG,

:・NFCE=NCEG.

•:NGDC=NCEG,NFCE=NFDE,

：.ZGDC=ZFDE.

,/ZFDE+ZCDB=90°,

：.NGOC+NCOB=90。.

ANGDB=90。

I.当点E在点A(£)处时，点/在点3(尸)处，点G在点O(G处，如图2①所示.

此时，CF=CB=4.

II.当点F在点、D(F”)处时,直径产'GUBD,

如图2②所示，

此时。。与射线8。相切，CF=CD=3.

III.当时，CF最小，此时点尸到达尸"'，

如图2③所示.

S&BCD=^C-CD=1BD>CF"'.

22

.•.4x3=5xC尸”.

：.CF"'=H.

5

.•.乌"W4.

5

4

2

•••ax(工？)<SJE®4BCD^-^X4-.

454

1里WSABCD^12.

25

...矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为您.

25

②^.•NG。C=/尸r>E=定值，点G的起点为O,终点为G”,

，点G的移动路线是线段DG".

VZGDC=ZFDE,ZDCG"=ZA=W°,

：./XDCG"^/\DAB.

•.D•CL”DG”.

DADB

•3_DG〃

45

：.DG"=1^.

4

【点评】：本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合性较强.而发现

NCDG=NADB及4FCE=NADB是解决本题的关键.

【题2】（•湖州第24题）已知在平面直角坐标系xOy中，0是坐标原点，以P（1,1）为圆心的。尸

与x轴，y轴分别相切于点M和点M点尸从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，

连接PF,过点PELPF交y轴于点E,设点厂运动的时间是f秒（f>0）

（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；

（2）在点尸运动过程中，设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示从

（3）作点尸关于点M的对称点尸，经过M、E和尸三点的抛物线的对称轴交x轴于点°,连接QE.在

点尸运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、0、E为顶点的三角形与以点P、例、尸为顶点的三角

形相似？若存在，请直接写出f的值；若不存在，请说明理由.

【分析】：（1）连接PM,PN,运用△PMP也证明，\/^T\

（2）分两种情况①当f>l时，点后在〉轴的负半轴上，0〈在1时，点E在

y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，一~~

（3）分两种情况，当1</<2时，当r>2时，三角形相似时还各有两£/种情

况，根据比例式求出时间八

【解答】：

证明：（1）如图，连接PM,PN,

♦..（DP与x轴，y轴分别相切于点M和点N,

C.PMLMF,PN10N且PM=PN,

：.ZPMF=NPNE=9Q°旦/NPM=90°,=PEA.PF,

NNPE=NMPF=90°-NMPE,

'/NPE=NMPF

在△PMF和△2可£中，<PN=PM，•••△R

,ZPNE=ZPMF

:.PE=PF,

(2)解：①当01时，点七在y轴的负半轴上，如图,

由(1)得/\PMFmAPNE,:・NE=MF=t,PM=PN=\,

：.b=OF=OM+MF=Ut,a=NE-ON=t-1,

:.b-Q=1+L(r-1)=2,/.b=2+a,

②0〈也1时，如图2,点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证丝△2八£：,

:.b=OF=OM+MF=l+t,a=ON-NE=\-t,

b^a=1+r+1-1=2,

/.h=2-a,

(3)如图3,(I)当1W2时,

VF(1+r,0),尸和尸关于点〃对称，

：.Fr(1-t,0)

;经过M、E和尸三点的抛物线的对称轴交x轴于点。,

：.Q(1--lr,0)：.OQ=\-

由(1)得APMF注APNE

：.NE=MF=t,：.OE=t-1

当△OEQs△MPF：.O^OQ.-.七-1二____i_,

MPMF1t

解得，仁上叵，当△OEQS/XMFP时，.•.里

4MFMP

t-11~'9tr-

三工一2_,解得，/=&，

t1

(II)如图4,当f>2时，

'：F(1+r,0),F和尸关于点M对称，

：.F'(1-r,0)

•经过M、E和斤三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,

：.Q(1--It,0)：.OQ^-1,

由(1)得APMFgAPNE；.NE=MF=t,：.OE^t-1

当△OEQs△MPF.•.空第.•.t-1=2---,无解,

MPMF1t

当△OEQS^MFP时，OLOQ,-lzl=2-----解得，r=2±&,

MFMPt1

所以当片1+五工4近,仁2土扬f,使得以点Q、。、E为顶点的三角形与以点尸、用、尸为顶点的三角

形相似.

【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出

线段关系.

【题3】(年四川省绵阳市第24题)如图1,矩形ABCQ中，AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠，

使点B落在点E处，AE交CD于点、F,连接。E.

(1)求证：△力EC四△ED4；

(2)求DF的值；

(3)如图2,若P为线段EC上一动点，过点尸作△人£(7的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点

M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值.

【考点】：四边形综合题.

【分析】：(1)由矩形的性质可知△AOC丝△CE4,得出AZ)=CE,DC=EA,ZACD=ZCAE,从而求

得△OEC四

(2)根据勾股定理即可求得.

(3))有矩形PQMN的性质得产。〃C4,所以居里，从而求得尸。，由PN〃EG,得出里里1求得

CECACEEG

PN,然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得.

【解答】：(1)证明：由矩形的性质可知丝△CE4,

：.AD=CE,DC=EA,ZACD=ZCAE,

在AADE与ACED中

'AD=CE

<DE=ED

,DC=EA

:.ADEC必EDA(SSS)；

(2)解:如图1,VZACD=ZCAE,

：.AF=CF,

设。F=x,则AGCFM-x,

在RTZ\A£＞尸中，AET+D^AF1,

即32+X2=(4-x)之，

解得；x=l,

8

即DF=1.

8

(3)解：如图2,由矩形PQMN的性质得PQ〃C4

-PE_PQ

,'CE=CA

又•••CE=3,AC=«^^=5

设PE=x(0<x<3),则&M，即P。=至丫

3~53

过E作EGVAC于G,则PN//EG,

；CP,PN

CEEG(

又：在R4EC中，EG・AC=AE・CE,解得EG*

5

...3-K聿,即PN=9(3-x)

3125

5

设矩形PQMN的面积为S

2

贝I］S=PQ・PN=-&2+4x=-'(x-W)+3(0<xV3)

352

所以当x=E即PE=①寸，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3.

22'

【点评】：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理.

【题4】(年浙江绍兴第25题)如图，在平面直角坐标系中，直线/平行x轴，交y轴于点A,第一象

限内的点8在/上，连结。3,动点P满足/APQ=90。，PQ交x轴于点C.

(1)当动点P与点8重合时，若点B的坐标是(2,1),求以的长.

(2)当动点P在线段。8的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求以：PC的值.

(3)当动点尸在直线0B上时，点。是直线0B与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若

ZACE=ZAEC,PD=20D,求BA：PC的值.

【考点】：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质：等腰三角形的判定与性质；勾

股定理；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质.

【专题工压轴题.

【分析】：（1）易得点P的坐标是（2,1）,即可得到血的长.

（2）易证NAOB=45。，由角平分线的性质可得%=PC,然后通过证明△ANPgA.CMP即可求出附：PC

的值.

（3）可分点尸在线段0B的延长线上及其反向延长线上两种情况进行讨论.易证出：PC=PN：PM,设

OA=x,只需用含x的代数式表示出PN、PM的长，即可求出B4：PC的值.

【解答】：解：（1）••,点P与点B重合，点8的坐标是（2,1）,

...点P的坐标是（2,1）.

'.PA的长为2.

（2）过点2作/5^，》轴，垂足为过点尸作PN，），轴，垂足为M如图1所示.

•••点A的纵坐标与点B的横坐标相等，

：.OA=AB.

,：ZOAB=90°,

：.ZAOB=ZABO=45°.

,：ZAOC=90°,

：.NPOC=45。.

：PM_Lx轴，PN_Ly轴，

，PM=PN,ZANP=ZCMP=90°.

：.NNPM=90°.

ZAPC=90°.

：.NAPN=900-ZAPM=ZCPM.

在△?1可2和△CMP中，

♦：NAPN=NCPM,PN=PM,NANP=NCMP,

：.AANP^ACMP.

".PA=PC.

：.PA：PC的值为1：1.

(3)①若点P在线段08的延长线上，

过点P作尸轴，垂足为M,过点P作PN_Ly轴，垂足为M

与直线AC的交点为凡如图2所示.

VZAPN=ZCPM,NANP=NCMP,

...△ANPsaCMP.

•••PA_PN一.

PC-PM

,/ZACE=ZAEC,

：.AC=AE.

VAP±PC,

：.EP=CP..

・・・PM〃y轴，

：.AF=CF90M=CM.

工FM=loA.

2

设0A=x9

9：PF//OA,

:•△PDFSRODA.

・PFPD

^OA=OD

YPD=20D,

：.PF=2OA=2xfFM=XK.

2

・・・PM:球.

2

VZAPC=90°,AF=CF,

：.AC=2PF=4x.

•/NA0090。，

**.oc=VT^.

NPNO=NN0M=N0MP=9。。,

・・・四边形PMON是矩形.

:・PN=OM=痣

2

：.PAzPC=PN：PM-痣旦a运

225

②若点尸在线段OB的反向延长线上,

过点P作轴，垂足为M,过点P作PNLy轴，垂足为N,

PM与直线AC的交点为F,如图3所示.

同理可得：PM=^x,C4=2PF=4x,OC=m.

2

22__

.'.PA：PC=PN：鼠名A运

223

综上所述：PA：PC的值为Y运或退.

53

【点评】：本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的

判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线等分线段定理、勾股定理等知识，综合性非常强.

【题5】(•无锡第28题)如图1,已知点A(2,0),B(0,4),NAOB的平分线交AB于C,一动点

P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点3作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x

轴于Q,作尸、。关于直线OC的对称点M、N.设尸运动的时间为f(0V/V2)秒.

(1)求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标(用含f的代数式表示)；

(2)设与△。48重叠部分的面积为S.

①试求S关于f的函数关系式；

②在图2的直角坐标系中，画出S关于f的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值;

若没有，请说明理由.

【考点】：相似形综合题

【分析】：(1)如答图1,作辅助线，由比例式求出点。的坐标；

(2)①所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论.

答图2-1,答图2-2表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解;

②画出函数图象，由两段抛物线构成.观察图象，可知当仁1时，S有最大值.

【解答】:解：(1)如答图1,过点C作CFLx轴于点F,CELy轴于点E,

由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为x.

；CE〃x轴，

...至g,即自二2二，解得49.

OB0A423

.•.C点坐标为(£4；

33

'."PQ//AB,

...OP0Q,即OP_0Q,

・•丽荻、石下，

・•.0P=20Q.

VP(0,2力,

：.Q(r,0).

・・•对称轴OC为第一象限的角平分线，

・••对称点坐标为：M(230),N(0,t).

S»CMN=S四边形CMON-S»OMN

-(SacO/w+SacON)-SAOMN

-

23232

=-*+2%

当l〈fV2时，如答图2-2所示，点M在。A的延长线上，设MN与AB交于点D则

重叠部分面积为SACDN.

设直线MN的解析式为产区+人将M⑵，0)、N(0,r)代入得［2tk+b=°

Ib=t

k=-l

解得43

b=t

y=--x+t\

2

同理求得直线AB的解析式为：y=-2x+4.

联立y=--ir+r与）=-2x+4,求得点D的横坐标为_—

2

SACDN=SABDN-SABCN

=1(4-f)»8-2t-1(4-r)xJ

2323

J?-2t+—.

33

-t2+2t(0<t<l)

综上所述，s=<

^t2-2t+1(l<t<2)

LJJ

②画出函数图象，如答图2-3所示:

观察图象，可知当片1时，S有最大值，最大值为1.

【点评】：本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、

动点问题函数图象等知识点.难点在于第（2）问，正确地进行分类讨论，是解决本题

的关键.

【题6】（•杭州第22题）菱形4BCO的对角线AC,8。相交于点O,AC=4我，80=4,动点P在线

段BD上从点B向点D运动，PF1AB于点F,四边形PFBG关于BD对称，四边形与四边形PEBG

关于AC对称.设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为&,未被盖住部分的面积为&，BP=x.

（1）用含x的代数式分别表示S”S2；

（2）若Si=Sz，求x的值.

C

【考点】:四边形综合题；菱形的性质；轴对称的性质；轴对称图形；特殊角的三角函数值.

【专题】:综合题；动点型；分类讨

【分析1(1)根据对称性确定E、F、G、H都在菱形的边上，由于点尸在80上与点P在。。上

求和的方法不同，因此需分情况讨论.

SS2

(2)由$=$2和S|+S2=8我可以求出S=S2=4代.然后在两种情况下分别建立关于x的方

程，解方程，结合不同情况下x的范围确定x的值.

【解答】:解：（1）①当点P在8。上时，如图1所示.

••,四边形ABCQ是菱形，AC=4-/3'BD=4,

：.AC±BD,BO=1SD=2,A0=1AC=2-JS，

22

且Sg®ABCD=^D'AC=8

tanZABO=^=\Ti.

BO

・・・ZABO=60°.

在RfABFP中,

VZBFP=90°,ZFBP=60°fBP=x,

：.sinZ网尸=胆胆5山60°=立.

_BPx2

：.FP=J^x.

2

:.BF=±.

2图1

四边形PFBG关于BD对称，

四边形QE£W与四边形PEBG关于AC对称,

S^BF产SABG产S*DE（^S&DHQ,

S।=4SABFP

=4xlx返.工

222

=近2

：.S2=SyJs-亨x?

②当点P在0。上时，如图2所示.

：AB=4,BF=当

2

：.AF=AB-BF=4-三

2

在RfZSAFM中,

,/ZAFM=90°,ZFAM=30°,AF=4-

2

：.tanZ以用=里.30°=返

AF3

：.FM=^.（4-工）.

32

2

J（4-义）•亚（4-X）

2232

=立（4-工）2.

62

,/四边形PFBG关于BD对称,

四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称,

••SAAF产SAAEM=S&CKN=S4CGN-

•*-S2=4-S&AFM

=4x^1（4-—）2

62

6_

S|=8«-$2=8我-近（X-8）2.

6

综上所述：

当点P在80上时，S=近$2=8a-亚/

22

当点P在。O上时，$=8仃-返（x-8）2,§2=亚（48）2.

66

（2）①当点尸在3。上时，0V立2.

■:SE，S]+S2=8仃

**,S[

；.sk近20百.

2

解得：xi=2&，x2=-2近.

：2&>2,-2&<0,

当点P在B0上时，S|=S2的情况不存在.

②当点尸在0。上时，2〈烂4.

VSi=S2,S|+52=8V3,

•,-52=45/3.

解得：为=8+2粕，©=8-2遍.

：8+2遍＞4,2＜8-2注＜4,

.,.x=8-2A/6.

综上所述：若&=$2，则X的值为8-2遍.

【点评】：本题考查了以菱形为背景的轴对称及轴对称图形的相关知识，考查了菱形的性质、特殊角

的三角函数值等知识，还考查了分类讨论的思想.

【题7】(.福州第21题)如图1,点0在线段A8上，A0=2,OB=1,0C为射线，且N8OC=60。.动

点户以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动.设运动时间为r秒.

(1)当t=］时，则OP=▲,S4ABP=▲；

(2)当△ABP是直角三角形时，求f的值；

(3)如图2,当AP=A8时，过点A作4Q〃BP,并使得NQOP=/B,求证：APBP=3.

d

d/0

SI,用图®2

【考点】：1.单动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.相似三角形的判定和性质;

5.分类思想的应用.

【答案】(1)1,—:(2)1秒或、秒;(3)证明见解析

48

【解析】

试题分析：(1)由速度乘时间等于路程可得8的值;根据N30CY丁可求得aAB?的高，从而求得△»?

的面积.

(2)分N3?A，9r和两种情二月论断

(3)过点。作。三〃A?,交3?于点三，消上证明AyA-j二？和403三saA32,可以得到空■.经

EOEP

和匹•匹•日・1，即可证您结果.

APBPBA3

试题解析：(1)当t=L时，则O?=2XL・)

22

•「NBOCYtr,「.△AB?的高为立

2

/

又TACK,03=1,ASi.,p=lx(2+l.x-^=22Z

皿224

(2)上A3?是直角三角形，有两种情工：

①N3?A=9。：，此时0?=二03V,t=-i

(3)'：AP=AB,:.NAPB=NB.

如图，过点0作0三〃A?,玄3?于点二贝IJNCF3=NA?3=N3.

.,.ZQA3-Z3=180:.

又•.•N3-N3=1SO,，.,.^3=ZQA3.

又,.,NAOC=N2+NB=N1+/3P,Z^U?=Z3./.Z1=Z2..,.△QAO^AOEP.

二些=些，即AQEP=2AO.

EOEP

.OEBEBO13

CE=3AP=,,BPJEF.

.APBPBA32

333

AQ-BP=AQ-EP=-.ACOE=-x2x1=3

222

【题8】(•成都第28题)如图，已知抛物线产X(x+2)(x-4)(人为常数，且Q0)与x轴从左至右

8

依次交于A,B两点，与x轴交于点C,经过点B的直线产-逅+6与抛物线的另一交点为D

3

(I)若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P

为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

(3)在(1)的条件下，设尸为线段8。上一点(不含端点)，

连接AF,一动点M从点4出发，沿线段AF以每秒1个单位

的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到

。后停止，当点Z7■的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【考点】：二次函数综合题.

【分析】：(1)首先求出点A、3坐标，然后求出直线的解析式，求得点。坐标，代入抛物线解

析式，求得上的值；

(2)因为点P在第一象限内的抛物线上，所以NABP为钝角.因此若两个三角形相似，

只可能是△ABCs^APB或△ABCS/SA8P.如答图2,按照以上两种情况进行分类讨论,

分别计算；

(3)由题意，动点M运动的路径为折线AF+QF,运动时间：t=AF+lDF.如答图3,作

2

辅助线，将AF+1DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点,

2

即为所求的尸点.

【解答1解：(1)抛物线y=X(x+2)(x-4),

8

令)=0,解得x=-2或44,(-2,0),B(4,0).

•.•直线广-亭:+/，经过点8(4,0),

-返＜4+反0,解得

33

直线3。解析式为：尸-返+延.

33

当4-5时，产3«,：.D(-5,3回.

:点、D(-5,373)在抛物线产乂(x+2)(x-4)上，

8

.•.上(-5+2)(-5-4)=3百，

8

9

(2)由抛物线解析式，令产0,得产，C(0,-k),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以NABP为钝角.

因此若两个三角形相似，只可能是△ABCSA"8或△A8CS/\A8P.

设P(x,y),过点P作PNLx轴于点N,则ON=x,PN=y.

tanZBAC=tanZPAB,即：—-~~；.>=&+%.

2x+22

：.D(x,4+k),代入抛物线解析式产X(x+2)(x-4),

2-8

得上(x+2)(x-4)=耳+鼠整理得：f-6x-16=0,

82

解得：户8或x=2(与点A重合，舍去)，

：.P(8,5k).

'：△ABCs△APB,

.•.空1，明必瓦16

四研6425k2+100

解得：上延.

5

②若△ABCs/MBP,则有NABC=N%8,如答图2-2所示.

与①同理，可求得：k=yf2-

综上所述，仁延或上&•

5

(3)由(1)知：D(-5,3«),

如答图2-2,过点。作Z)N，x轴于点M则£W=3j&ON=5,BN=4+5=9,

：.tan/£>8A=也士叵立，ZDBA=3O°.

过点D作OK〃x轴，则NKOK=NOBA=30°.

过点F作FG±DK于点G,则FG=%F.

2

由题意，动点M运动的路径为折线AF+OF,运动时间：f=AF+』OF,

2

...t=AF+FG,即运动时间等于折线AF+FG的长度.

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.

过点4作于点H,则IMQAH,AH与直线8。的交点，即为所求之F点.

：A点横坐标为-2,直线BQ解析式为：>-=-返+延，

33

"争（一2）+警2仃

：.F（-2,2我）.

综上所述，当点F坐标为（-2,2、右）时，点M在整个运动过程中用时最少.

【点评】：本题是二次函数压轴题，难度很大.第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程

中，解析式中含有未知数%增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中,

运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会.

【题9】（•黄冈第25题）己知：如图，在四边形OABC中，AB//OC,8C_Lx轴于点C,A（l,-1）,

8（3,-I）,动点P从点。出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作尸。垂直于

直线0A,垂足为点Q，设点尸移动的时间r秒（0<f<2）,△OPQ与四边形0A8C重叠部分的面积为S.

（1）求经过0、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；

（2）用含f的代数式表示点P、点Q的坐标；

（3）如果将△0PQ绕着点P按逆时针方向旋转90。，是否存在f,使得△OPQ的顶点。或顶点。在抛物

线上？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由；

（4）求出S与f的函数关系式.

【考点】：二次函数综合题.

【专题】：压轴题.

【分析】：（1）设抛物线解析式为），="2+公（4翔），然后把点A、B的坐标代入求出4、〃的值，即

可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；

（2）根据点P的速度求出OP,即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出NAOC=45。,

然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可;

（3）根据旋转的性质求出点0、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；

（4）求出点。与点A重合时的仁1,点尸与点C重合时的匚1.5,仁2时尸。经过点8,然

后分①0〈也1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②KW1.5时，重叠部分的面积等

于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5<f<2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去

一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解.

【解答】：解：(1)设抛物线解析式为+瓜(“翔)，

把点A(1,-1),B(3,-1)代入得，

a+b=一1

'9a+3b=-1'

抛物线解析式为y=lr2-

-33

\"y=Xx2-^x=—(x-2)2--,

3333

，顶点M的坐标为(2,-W)；

3

(2)..•点P从点。出发速度是每秒2个单位长度，

A0P=2t,

.♦.点P的坐标为(2f,0),

VA(b-1),

ZAOC=45°,

点。到x轴、y轴的距离都是工OP=L<2U3

22

二点。的坐标为(f,-r)；

(3);△OP。绕着点尸按逆时针方向旋转90。，

...旋转后点0、。的对应点的坐标分别为(2r,-2t),(3r,-f),

若顶点。在抛物线上，则L(2r)2-久(2r)=-2t,

33

解得t=l,

2

若顶点。在抛物线上，则L(3f)2-久(3f)=-t,

33

解得r=l,

综上所述，存在片工或1,使得△OPQ的顶点0或顶点。在抛物线上;

2

(4)点。与点A重合时，。尸=1x2=2,z=2+2=l,

点户与点C重合时，0P=3,r=3+2=1.5,

b2时，OP=2x2=4,PC=4-3=1,此时尸Q经过点8,

所以，分三种情况讨论：

①0<芯1时，S=L(2/)X匹上，

22

②1<耳1.5时，S=L(2力x2t-lx(后-&)2=2t-1；

222

③1.5<7<2时，S=L(2+3)xl-lx[l-(2r-3)]2=-2(?-2)2+3

222

\2(0<t<l)

所以，S与r的关系式为S=2t7(l<t<1.5).

-2(t-2)2+-|

【点评】：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的

性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于(4)随着运动时间的变

化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观.

【题1】(年山东烟台第25题)在正方形A8C。中，动点E,F分别从。，C两点同时出发，以相同

的速度在直线DC,CB上移动.

(1)如图①，当点E自。向C,点尸自C向B移动时，连接AE和。尸交于点尸，请你写出4E与。尸的

位置关系，并说明理由；

(2)如图②，当E,尸分别移动到边。C,CB的延长线上时，连接AE和。F,(1)中的结论还成立吗？

(请你直接回答“是"或“否”，不需证明)

(3)如图③，当E,尸分别在边CD,BC的延长线上移动时•，连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗？请

说明理由；

(4)如图④，当E,尸分别在边£>C,CB上移动时，连接AE和。尸交于点P,由于点E,F的移动，使

得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图.若AQ=2,试求出线段CP的最小值.

E

【分析】：(1)AE^DF,AE1DF.先证得△ADEg/XDCE由全等三角形的性质得4E=D凡NDAE=NCDF,

再由等角的余角相等可得AELQF；

(2)是.四边形ABCD是正方形，所以AZXOC,ZADE=ZDCF=90°,DE=CF,所以△ADE0Z\Z)CF,

于是AE=OF,NDAE=/CDF,因为NC£>/+/A£>F=90°,ZDAE+

ZADF=90°,所以AE_LD尸；

(3)成立.由(1)同理可证AE=OF,ZDAE=ZCDF,延长F。交AE于点G,再由等角的余角相等可

得AE_LZ)产：

(4)由于点P在运动中保持/4P0=9O。，所以点P的路径是一段以4D为直径的弧，设4。的中点为0,

连接0C交弧于点P,此时CP的长度最小，再由勾股定理可得

0C的长，再求CP即可.

【解答】解：(1)AE=Z)F,AELDF.理由：,四边形ABCO是正方形，

：.AD=DC,ZADC=ZC=90°.•:DE=CF,：./XADE^^DCF.

：.AE=DF,ZDAE=ZCDF,由于NCDF+NAOF=90°,

AZDAE+ZADF=90°.：.AE±DF；

(2)是；

(3)成立.

理由：由(1)同理可证AE=。凡ZDAE^ZCDF

延长尸。交AE于点G,

则NCDF+NA£>G=90°,

ZADG+ZDAE=90°.

AAEIDF；

(4)如图：

由于点P在运动中保持NAPZX90。，

•••点P的路径是一段以AD为直径的弧，

设AO的中点为0,连接0C交弧于点P,此时CP的长度最小,

在Rt^ODC中，OC=VCD2+0D2=722+12=V5,

:.CP=OC-0P=4s~1.

【点评】：本题主要考查了四边形的综合知识.综合性较强，特别是第(4)题要认真分析.