历年考研数学真题及解析汇总硕士研究生入学考试数学真题

考研数学二真题2008年

一、选择题

设函数/(工)=/(4-1)(X-2),求/，(工)的零点个数为()

1(A)0.(B)l,(C)2.(D)3.

答案:D

［命用目的］考查求导的运算能力.

［详细解答］/'(X)=2x(x-l)(x-2)+x2(x-l)+X2(X-2)=X(4X2-9X+4)

令/⑸=0,则可得/'(x)零点的个数为3.

［易错辨析］/+bx+c=0,当*-4以＞0时有两个实根.

［理仲拓展］几次方程有几个根.

如图，曲线段的方程为y=/(”)，函数/(%)在区间［0,。］

上有连续的导数，则定积分［力•等于()

(A)曲边梯形月8。0的面积.

(B)梯形4500的面积.

(C)曲边三角形4CO的面积.

(D)三角形4co的面积.

2.

答案:c

［命科目的］考查定积分的分部积分法及定积分的几何意义.

［详细解答］l^xf'(x)dx=^xdf(x)=af(a)-//》)也，其中叭a)是矩形面积，/狄x)dx为曲

边梯形的面积，所以为曲边三角形的面积.

［易错辨析］若/U)W0,则曲边梯形的面积为：

［延伸拓瓜］必须熟练掌握定积分的分部积分法及变量替换法.

在下列微分方程中，以y=Ge*+C2cos24+C3sin2x(C,,

G，G为任意常数)为通解的是()

(A)ym+y"_4y，_4y=0.(B)yw+y"+4广+4父=0.

3(C)y-y"-4y'+4y=0.(D)y"'_y"+4广—4y=0.

答案:D

［命题目的］考查高阶齐次常系数微分方程的解法.

［详细解答］由y=Ge、+C2COS2X+C3sin2x可知其特征根为A,=1,A2.3=±2i.

特征方程为：(A-1)(入+2征(入-2i)=(A-1)(A2+4),即入-A2+4A-4=0

所以所求微分方程为:y"'-y"+4y4y=0,故选(D).

［易错辨析］C2cos2x+C3sin2工对应的特征方程中(A+2i)(A-21),即入?+4.

［延伸拓展］高阶齐次常系数微分方程的解法见同济大学高等数学第五版下册.

设函数f(x)=sinx,则/U)有()

FI%一智II

(A)l个可去间断点,1个跳跃间断点.(B)l个可去间断点,1个无穷间断点.

4.(C)2个跳跃间断点.(D)2个无穷间断点.

答案:A

［命题目的］考查函数间断点及其类型.

［详细解答］/(x)的间断点为工=1,0,而lim/(x)=O,故工=0是可去间断点;

x-»0*

lim/(x)=sinl,lim/(x)=-sinl,故x=l是跳跃间断点.

r-1+x-l-

故应选(A).

［理仲拓展］在点％可导一定连续，连续不一定可导.

设函数f(4)在(-8,+00)内单调有界，1%」为数列，下列命题正确的是()

(A)若同)收敛，则次乙)|收敛.(B)若同［单调，则｛/(工“)|收敛

(C)若收敛，则收敛.(D)若次4)｝单调，则收敛.

答案：B

［命网目的］考查定理:单调有界数列一定有极限.

［详细解答］若民」单调，则由/(工)在(-8,+8)内单调有界，知｛/(乙)|单调有界，

因此17(4)1收敛,故应选(B).

［建仲拓展］“单调有界数列一定有极限”具体表述为:单增有上界数列一定有极限;单减有下界

数列一定有极限.

设函数/连续，若"”,在)

影部分，则手=()

du

(A)以")

(C)叭").

答案:A

［*ML目的］考查二重积分的极坐标变换及求偏导数和对定积分上限变量求导.

［详细解答］用极坐标得以”,。)=母等^^打=/利a：隼2#=必欣")由

.•拓=叭")•

设4为儿阶非零矩阵,E为兀阶单位矩阵.若矛=。，贝lj()

(A)E-A不可逆,E+A不可逆.(B)E-4不可逆,E+A可逆.

7(C)E-4可逆,E+4可逆.(D)E-4可逆,E+4不可逆.

答案:c

【命用目的］考查逆矩阵的概念.

［详细解答］方法一：(E-4)(E+4+/(2)=E-AZ=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E

故E-4,E+A均可逆.

方法二:假设4的特征值为入，则入3=0,.•.人=0

E-A,E+A的特征值都为1,所以IE-41=IE+川=1

所以E-4可逆,E+4可逆.

［易错辨析］矛=。不能推出4=0.

［琏竹拓展］1.矩阵4可逆的充要条件：

4可逆=三矩阵8,满足月8=84=后03矩阵8,满足48=旧或&4=£：。1/11卢0=4的所有特征

值不等于0<=>r(4)=7i.

2.假设4的特征值为入，则4的多项式匕(4)的特征值为匕(入).

设42),则在实数域上与从合同的矩阵为()

(A)(/L⑻(,5

J3；；)•叫」2二).

答案：D

［命题目的］考查二个矩阵合同的概念.

\-1-2

［详细解答］方法一：1八七-川=。।=(A-1)2-4=A2-2A-3=(A+l)(A-3)=

-2A—1

0

/1-2\

贝I」儿=-1,A2=3,记O=_2］,则

A~12,,

\AE-D\==(A-I)2-4=A2-2A-3=(A+1)(A-3)=0

2A-1

则A)=-1，入2=3.

12

方法二：I*=2i=-3=储入2,说明4的特征值为一正一负.对于(D),

101=\［2=-3,说明。的特征值也为一正一负.4。的正负惯性指数相同，故应选(D).

一21

［易错辨析］方法二只对本题适用(读者自己思考为什么？).

［延伸拓展】两个矩阵等价、相似、合同概念的不同点.

二、填空题

已知函数/(工)连续，且1加1=1,则/(0)=________.

9.二(e*-1)/(«)

答案：2

［命题目的J考直•”不定型的计算.

［详细解答］⑴=1,则如y(x)=/(0)=2.

［易错辨析］对于加减项不能使用等价无穷小代换.

2x

10微分方程(y+xe')dx-xdy=0的通解是y=.

答案：y=-xe"+Cx

［命耳目的］考查求解一阶线性微分方程.

［详细解答］y'-工=诩-',P=-L,Q=xe-,

XX

y=e^d*(Jxe-V«d,ck+C)=x(Je'x<k+C)=-xe'x+Cx.

［延伸拓展］1.也可用常数变易法求解一阶线性微分方程；2.一阶线性微分方程通解=齐次

方程通解+非齐次方程特解.

11.曲线sin(xy)+ln(y-x)=x在点(0,1)处的切线方程是.

答案：y=x+1

［命双目的］考查隐函数求导及导数的几何意义.

【详细解答】方法一:设尸(％,y)=sin(町)+ln(y-x)-x,

/、T,

Pycos(xy)+------1

斜率A=-胃----------q-,在(0,1)处，

，xcos(xy)+----

y-x

k=l,所以切线方程为y-1=%即y=x+l.

方法二:sin(町)+ln(y-x)=4两边对x求导

切线方程为:y-1=工，即y=x+l.

［易错辨析］sin(xy)对x求导,夕是中间变量，所以［sin(o)「=(y+xy，)cos(号).计算时不用

求出y'的表达式，直接代入％=0,y=l,即可得出人广(0)=1.

［延伸拓展］只要不对自变量工求导，都要按照复合函数求导.

12.曲线V=(x-5)：J的拐点坐标为.

答案：(-1,-6)

I命题目的］考查拐点的概念.

［详细解答］『⑺=X^+(X-5)-^X-T=2_(X-2)X-7,

104

令/"(")=yx--(x+l)=0,得*=-1,而X=-1时,/"(工)左右两边变号，故拐点坐标为

(-1,-6),x=0时，二阶导数不存在且/"(*)左右两边正负号不变，故(0,0)不是拐点坐标.

［易错辨析］1.如果在(0,0)两侧/"(口正负号改变，则(0,0)也是拐点;2.拐点应表示成

(*0,7(3))是拐点・

［延伸拓展］如果在两侧/"(X)正负号改变，则(x°/(x。))是拐点.

X

13,设z=<*)'，则知(⑺=---------

答案:轴2T).

【命用目的】考查多元函数的复合函数求导.

【详细解答】方法一:令”=Z,«=-,从而z=u",对方程两边去对数得lnz=”lnu,对改方程

xy

两边对比求导，

f

所以‘3二。+—ux=—In,

zdxuyxy

—I=z(—)I=(^)^(—lnX--)I,=^(ln2-l).

旅I(1,2)yXyI(1,2)'4'yxyI(1,2)2

方法二:将(1,2)代入原式:Zy.0)=&

将原式取对数:In?=^~(lny-Inx)

又寸x求导：——=—(Iny—Inv)——=—(Iny-\nx—1),半=—(Iny-Inx-1)

zdxyyydxy

^(1,2,7I)RA:£|(12)=y(lny-lnx-l)|2=^(ln2-l).

［易错辨析］方法二比方法一运算量小，不易出错.

［珏仲拓展］本题也可求以=如+融r

14.设3阶矩阵4的特征值为2,3，丸若行列式I24I=-48,则入=.

答案：A=-1

［命题目的］考查1=储入2…入“、味4I=A"141.

［详细解答］由矩阵特征值与矩阵行列式之间的关系得,2・3•八=-6,故人=-1.

［易错辨析］以下运算是错误的：12川=2141=-48,正确应该12川=23141=-48.

I理伸拓展］假设4的特征值为A,则4的多项式匕(4)的特征值为匕(A).

三、解答题

求极限lim[sinx-sin,inx)]sinx

15.IX

［中总目的］考查“5”型极限的计算.

［思路点拨］先使用等价无穷小代换，然后使用洛必达法则.

[sinx-sin(sinx)]sin%..sinx-sin(sinx)cosx-cos(sinx)・cos%

［详细解答］lim7=IiiD3

zXIX

—1sm・2x•cosx

VCOS%[1-cos(sinx)]

=um---------lim----------z-------=z

x-4)XT3/6

［易错辨析］对于加、减项不能使用等价无穷小代换.

二文［理仲拓展］"18,,等其他不定型的极限的求法.

fX=x(t),

设函数y=y(x)由参数方程产确定，其中%⑴是初值问题

y=Iln(1+u)du

Jo

[命题目的]考查求微分方程特解和参数方程求导.

[思路点拨]1.对力和以为可分离变量方程;2.求导过程中"是中间变量.

[详细解答]exdx=2idi,e*=^2+C,VxI=0,/.ex=1+z2,%=In(1+r2)

It=o

学=4=2叫+『)=(i+/)in(i+/)

dxxt2t

1+『

d2y[(1+/)ln(l+/)]',2zln(l+?)+2(Z12.r.Z12、

---厂--------=―'2f-------=(1+«)[ln(l+J)+1],

1+t2

答案：［理件拓展］可用相同方法求三阶导数.

计算f%2arcsi・nx

dx.

2

17.V1-x

［命题目的］考查定积分的变量替换.

［思路点拨］对含Va2-X2'类型的积分，令工=asinl.

22

A.n,,.,।xarcsinx,,s.sint,t.

［详细解答］令人=sm,，则［；j......2“d%=Jo'-~cos他

=ylJtdt-yjJtcos2tdt=/十蕊

［易错辨析］定积分变量替换一定要改变上下限.

答案：［延伸拓区］对含//+公类型的积分，令x=atant

计算Jmax|%y,l|dxdy,其中。={(%,y)I0W%W2,0Wy近2}.

18.D

［命用目的］考查分段函数的二重积分.

［思路点拨］不同区域中对不同的表达式积分.

［详细解答］/max(xy,l)Axdy=J/d“；1dy+/IdjtfjIdy+/Idxf\.xydy

15IQ

=1+21n2+7一ln2=V+ln2.

44

［易错辨析］任何平面曲线/(%y)=0将平面分成/(孙y)>0和/(*y)<0两部分.做题时要

找出这两部分的正确位置.

答案【理什拓展】与本题类似可计算以下积分:J：：J：：max［*y}e-3e)dxdy(答案为-亨).

设/(%)是区间［0,+8］上具有连续导数的单调增加函数，且/(0)=1.对任意的

fe［0,+00),直线x=0/=,,曲线y=/(%)以及工轴所围成的曲边梯形绕光轴旋转一周

生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.

19.

［命用目的］考查该题是计算旋转体侧面积、体积及微分方程的综合题.

［思路点拨］由潦=2对上限变量求导得到微分方程.

［详细解答］旋转体体积v(c)=H/2(k

旋转体的侧面积S(t)=J；2Mx)71+［/f(x)］2ck

由2irJ［y/］+ydx=2TT(oy2dx

两边求导，得y47”=/

y2(l+ya)=/

从而2y'y"=2yy',得y"

所以特征方程为入2-1=0,特征根为入=±1.

x

则通解为y=Cie+C2e-\

由1+y"=y2,得4G02=1-

所以y=CE++e~由f(0)=1,C,=y.

合条：-5乙

(I)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间［a,打上连续，则至少存在一点77e［a,6］,

使得［/(%)也=f(y)(b-a)；

(II)若函数3(，)具有二阶导数，且满足和(2)>以1),以2)>［l(x)dx,则至少存在一

20点fw(1,3),使得♦"(；)<0.

［命用目的］考查考生是否掌握重要定理的证明.

［思路点拨］凡是有数问的考题,第一问的结果必定是解答第二问的关键.

［详细解答］(I)设用及血分别是函数/(，)在区间［。,川上的最大值及最小值,则

m(b-a)-a)

不等式各除以6-a,得mW廿一j)(，)dxWM.

这表明，确定的数二L-Jy(x)ck介于函数/(x)的最小值m及最大值M之间.

根据闭区间上连续函数的介值定理，在［a,川上至少存在一点”，使得函数/«)在点77处的值与

这个确定的数值相等，即应有#T%(x)dx=/(7/)(OW77W6)

两端各乘以b-a,即得所要证的等式.

(n)证明：由积分中值定理，则至少存在一点ce(2,3),使得=Mc),由题得

(p(2)<p(2)>/：w(x)<k=e(c)知2<cW3

答案：对奴工)在［1,2］和［2,c］上分别使用拉格朗日中值定理，得

3'(矣)=)(2厂(..“⑵”⑴)

，(&)"C)二乎"<0,(•.“(2)>w(c))

对尹'(工)在［6,左］上使用拉格朗日中值定理，得

W"(f)=3二智一胪右)<0,(SW，8)U(l,3)).

［易错辨析］连续函数的介值定理:若C满足mWCwM,则存在&QWgWb,使得/(§)=C(应

注意孑在闭区间［a,6］).

［通伸拓展］改进后的积分中值定理:如果函数/(%)在积分区间［Q,6］上连续，则在(a,6)上至

少存在一个点f,使下式成立：

J)(x)dx=/(f)(b-Q)(a<5<6).(参见同济大学高等数学第五版上册P239例6)

证明:令尸(工)=J7(t)dt

则/(工)在［Q,6］上连续，在(Q,6)上可导.由格拉朗日定理：

F(b)-F(a)=F'(^)(b-a)=f(^)(b-a)

即/-J73dx=/")(a<f<b).

0-a

求函数a=Y+/+z2在约束条件z=/+y2和*+y+z=4下的最大值与最小直

21.

［命・日购］考查条件极值的拉格朗日乘数法.

［思路点拨］求解有二个条件的条件极值的方法和求解有一个条件的条件极值的方法相同.

2222

［详细解答］设F(x,y,z)=x+y+z+A,(x+y-z)+A2(x+y+z-4)

Fx(x,y,x)=02x+2xA)+入2=0

尸,(*,y,z)=02y+2yA]+A2=0x=-2x=1

得方程组,F,(x,y,z)=0即.2z-储+入2=0，解得y=-2或，，=1

x+y2-z=0%+y2-z=0z=8z=2

x+y+z-4=0+y+z-4=0

222

得Ua二=(-2)+(-2)48=72.

222

t7IDin=l+l+2=6.

［易错辨析］求解方程组是最容易出错的地方，计算时应仔细.

答案：［延计拓展］有更多约束条件的最值问题.

设n元线性方程组AX=)，其中

(1\

V0/

(I)证明行列式I41=(n+l)an；

(n)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求X,；

22.(0)当a为何值时,该方程组有无穷多解，并求通解.

［命感目的］计算"阶三对角线行列式、求解非齐次方程组.

［思路点拨］非齐次方程组的通解=齐次方程组的通解+非齐次方程组的特解.

2a1

2a1

3a

201

2a1~2

2

a2a2

［详细解答］(I)141=a2a

1

J.1

a22a

a2a

2a1

3a

01

~2

4a

0(九+1)Q

To3a4a

=2a•5Tn

1

(九+1)Q

0

n

=（n+1）ara

（口）方程组有唯一解

答案：由4r=8,知IAIKO,又141=（几+1）Q”，故Q，0.

记4二4*。，由克莱姆法则知，

111

02a12a

2

a22aa

•・・11

2

\A1\a2ax(n-I)a2a(n-1)

孙~\A\2a12a1

2

2a1a2a1

2aa22a

1・・.1

a2aa2a

nan

"(n+1)an(n+l)a

(DI)方程组有无穷多解

(011)

010

由141=0,有Q=0,贝!1(418)=0,故r(AIB)=r(A)=n-1

0

0：0J

X2=0

=0不

4V=0的同解方程组为3，则基础解系为Ml,0,0,…,0)，人为任意常数.

14=0

(01(01(11(0、

01101

又00=0，故可取特解为”=0

01

0>10J10；loJ

(0)

01

所以布=3的通解为人0+0,k为任意常数.

10J10J

【易错辨析】用递推法计算I川的值比使用行列式性质计算Ml的值，运算量要小得多.

2a1

a22a1

a22a,*.

［延伸拓展］求，，=141=的另一方法(递推法)

•・・•・・1

a22a

2a110000

a2G1a22a10…0

2

20a2a1…0

=2QDR_I-Q

...........•••

00a22a1

00•••a22a

=2aDn.-anD-In-£2

直接计算得：Oi=2a=(l+l)a,,4=3M=(2+1)Q2

n,

假设Dn_l=na"

n2n2nn

贝！］Dn=2aDn_1-aDn_2=2arui~-a(n-1)a~=(2n-n4-l)a=(n+1)a.

设4为3阶矩阵,四为A的分别属于特征值-1」的特征向量，向量为满足4a3=%+

。3・

(I)证明％,。2，。3线性无关；

(U)令尸=(%,%,%),求P"仍

【命题目的】考查向量的线性相关性.

【思路点拨】使用线性相关和线性无关的定义进行证明.

【详细解答】（I）方法一:假设%,%,%线性相关，因为％,四是不同特征值的特征向量，所以

线性无关，则的可由t，线性表出，不妨设%=4』+l2a2,其中4美不全为零（若1/同时

为0,则ot3为。，由4a3=012+013可知«2=0）

■:Aat=-at,4a2=a2

4a3=a2+a3=a2+4%+l2ot2

又4a3=A（Zja）+l2a2）=-，必+l2a2

-liai+l2a2=a2+Lai+Z2«2,整理得⑵0+a2=0

则a,,a2线性相关，矛盾（因为a,,a2分别属于不同特征值的特征向量，故a,,a2线性无关.）

故1,a2,a3线性无关.

方法二:因为a1,a2是不同特征值的特征向量，所以线性无关.

假设占6+&。2+自=。①

贝！］kiAal+k2Aa2+k3Aa3=0

答案：-A|a（+k2a2+k3（a2+a3）=0②

①-②，得2%6-A3a2=。

所以自=自=0,所以k2a2=0,k2=0

所以线性无关.

(H)记P=(-a3)，则P可逆，

4(6,a2,a3)=(4',Aa2,Aa3)

f00、

=(-a(,a2,a2+a3)=(«),a2,a3)011

、001,

00、[-100、

即4P=P011P-'AP=011

<001,<001,

【易错辨析】以下说法是错误的:.，如,…,a”线性相关，则任一向量可用其他向量线性表示.

正确说法是:叫,口2,4线性相关,则其中某一向量可用其他向量线性表示.

［理的拓展］«i,a2,"',a„线性相关。齐次方程组XfUi+x2a2+•••+xnan=0有非零解.

2（X）0年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试卷

一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）

^2x-x2dx

⑴

⑵曲面X?+2y2+3z?=21在点（1,—2,—2）的法线方程为.

⑶微分方程x/+3/=0的通解为.

1

（4）已知方程组2

1

⑸设两个相互独立的事件A和5都不'发生的概率为工.A发牛.5不发生的概率可B发牛:A不发生的概率相等.则

9

P(A)=.

二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的

括号内）

（1）设/（x）、g（x）是恒大于,岑的可导函数,Hj'（x）g（x）-/（x）g'（x）<0,则当。<x<〃时,有

(A)/(X)gS)>/S)g(X)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(c)/(x)g(x)>/(b)g⑹(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

⑵设2222为在第一卦限中的部分,则有

S:x+y+z=a(z>0),S(S

(A)JJxdS=4JJxdS(B)a,"S=4JJxdS

SS[SS]

(c)JJzdS=4』xdS(D)JJxyzdS=4^xyzdS

SS[ss.

设级数收敛，则必收敛的级数为

（3）Zun

n=l

（A）£（T）""（B）£"；

"=1n„=|

（C）£（"2,1-"2"）（D）£（““+〃,,+|）

n=ln=l

（4）设n维列向量组叫，…，a,"（m<〃）线性无关，则n维列向吊；组良，…，氏线性无关的充分必要条件为

（A）向量组a[,•♦,,a,“可由向量组I,•••,0,“线性表示（B）向昂:组0],•••,0,“可由向量组a,“线性表示

（C）向量组叫，…，a,“与向晶组p1,…平,“等价（D）矩阵A=（ot],…，a“J与矩阵B=（0],…，院）等价

（5）设二维随机变量（X,y）服从二维正态分布,则随机变量J=X+Y'jr/=X-Y不相关的充分必要条件为

22

（A）E（X）=E（y）（B）£（X2）-[E（X）]2=E（y）-[E（y）]

©E（x2）=E（y2）（D）矶X2）+[E（X）]2=E（y2）+[E（y）]2

三、（本题满分6分）

£

..,2+evsinx.

求hm（——r+

fl,+e-A\x\

四、（本题满分s分）

xX

设z=/（刈,一）+g（一），其中f具仃：阶连续偏导数，g具仃：阶连续导数，求

yydxdy

五、（本题满分6分）

计算曲线积分/=[xdy：yd：.其中L是以点（1,0）为中心，R为半径的圆周（R>1）,取逆时针方向.

4厂+y-

六、（本题满分7分）

设对于*空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有JJqXxWydz-xMXxWzdx-e"」zdxdy=0,其中函数/（%）在

（0,+oo）内具仃连续的一阶导数」Ilim/（x）=1,求/（X）.

七、（本题满分6分）

L1X

求索级数--------的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.

,日3"+（-2）""

八、（本题满分7分）

设仃半径为R的球体，鸟是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度9该点到用距禽的平方成正比（比例常数女>0）.求

球体的重心位置.

九、（本题满分6分）

设函数/（x）在[0,7]上连续，且£/（x）dx=0,1/（x）cosxdx=0.试证:在（0,万）内至少存在两个不同的点自，$,使

M）=/（^）=o-

十、（本题满分6分）

-1000

*_0100

设矩阵A的伴随矩阵A=]0]0，且ABA~=BA-1+3E.其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.

0-308

十一、（本题满分8分）

某适应性生产线每年1月份进行熟练工，川:熟练工的人数统计,然后将L熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补

6

齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有2成为熟练匚设第〃年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为七和为，

记成向量

七+八当+八

⑴求与的关系式并写成矩阵形式:=A

\)'〃+1)JJ

(2)验证7=是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值.

n2

V71

]_、

Xn+\

⑶当2时，求

]_

27

十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产乩不合格的概率为p(0<P<1)洛产品合格」话相对独1111111个不合格产品时即停机检修.设开机后第

1次停机时已生产了的产品个数为X.求X的数学期望E(X)和方羌Q(X).

十三、(本题满分6分)

2e~2(x~0)x>0

设某种元件的使用寿命x的概率密度为了(x；e)="~.!［中6>0为未知参数.又设不工，・、工是乂的一组

ox<0)

样本观测值,求参数@的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设y^ex(asinx+bcosx)(a,b为任意常数)为某：阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.

222

⑵r=yjx+y+Z,则div(gradr)|(l1_2,2)=.

(3)交换：次积分的积分次序：J工,/(x,y)dx=.

(4)设A?+A—4E=O.则(A—2E>"=.

(5)O(X)=2,则根据乍贝晓夫不等式仃估计P{|X-£(X)|>2)<.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的

括号内)

⑴设函数/(x)在定义域内可导,y=f(x)的图形如右图所示厕y=/'(x)的图形为

⑵设/(x,y)在点(0,0)的附近仃定义，且/；(0,0)=3,/；(0,0)=1则

(A)dzI(OQ)=3i/x+dy

(B)曲面z=f(x,y)/i.(0,0,/(0,0))处的法向量为{3,1,1}

1"'，)在(0,0,/(0,0))处的切向量为{1,0,3}

(C)曲线

/=0

.：=f(x.y)

(D)曲线,在(0,0,/(0,0))处的切向量为{3,0,1}

y=0

(3)设1(0)=0则/(x)在x=0处可导<=>

[./(1-cos/?)

(A)hm------；-----存在(B)hm--------^存在

/:->0h-h->0h

f(h-sinh)

(c)hm—~：-----存在(D)hm--------——存在

ATO〃TOh

(1111)(4000)

11110000，则A与B

(4)设A=