椭圆偏振仪测量薄膜厚度和折射率

椭圆偏振仪测量薄膜厚度和折射率在近代科学技术的许多部门中对各种薄膜的研究和应用日益广泛.因此，更加精确和迅速地测定一给定薄膜的光学参数已变得更加迫切和重要.在实际工作中虽然可以利用各种传统的方法测定光学参数（如布儒斯特角法测介质膜的折射率、干涉法测膜厚等），但椭圆偏振法（简称椭偏法）具有独特的优点，是一种较灵敏（可探测生长中的薄膜小于0.1nm的厚度变化）、精度较高（比一般的干涉法高一至二个数量级）、并且是非破坏性测量•是一种先进的测量薄膜纳米级厚度的方法.它能同时测定膜的厚度和折射率（以及吸收系数）•因而，目前椭圆偏振法测量已在光学、半导体、生物、医学等诸方面得到较为广泛的应用.这个方法的原理几十年前就已被提出，但由于计算过程太复杂，一般很难直接从测量值求得方程的解析解•直到广泛应用计算机以后，才使该方法具有了新的活力.目前，该方法的应用仍处在不断的发展中.实验目的（1） （1） 了解椭圆偏振法测量薄膜参数的基本原理；（2） （2）初步掌握椭圆偏振仪的使用方法，并对薄膜厚度和折射率进行测量.实验原理椭偏法测量的基本思路是，起偏器产生的线偏振光经取向一定的1/4波片后成为特殊的椭圆偏振光，把它投射到待测样品表面时，只要起偏器取适当的透光方向，被待测样品表面反射出来的将是线偏振光.根据偏振光在反射前后的偏振状态变化，包括振幅和相位的变化，便可以确定样品表面的许多光学特性.1椭偏方程与薄膜折射率和厚度的测量图15.1图15.1所示为一光学均匀和各向同性的单层介质膜.它有两个平行的界面，通常，上部是折射率为n的空气(或真空).中间是一层厚度为d折射率为n的介质薄膜1,下层是折射率为n的衬底，介质薄膜均匀地附在衬底上，当一束光射到膜面上时,3在界面1和界面2上形成多次反射和折射，并且各反射光和折射光分别产生多光束干涉.其干涉结果反映了膜的光学特性.设。表示光的入射角，。和。分别为在界面1和2上的折射角.根据折射定律有 2 3n1sin。1=n?in々2=n3sinQ光波的电矢量可以分解成在入射面内振动的P分量和垂直于入射面振动的s分量.若用Eip和Eis分别代表入射光的p和s分量，用E及E分别代表各束反射光K,K,K，…中电矢量rp rs 0 1 2的P分量之和及s分量之和，则膜对两个分量的总反射系数Rp和Rs定义为R=E/E,R=E/EPrpip srsis(15.2)Ej+r*e-函 ^rs1+「re-i28 is经计算可得式中，r或r和r或r分别为p或s分量在界面1和界面21p 1s2p2s上一次反射的反射系数.2B为任意相邻两束反射光之间的位相差•根据电磁场的麦克斯韦方程和边界条件，可以证明r=tan(0-0)/tan(0+0),1p r=tan(0-0)/tan(0+0),1p 1 2 1 2sin(01+02)；r=tan(0-0)/tan(0+0),

2p 2 3 2 3(15.4)r=-sin1sr=-sin2s(02-03)/sin(02+03).式(15.4)即著名的菲涅尔(Fresnel)反射系数公式.由相邻两反射光束间的程差，不难算出4nd 4nd(15.5)2o=~n2cos中2=~时n2_n2sin2中］(15.5)式中，入为真空中的波长，d和n2为介质膜的厚度和折射率.在椭圆偏振法测量中，为了简便，通常引入另外两个物理量中和△来描述反射光偏振态的变化.它们与总反射系数的关系定义为tanv*=R/R=气+%pe一"）（1+气r25ps（1+rre一"）（r+re一"）上式简称为椭偏方程，其中的"和犬称为椭偏参数（由于具有角度量纲也称椭偏角）.由式（15.1），式（15.4）,式（15.5）和上式可以看出，参数中和J是n,n,n,入和d的函数.其中n,n,入和0可以是123 12 1已知量，如果能从实验中测出中和力的值，原则上就可以算出薄膜的折射率n2和厚度d.这就是椭圆偏振法测量的基本原理.实际上，究竟中和J的具体物理意义是什么，如何测出它们,以及测出后又如何得到n2和d,均须作进一步的讨论.2中和J的物理意义用复数形式表示入射光和反射光的p和s分量E=|E|exp（i。）,E=|E|exp（i。）；ipip ip isis isErp=|Er|exp（i%） ,E=|E|exp（i。）. （15.6）式中客绝对值方相应电矢量的振幅，各e值为相应界面处的位相.由式（15.6），式（15.2）和式（15.7）式可以得到tanw-矣=—中』exp!［（0-0）-（0-0）］｝ /IEIIEIrp/ip/. （15.7）比较等式两端即可得tan^=|E||E|/|E||E| （15.8）rpis rsip△二（e-e）-（e-e） （15.9）式'（15.8s）表明：参蔓中与反射前后p和s分量的振幅比有关•而（15.9）式表明，参量j与反射前后p和s分量的位相差有关.可见，中和j直接反映了光在反射前后偏振态的变化.一般规定，中和J的变化范围分别为0W"n/2和0W△<2n.当入射光为椭圆偏振光时，反射后一般为偏振态（指椭圆的形状和方位）发生了变化的椭圆偏振光（除开iP<n/4且J=0的情况）.为了能直接测得中和J,须将实验条件作某些限制以使问题简化.也就是要求入射光和反射光满足以下两个条件：（1）要求入射在膜面上的光为等幅椭圆偏振光（即P和S为分量的振幅相等）.这时，|Eip|/|Eis|=1,式（15.9）则简化tan中3 =|E|/|E|. （15.10）乩日―口 （2）要求反射光为一线偏振光.也\ "就是要求e-e=0（或n）,式（15.9）则简化为rsn-（0广0is） （15.15）满足后一条件并不困难.因为对某一特定的膜，总反射系数比R/Rs是一定值.式（15.6）决定了/也是某一定图15.2

值.根据（15.9）式可知，只要改变入射光二分量的位相差（6-9），直到其大小为一适当值（具体方法见后面的叙述），就可以使（9.-9.）=0（或n）,从而使反射光变成一线偏振光.利用一检偏器可以检验此条件是否已满足.以上两条件都得到满足时，式（15.10）表明，tan中恰好是反射光的P和s分量的幅值比，中是反射光线偏振方向与s方向间的夹角，如图15.2所示•式（15.15）则表明，J恰好是在膜面上的入射光中s和s分量间的位相差.3中和A的测量实现椭圆偏振法测量的仪器称为椭圆偏振仪（简称椭偏仪）•它的光路原理如图15.3所示.氨氖激光管发出的波长为632.8nm的自然光，先后通过起偏器Q,1/4波片C入射在待测薄膜F上，反射光通过检偏器R射入光电接收器T.如前所述，P和s分别代表平行和垂直于入射面的二个方向.快轴方向f,对于负是指平行于光轴的方向，对于正晶体是激光管D\__检流计起偏器SS起偏器S1/4波片图15.3从Q,C和R用虚线引下的三个插图都是迎光线看去的指垂直于光轴的方向.t代表Q的偏振方向，f代表C的快轴方向，t代表R的偏振方向•慢轴方向I,对于负晶体是指垂直于光轴方向，对于正晶体是指平等于光轴方向•无论起偏器的方位如何，经过它获得的线偏振光再经过1/4波片后一般成

为椭圆偏振光•为了在膜面上获得p和s二分量等幅的椭圆偏振光，只须转动1/4波片，使其快轴方向f与s方向的夹角a=±n/4即可（参看后面）•为了进一步使反射光变成为一线偏振光E,可转动起偏器，使它的偏振方向t与s方向间的夹角P为某些特定值.这时，如果转动检偏器R使它的偏振方向t与1E垂直，则仪器处于消光状态，光电接收器T接收到的光强最小，检流计的示值也最小.本实验中所使用的椭偏仪，可以直接测出消光状态下的起偏角P1和检偏方位角中.从式（15.15）可见，要求出力，还必须求出P与（6关系. 1下面就上述的等幅椭圆偏振光的获得及P与J的关系作进一步的说明.如图15.4所示，设已将1/4波片置于其快轴方向f与s方向间夹角为n/4的方位.E为通过起偏器后的电矢量，P为E与s方向间的夹角（以下简称起偏角）•令Y表示椭圆的开日角（即两对角线间的夹角）•由晶体光学可知，通过1/4波片后，E沿快轴的分量E与沿慢轴的分量E比较，位0 f lf兀〉.XJ _ f兀、—一Pe2=iEcos—一P141J0〔41)■=E0cos■(15.12)■=E0cos■(15.12)(15.13)

从它们在p和s两个方向的投影可得到p和s的电矢量分别为:角位置时，的确在P和S二方向上得到了幅值均为幅E0/2的椭圆偏振入射光.P和s的位相差为(0°)1/4波片快轴/1/4波片慢轴图15.4(0°)1/4波片快轴/1/4波片慢轴图15.4=Ecos--Ecos-=^2Ee'(:-p1)f4i4 20(15.14)2 2 i(工+p、E=E寸sin—一E,sin—=—^-E0e4n(15.15)由式（15.14）由式（15.14）和式（15.15）看出,当1/4波片放置在+n/40-0=n/2-2P. （15.16）另一方面：从图15.4上的几何关系可以得出，开口角Y与起偏角P1的关系为1 y/2=n/4-P1Y=n/2-2P （15.17）则（15.16）式变为0.-0.s=Y （15.18）由式（15.P15）可得J=—（0.-0.）=-Y （15.19）至于检偏方位角中，可以在消光状态下直接读出.在测量中，为了提高测量的准确性，常常不是只测一次消光状态所对应的P和中值，而是将四种（或二种）消光位置所对应的四组（P「中）1）,（P,中），（P,中）和（P,中TOC\o"1-5"\h\z1一_. 一2-2….3_3.一，_4 、）值测出，经处理后再算出力和饥直.其中，（P,W）和（P,W）4 11 2 2所对应的是1/4波片快轴相对于S方向置+n/4时的两个消光位置（反射后P和S光的位相差为0或为n时均能合成线偏振光）.而（Pw）和（P,”）对应的是1/4波片快轴相对于s方向3, 3 4 4置-n/4的两个消光位置.另外，还可以证明下列关系成立：|p-p|=90°,中=-中.|p-p|=90°,中=—中.求A和中的,1.2 2 1 3 4 4 3万法如下所述.（1）计算力值.将P,PP和P中大于n/2的减去n/_ 1 2—3一42,不大于n/2的保持原值，并分别记为<P>,<P>,<P>和<P>,然后分别求平均.计算中，令 1(15.,P}+P} ,P}+P}(15.和 P3=r^,20）而椭圆开口角Y与P1和P3的关系为（15.21）利用类似于图y=|P,P3‘|（15.21）利用类似于图由式（15.22）算得中后，再按表15.1求得/值.15.4的作图方法，分别画出起偏角P在表15.1所指范围内的椭圆偏振光图，由图上的几何关系求出与公式（15.18）类似的Y与P的关系式，再利用式（15.20）就可以得出表15.1中全部』与Y的对应关系.表15.1P1与4的对应关系P1△=-(8,-8,)0〜n/4-Yn/4〜n/2Yn/2〜3n/4n-Y3n/4〜n-(n-Y)（2） （2） 计算中值：应按公式（15.22）进行计算(15.22)4折射率n和膜厚d的计算尽管在原则上2由中和△能算出n和d,但实际上要直接解出（n,d）和（4,中）的函数关系式是很困难的.一般在n和n均为实数（即为透明介质的），并且已知衬底折射率n（可以为复数）的情况下，将（n,d）和（4,中）的关系制成数值表或列线图而求得q和d值：编制数值表的工作通常由计算机来完成.制作的方法是，先测量（或已知）衬底的折射率f,取定一个入射角R,设一个n2的初始值，令8从0变到180°（变化步长可取n/180,n/90,…等），利用式（15.4）,式（15.5）和式（15.6），便可分别算出d,4和中值.然后将n增加一个小量进行类似计算.如此继续下去便可得到（n,d）2〜（4,中）的数值表.为了使用方便，常将数值表绘制成列线图.用这种查表（或查图）求n和d的方法，虽然比较简单方便，但误差较大，故目前日益广泛地采用计算机直接处理数据.另外，求厚度d时还需要说明一点：当n和n为实数时，式（15.4）中的。为实数，两相邻反射光线间的位相差“亦为实数，其周期为2=.2B可能随着d的变化而处于不同的周期中.若令26=2n时对应的膜层厚度为第一个周期厚度d，由（15.4）式可以得到 0d, 0 2fn2—n2sin2中由数值表，列线图或计算机算出的d值均是第一周期内的数值.若膜厚大于d°,可用其它方法(如干涉法)确定所在的周期数j,则总膜厚是D=(j-1)d+d.5金属复折射率的测量 °以上讨论的主要是透明介质膜光学参数的测量，膜对光的吸收可以忽略不计，因而折射率为实数.金属是导电媒质，电磁波在导电媒质中传播要衰减.故各种导电媒质中都存在不同程度的吸收.理论表明，金属的介电常数是复数，其折射率也是复数•现表示为~2=n-\k式中的实部q并不相当于透明介质的折射率.换句话说，n2的物理意义不对应于光在真空中速度与介质中速度的比值，所以也不能从它导出折射定律.式中k称为吸收系数.这里有必要说明的是，当~2为复数时，一般。和。也为复数•折射定律在形式上 1 2仍然成立，前述的菲涅尔反射系数公式和椭偏方程也成立.这时仍然可以通过椭偏法求得参量d,n和k,但计算过程却要繁复得多.本实验夜测厚金属铝的复折射率.为使计算简化，将式(15.25)改写成以下形式~=n-inK由于待测厚金属铝的厚度d2与光的穿透深度相比大得多，在膜层第二个界面上的反射光可以忽略不计，因而可以直接引用单界面反射的菲涅尔反射系数公式(15.4).经推算后得n1sin中］tan中］cos2材1+sin2材cosAk飞tan2甲sinA公式中的n1，01和k的意义均与透明介质情况下相同.实验内容关于椭偏仪的具体结构和使用方法，请参看仪器说明书.实验时为了减小测量误差，不但应将样品台调水平，还应尽量保证入射角。放置的准确性，保证消光状态的灵敏判别.另外，以下的测量均是在波长为632.8nm时的参数.而且,所有测量均是光从空气介质入射到膜面.

1测厚铝膜的复折射率取入射角。=n/3.按已述方法测得A和..由式(15.26)和式(15.27)式算出n和k值，并写出折射率的实部和虚部.2测硅衬底上二氧化硅膜的折射率和厚度已知衬底硅的复折射率为n=3.85—i0.02,取入射角。=7n/18.二氧化硅膜只有实部.膜厚在第一周期内. 1测出J和中后，利用列线图(或数值表)和计算机求出n和d,将两种方法的结果进行对比•并计算膜的一个周期厚应值d0.3测量k玻璃衬底上氟化镁(MgF)膜层的折射率和厚度(1)测k玻璃的折射率 2首先测出0无膜时K玻璃的△和中值，然后代入n=n(J,W,Q)的关系式中算出死值，测量时入射角Q取7^/18.关于七与三个参量的关系式，根据式(15.1),式(15.4),式(15.5)和式(15.6)，并令膜厚d=0,便可以算出n的实部n0的平方值和n3的虚部k值为(15.28)(1+sin2甲cosJ)2cos22“一sin2Asin22“n0=k2+sn2(15.28)(1+sin2甲cosJ)2sin2甲tan2“sinAsin4^2n(1+sin2“cosA)2 (15.29)(2)测透明介质膜氟化镁的折射率和厚度仍取入射角。=7n/18.膜厚在第一周期内.测出J和中后也用列线图和计算机求出结果.思考题用椭偏仪测薄膜的厚度和折射率时，对薄膜有何要求？在测量时，如何保证。较准确？试证明:|P-P|=n/2,|P-P|=n/2.若须同时测定单层膜的三个参数(折射率n,厚度d和吸收系数k),应如何利 2用椭偏方程？遗传算法在椭圆偏振测量中的应用彭子龙李佐宜胡煜谭立国杨晓非摘要：详细介绍了椭圆偏振法测量的基本原理和椭偏函数方程的建立，将遗传算法引入到椭偏法测试薄膜的折射率和厚度的计算中，改善了计算的收敛性并提高收敛速度。给出了计算程序流程图，重点分析了各遗传算子的设计。关键词：椭偏仪测量；遗传算法中图分类号：O484.5文献标识码：A文章编号：1002-1582(2000)03-0277-04ApplicationofgeneticalgorithminmeasurementwithellipsometerPENGZi-long,LIZuo-yi,HUYu,TANLi-guo,YANGXiao-fei(Dept.ofElectricalSci.&Tech.,HuazhongUniversityofSci.&Tech.,Wuhan430074,China)Abstract:Theprincipleoftheellipsometerandthefoundingoftheellipticfunctionweredescribeddetailedly.Thegeneticalgorithm(GA)wasintroducedtocalculatetherefractionandthicknessofsamplemeasuredbyellipsometer,whichgreatlyamelioratedtheconvergenceofcomputationandelevatedtheconvergentspeed.TheGAcalculatingframeworkwaspresentedandthestratageforGAwasamplyanalyzedandaspecialsoftwarewasdeveloped.Keywords:ellipsometer;measurement;geneticalgorithm随着薄膜技术在信息存储材料、光学及空间技术等领域中的广泛应用，薄膜光学常数的精确测定也越来越显示其举足轻重的作用。测定介质薄膜折射率的布儒斯特角方法和测定厚度的多光束干涉法早已为广大薄膜工作者所熟悉，但是受到计算手段等的限制，具有最高测试精度的椭圆偏振法一直没有得到广泛的实际应用。椭偏法不仅可以测定单层介质膜、吸收膜的复折射率和厚度，采用适当的测量方法和计算程序，它还可以同时测定多层介质膜、吸收膜的复折射率和厚度，为分析薄膜的光学特性提供了强有力的手段。椭偏法的另一个突出的优点是它是一种无损测量一一即不破坏待测样品也没有特别的样品要求。本文首先介绍椭偏法测量的基本原理和实验装置，然后结合程序框图分析在采用遗传算法计算椭偏法测试结果中遗传算子设计及收敛性等细节。2基本原理当一束线偏振光入射到薄膜表面时，入射光波中的电场强度P分量和电场强度S分量在两种媒质的交界面上的行为是不同的，即通常P分量和S分量的反射率和反射相移各不相同，于是在反射光的P分量和S分量之间产生了附加的振幅差和位相差，反射光一般会成为椭圆偏振光。在入射介质及基片的光学常数和入射角已知的情况下，这个反射的椭圆偏振光的参数仅由薄膜的光学常数决定。这就是椭偏法测量薄膜光学常数的根据。下面给出以多层膜为对象的具体表达式。为了计算多层膜的椭偏率，就必须先计算薄膜对P分量和S分量的菲涅尔反射系数r和r。计算多层膜菲涅尔反射系数的方法很多，如特征矩阵法、矢量法等」，这里从编程的角度考虑采用了递推法，如图1所示。递推法的基本思路是从多层膜的底层开始，依次将两个相邻界面按光学导纳等效为一个界面，一直等效到薄膜的表面，这时就相当于只有单一界面了。取k+1层的组合导纳为Y=n，则第j层的组合导纳的等效递推关系为k+1k+1图1递推法计算多层膜光学导纳示意图l鸾I浦：心3」'--■■-'■'-⑴其中6称为第j层的位相厚度e""。以上各式中n为第j层的光学导纳 j|也P分量1•"⑵各层的折射角放「由Snell定律决定。需要指出的是，当第j层为吸收膜即n为复数时，’•亦应当是一个复数。这样依次计算直到第一层，最后得到多层膜的等效组合导纳Y=Y1。则整个膜系P分量和S分量的菲涅尔反射系数分别为1⑶⑶则理论上该多层膜的椭偏率pc表示为⑷⑷另一方面，通过椭偏仪我们可以得到多层膜系的椭偏率测量值p。下面先介绍椭偏仪的基本结构和测试原理。消光椭偏仪的光路如图2所示，图中采用P-S坐标系。自然光经起偏器成线偏光E，再经45。的入/4波片成等幅椭偏光。经样品反射后一般会改变其偏振态，调节起偏器的方位角可使反射光成为线偏光E，最后经检偏器消光。入/4波片的作用是使E分解成E和E，如图3r所示，并且使E超前En/2的相位。一般入0/4波片的快轴方向取土45°。我们取+4快。方向慢所以图2消光椭圆偏振仪的光路图图3入/4波片作用下的线偏光；: (5)；'■；--⑹它们在X、Y轴上的投影合成为Eip和Eis,经简单的计算可得⑺⑺⑻⑻于是IEip|=IEisI(9)pip-pis=2P-n/2(10)上式表明我们得到了等幅且P、S相位差可调的入射偏振光。通过起偏器使反射光在膜系相位变化△的基础上给予足够的补偿，从而使之成为线偏光，即△+pip-pis=prp-prs=0或n。对应于+45°的入/4波片快轴取向，我们有(11)(11)由椭偏仪测得两组起偏器和检偏器的方位角(P,A),按(11)式计算并得到W、△的平均值，最后得到膜系椭偏率的测量值为p二tgW。仍(12)令p=p就建立起了膜系的椭偏函数方程。从以上推导可以看到，椭偏函数方程是一个超越方程。一般情况下入射介质和基片的折射率是已知的，当固定测试光的波长和入射角时，方程是各层膜的复折射率n及膜层厚度d的函数，它不可能通过解析方法直接求解，吴永汉等曾采用变量代换法，讨论了单层介质膜时的方程求解⑵。特别是当薄膜是多层结构时，方程中的未知量个数多于方程数，此时方程已不能唯一决定一组n及d.。进一步的分析可知，椭偏函数具有一定的周期性⑶，其周期是ndcos-=K，如果令f(n,d)=|p-pI，则f(n,d)是一个多峰函数，n、d的真实值的函数值应对应于某个周期中的峰值；如果我们根据其他信息(比如薄膜制备时间等)能够预先大概地判定膜系中各层膜的n及d的范围，则有可能采用合适的算法而得到n及d，徐瑛则采用蒙特卡洛方法讨论了多层膜系的椭偏方程求解并给出了计算流程图［们。我们分析并综合比较了各种算法的特点，决定采用遗传算法来求解椭偏函数方程。3遗传算法设计遗传算法是受到自然界生物从低级、简单到高级复杂的漫长而绝妙的进化过程的启发，借鉴于达尔文的物竞天演、优胜劣汰、适者生存的自然选择和自然进化的机理而产生的一种求解问题的高效并行全局搜索方法。它能在搜索过程中自动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解，尤其适合于处理传统搜索方法难以解决的高度复杂的非线性问题I"】及多参数优化问题。我们基于遗传算法的薄膜参数计算框图如图4所示，下面结合收敛性着重介绍遗传算子的设计。图4遗传算法的计算流程图编码考虑到表达的普遍性，将折射率统一视为复数(若薄膜为介质材料则复折射率的虚部为零)，这样连同膜层厚度总共为每层3个未知量。我们定义复折射率的实部和虚部的各占10个基因位，而膜层厚度占12位，一个膜层为一个子串。这样对于n层的薄膜而言，其染色体长度为32n。评价函数如上文所述，函数f(n,d)=Ip-p1，反映了计算值与测量值之间的差距。我们由此构筑了函数fz(n,dm)=|(p-p)/pI这一计算值与测量值之间的相对差距来描述解府合理程度。"该函数值越小表明当前的一组n、d的越合理(即适应值越大)，所以我们在通过解码计算得到所有个体的函数值之后，找出其中的最小值f'min并定义相应个体的适应值为1，其它个体的适应值则为ad.=f'min/f'.。复制算子 」 」采用定比例方法。设群体规模为N，我们规定在下一代中只有20%N的个体是由复制产生的，同时规定只有适应度最好的4个个体(相同个体只计一次)有生成下一代个体的权力，并且这4个最优个体在20%N中占的比例依次为：50%、25%、15%和10%。这种复制算子使得在下一代的种群中较优个体占一定规模但是不能完全控制进化过程，从而避免了计算过程中的不成熟收敛。交配池与交叉算子设定交配池规模为80%N,上一代中的所有不相同的个体全部作为交配池中的当然成员，其不足部分由随机产生的个体补足。然后指定上一代中的最优个体作为父代之一与交配池中的所有个体依次进行两点交叉，交叉位随机产生并且两交叉点间的距离为4个基因位，这样就使进化优势得到了积累。由此产生的80%N个个体和直接复制产生的20%N个个体合并为下一代的种群。变异算子群体的总基因位数为34n.N，变异概率为P，则在一次进化过程中共有34n.N.P位的基因发生突变，突变个体及突变基因的位置随机指定。我们固定群体中的第一个个体始终为适应值最好的个体，并且该个体不参与变异操作。这样在每一个进化过程中，只要产生了适应度更好的个体，该个体都将被无条件地保留，从而保证了计算的收敛性⑸。上述复制、交叉和变异算子的综合运用保证了种群在进化过程中始终有足够的多样性，从而加快了收敛速度。图5绘出了某次计算中种群多样性和收敛误差与遗传代数的关系。其中定义图5遗传计算过程中的种群多样性和收敛特性某一代中不同个体数

种昨规模收敛误差=在实际的计算过程中，我们尝试了各个参数不同取值时的计算效率和结果，最后确定的参数为N=150、P=0.8、P=0.2，最大遗传代数为Genmax二膜层数