导数基本知识点总结

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导数基本知识点总结1

一、函数的单调性

在(a，b)内可导函数f(*)，f′(*)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.

f′(*)≥0f(*)在(a，b)上为增函数.

f′(*)≤0f(*)在(a，b)上为减函数.

二、函数的极值

1、函数的微小值：

函数y=f(*)在点*=a的函数值f(a)比它在点*=a四周其它点的函数值都小，f′(a)=0，而且在点*=a四周的左侧f′(*)0，右侧f′(*)0，那么点a叫做函数y=f(*)的微小值点，f(a)叫做函数y=f(*)的微小值.

2、函数的极大值：

函数y=f(*)在点*=b的函数值f(b)比它在点*=b四周的其他点的函数值都大，f′(b)=0，而且在点*=b四周的左侧f′(*)0，右侧f′(*)0，那么点b叫做函数y=f(*)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(*)的极大值.

微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值.

三、函数的最值

1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(*)在[a，b]上必有最大值与最小值.

2、假设函数f(*)在[a，b]上单调递增，那么f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；假设函数f(*)在[a，b]上单调递减，那么f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法

1、确定函数f(*)的定义域；

2、求f′(*)，令f′(*)=0，求出它在定义域内的一切实数根；

3、把函数f(*)的间断点(即f(*)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺次排列起来，然后用这些点把函数f(*)的定义区间分成假设干个小区间；

4、确定f′(*)在各个开区间内的符号，依据f′(*)的符号判定函数f(*)在每个相应小开区间内的增减性.

五、求函数极值的步骤

1、确定函数的定义域；

2、求方程f′(*)=0的根；

3、用方程f′(*)=0的根顺次将函数的定义域分成假设干个小开区间，并形成表格；

4、由f′(*)=0根的两侧导数的符号来判断f′(*)在这个根处取极值的状况.

六、求函数f(*)在[a，b]上的`最大值和最小值的步骤

1、求函数在(a，b)内的极值；

2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

3、将函数f(*)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

特别提示：

1、f′(*)0与f(*)为增函数的关系：f′(*)0能推出f(*)为增函数，但反之不肯定.如函数f(*)=*3在(-∞，+∞)上单调递增，但f′(*)≥0，所以f′(*)0是f(*)为增函数的充分不须要条件.

2、可导函数的极值点需要是导数为0的点，但导数为0的点不肯定是极值点，即f′(*0)=0是可导函数f(*)在*=*0处取得极值的须要不充分条件.例如函数y=*3在*=0处有y′|*=0=0，但*=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.

3、可导函数的极值表示函数在一点四周的状况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的状况，是对函数在整个区间上的函数值的比较。

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一、早期导数概念

非常的形式大约在1629年法国数学家费马讨论了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发觉的因子E就是我们所说的导数f(A)。

二、17世纪广泛运用的“流数术”17世纪生产力的进展推动了自然科学和技术的进展在前人制造性讨论的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地讨论微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的改变率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的改变与函数的改变的比的构成最在于决断这个比当改变趋于零时的极限。

三、19世纪导数渐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简约表示{dy/d*)=lim(oy/o*)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数假如函数y=f(*)在变量*的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60时代以后魏尔斯特拉斯制造了ε-δ语言对微积分中涌现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今日常见的形式。

四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个详细的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有肯定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所运用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争辩的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。

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1.求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf(*)在区间(a,b)内可导：

(1)假如恒f(*)0，那么函数yf(*)在区间(a,b)上为增函数；

(2)假如恒f(*)0，那么函数yf(*)在区间(a,b)上为减函数；

(3)假如恒f(*)0，那么函数yf(*)在区间(a,b)上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：

①求函数yf(*)的定义域；

②求导数f(*)；

③解不等式f(*)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；

④解不等式f(*)0，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数yf(*)在区间(a,b)内可导：

(1)假如函数yf(*)在区间(a,b)上为增函数,那么f(*)0(其中使f(*)0的*值不构成区间)；

(2)假如函数yf(*)在区间(a,b)上为减函数,那么f(*)0(其中使f(*)0的*值不构成区间)；

(3)假如函数yf(*)在区间(a,b)上为常数函数,那么f(*)0恒成立。

2.求函数的极值：

设函数yf(*)在*0及其四周有定义，假如对*0四周的全部的点都有f(*)f(*0)(或f(*)f(*0))，那么称f(*0)是函数f(*)的微小值(或极大值)。

可导函数的极值，可通过讨论函数的单调性求得，基本步骤是：

(1)确定函数f(*)的定义域；

(2)求导数f(*)；

(3)求方程f(*)0的全部实根，*1*2*n，顺次将定义域分成假设干个小区间，并列表：*改变时，f(*)和f(*)值的

改变状况：

(4)检查f(*)的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

假如函数f(*)在定义域I内存在*0，使得对任意的*I，总有f(*)f(*0)，那么称f(*0)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不肯定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数f(*)在区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤：

(1)求f(*)在区间(a,b)上的极值；

(2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较，得到f(*)在区间[a,b]上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

f(*)(*A)的值域是[a,b]时，

不等式f(*)0恒成立的充要条件是f(*)ma*0，即b0；

不等式f(*)0恒成立的充要条件是f(*)min0，即a0。

f(*)(*A)的值域是(a,b)时，

不等式f(*)0恒成立的充要条件是b0；不等式f(*)0恒成立的充要条件是a0。

(2)证明不等式f(*)0可转化为证明f(*)ma*0，或利用函数f(*)的单调性，转化为证明f(*)f(*0)0。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，肯定要留意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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一、求导数的方法

(1)基本求导公式

(2)导数的四那么运算

(3)复合函数的导数

设在点*处可导，y=在点处可导，那么复合函数在点*处可导，且即

二、关于极限

1、数列的极限：

粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。记作：=A。如：

2、函数的极限：

当自变量*无限趋近于常数时，假如函数无限趋近于一个常数，就说当*趋近于时，函数的极限是,记作

三、导数的概念

1、在处的导数.

2、在的导数.

3、函数在点处的导数的几何意义：

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，

即k=，相应的切线方程是

注：函数的导