湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案

湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案岳阳市2017届高三教学质量检测试卷（二）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.已知为虚数单位，复数满足，则的值为（）A．2B．3C．D．53.设数列是等差数列，为其前项和，若，则（）A．4B．-22C．22D．804.函数的图象大致是（）A．B．C.D．5.已知是球表面上的点，平面，则球的表面积等于（）A．B．C.D．6.若直线与抛物线相交于两点，则等于（）A．B．C.D．湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第1页。7.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第1页。A．B．C.D．8.执行如下图所示的程序框图，输出的值为（）A．1B．C.D．9.已知点在角的终边上，函数图象上与轴最近的两个对称中心间的距离为，则的值为（）A．B．C.D．10.设，若关于的不等式组，表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（）A．B．C.D．11.已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第2页。A．B．C.D．湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第2页。12.已知直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题，第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.13.如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为．14.若点是函数的一个对称中心，则．15.已知函数，若恒成立，则的取值范围是．16.已知函数，数列中，，则数列的前100项之和．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在锐角中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第3页。18.某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第3页。（1）求居民月用水量费用（单位：元）关于月用电量（单位：吨）的函数解析式；（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占66%，求的值；（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率.且同组中的数据用该组区间的中点值代替.记为该市居民用户3月份的用水费用，求的分布列和数学期望.19.如图所示，正三角形所在平面与梯形所在平面垂直，，，为棱的中点.（1）求证:平面；（2）求证：平面；湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第4页。（3）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第4页。20.已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆相交于两点，与圆相交于两点，当的面积最大时，求弦的长.21.已知函数(是自然对数的底数)在处的切线与轴平行.（1）求函数的单调递增区间；（2）设，若，不等式恒成立，求的最大值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线过定点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.23.选修4-5：不等式选讲设函数.求不等式的解集；若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第5页。湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第5页。试卷答案一、选择题1-5:DDCBA6-10:CABCD11、12：AB二、填空题13.14.15.16.-10200三、解答题17.（1）∵，∴由正弦定理得：，∴，即：，∴，∵为锐角三角形，∴，∴即；（2）∵，∴由正弦定理有：，∴由正弦定理有：，∴，∵，∴，湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第6页。∴湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第6页。∵为锐角三角形，∴，∴，∴，∴.18.（1）当时，；当时，，当时，.所以与之间的函数解析式为：；（2）由（1）可知，当时，，则，结合频率分布直方图可知：，∴；（3）由题意可知：的可能取值为1，3，，5，7，9，11.则，所以的分布列：13579110.10.20.30.20.150.05．湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第7页。19.（1）如图，取中点，连接，因为为中点，所以且，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第7页。平面，平面，∴平面.（2）又因为为正三角形，所以，又因为面面，面面.面，所以面，.又因为，所以面，所以面.（3）取中点，再连接.易证面，所以为直线与平面所成的角，即，设，可求得.以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以，湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第8页。设面的法向量为，则，令，得，，湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第8页。所以，所以，因为二面角为钝角，其余弦值为.20.（1）设椭圆的标准方程为，依椭圆的定义可得：∴，∵，∴，∴椭圆的标准方程为：.（2）设直线的方程为，代入椭圆方程化简得：，设，则，的面积，令，则，当且仅当，即时取等号.此时，直线的方程为，圆心到的距离为，又圆半径为，故所求弦长为.21.（1），由已知得，得，则.令，解得或，故函数的单调递增区间为和.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第9页。（2）不等式，可化为，记，，湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，当前为第9页。当时，恒成立，则在上递增，没有最小值，故不成立；当时，令，解得，当时，；当时，，当时，函数取得最小值，即，则，令，，令，则，当时，；当时，，故当时，取得最大值，所以，即的最大值为.22.（1）∵，∴，∴，∴曲线的直角坐标方程为：，∵直线过点，且倾斜角为，∴直线的参数方程为：（为参数），即（为参数）.（2）设两点对应的参数分别为，将直线与曲线的方程得：，∴，∴.湖南省岳阳市2017届高考数学二模理科试题含答案全文共11页，