2022-2023学年人教A版（2019）选择性必修第二册 4.4数学归纳法 课件（16张）_第1页
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文档简介

第四章数列4.4数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.新课探究

方法总结

新课引入1.数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当

时命题成立；(2)(归纳递推)以当“

(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当

时命题也成立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.n＝kn＝k＋1n＝n0(n0∈N*)n0新课引入2.数学归纳法的证明形式记P(n)是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：条件：(1)

为真；(2)若

为真，则

也为真.结论：

为真.3.数学归纳法中的两个步骤在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当

时结论成立，即命题

；第二步是证明一种

关系，实际上是要证明一个新命题：

.只要将这两步交替使用，就有

真，

真……

真，

真……，从而完成证明.P(n0)P(k)P(k＋1)P(n)n＝n0P(n0)为真递推若P(k)为真，则P(k＋1)也为真P(n0)P(n0＋1)P(k)P(k＋1)新课引入

新课引入

方法总结用数学归纳法证明等式的策略应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：(1)n＝n0时，等式的结构.(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项.例题解析例2：求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).【证明】

(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立.(2)假设当n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1).当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立.由(1)、(2)可知，等式对任何n∈N*都成立.例题解析

【注意】数学归纳法中的起始值不一定是1方法总结用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.方法总结(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等.例题解析

例题解析

课堂小结1.知识清单：(1)数学归纳法的概念

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