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从定义出发给出旋度公式的推导一班 唐浩月2903101013旋度的概念由于矢量场在点 M出的环流密度与面元 S的法线方向en有关，因此，在矢量场中，一个给定点M处延不同方向，它的环流密度值一般是不同的。在某一个确定方向上，环流面密度可能取很大的值。为了描述这个问题，引入了旋度的概念。矢量场F在点M处的旋度是一个矢量，记为rotF,它的方向沿着使得环流密度去的最大值的面元法线方向，大小等于该环流密度最大值，即rotFnlim1FdlmaxS0Sc公式推导若在场A（M）中的一点M处存在这样的一个向量，其方向为A，在点M处环量密度最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称此向量为A（M）在M的旋度，记为rotA。我们首先推导环量密度的计算公式。建立直角坐标系，设A (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为区域上的G R3上的C(1)类函数，en (cos,cos ,cos)，由环量密度的定义以及 Stokes公式的向量形式可知：dTlim1AdSlim1(*A)endScdSSMSSMSS利用积分中值定理可知：(*A)endS[(*A)en]MS,M(S)S由于(*A)*en在M处连续，从而dTlim1AdSlim1(*A)endSdSScSSSMSM或dT(RQ)cos(PR)cos(QP)cosdSyzzxxy上面两公式就是环量密度的计算公式。从而可知：dTdS

*Aencos其中为向量与的夹角，因而当，即取于向量同向时，环量密度最大，为。通过旋度的定义可知，向量正是场 A（M）在点M的旋度，即：rotA *A或精品文档交流i j krotAx y zP Q a33R(RQ)i(PR)j(QP)kyzzxxy(RQ)cos(PR)cos(QP)cosyzzxxy【下载本文档，可以自由复制内容

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