误差分析与处理

章误差分析与数据处理ErrorAnalysisandDataProcessing2021/5/91一、误差的基本概念

测量误差：是指某被测量的实测值与其真实值的差别。

偏差：是指测量值与平均值之差。

真值：是指在一定条件下，某个物理量的实际值。绝对误差：某一量所测得的值和真值之差。相对误差：表示某一量的测量值偏离真值的程度1误差的表示方法2021/5/92

精度:高低用误差来衡量，误差小则精度高，误差大则精度低。准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度。2误差的相关概念2021/5/933引起各种误差的主要因素方面系统误差随机误差测量方法依据近似的计算公式;采用近似的测量方法;设计、工艺测量基准不一致等测量工具标准器具或量仪由于设计、制造、装配、调试和使用等造成的缺点仪器零件形状、尺寸、运动链的间隙、摩擦、磨损及元器件性能不稳定测量环境温度、湿度、气压、振动、电磁场等按一定规律变化的干扰多种环境因素同时变化的综合影响测量人员生理特点或不良习惯造成的观测偏差工作不细严,_致使在观测、操作等方面造成的随意性差错值得强调的是，误差不是错误，测量结果包含了误差范围恰恰是测量结果正确和科学的表达。测量结果数值要用有效数字来表示。2021/5/944误差的分类按原因分类系统误差随机误差过失误差2021/5/95三类误差的关系应当指出，上述三类误差之间在一定条件下是可以互相转化的。对于某一具体误差，在此条件下为系统误差，而在另一条件下可为随机误差，反之亦然。例如，按一定公称尺寸制造一批量块，其中任一块的制造误差，对“一批”来说是随机误差；而对其中某一块而言，它的制造误差是固定值，在使用这个量块时，它的固定误差又属系统误差。掌握误差转化的特点，就可将系统误差转化为随机误差，用概率统计的方法来减小误差的影响；或将随机误差的某些成分分离出来，作为系统误差处理，用修正方法减小其影响，疏失误差有时亦难区别于随机误差，故常用随机误差来处理。引起各类误差的因素，往往是多方面的，错综复杂的。但可归结为几个主要方面列于下表中。2021/5/965误差的表示方法1绝对误差Δ相对误差γ引用误差γn最大引用误差γmn2021/5/975误差的表示方法2绝对误差：测量值Ax与被测量真值A0之差Δ=Ax-A0相对误差：绝对误差Δ与真值A0之比，并用百分数表示。

γ=引用误差：仪表某一刻度点读数的绝对误差Δ比上仪表量程上限Am

，并用百分数表示。

γn=ΔA0ΔAmx100%x100%2021/5/985误差的表示方法3最大引用误差：仪表在整个量程范围内的最大示值的绝对误差Δm比仪表量程上限Am

，并用百分数表示。

γmn=AmΔmx100%2021/5/996关于真值实际上，真值是难于得到的，实际中，人们通常用两种方法来近似确定真值，并称之为约定真值。一种方法是采用相应的高一级精度的计量器具所复现的被测量值来代表真值，另一种方法是在相同条件下多次重复测量的算术平均值来代表真值。另外在产品检测中，某项被测量的设计指标，既标称值视作已知真值，而测量值与标称值之差，就是产品制作误差（注意：这里的测量值与其算术平均值之差才是测量误差）。理论值作为真值，如三角形内角和为18002021/5/910系统误差：系统误差是指按一定规律出现的误差；在同一条件下，多次重复测试同一量时，误差的数值和正负号有较明显的规律。系统误差通常在测试之前就已经存在，而且在试验过程中，始终偏离一个方向，在同一试验中其大小和符号相同。例如，电压表示值的偏差等。特征：有其对应的规律性，它不能依靠增加测量次数来加以消除，一般可通过试验分析方法掌握其变化规律，并按照相应规律采取补偿或修正的方法加以消减。

第二节系统误差2021/5/911按产生的原因可分为：（1）仪器误差

它是由于测量仪器本身不完善或老化所产生的误差。（2）安装误差

它是由于测量仪器的安装和使用不正确而产生的误差。（3）环境误差

它是由于测量仪器使用环境条件与仪器使用规定的条件不符而引起的误差。（4方法误差

它是由于测量方法或计算方法不当所形成的误差，或是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等原因而导致的误差。（5）操作误差

也称人为误差。这是由于观察者先天缺陷或观察位置不对或操作错误而产生的误差。1系统误差的分类2021/5/9122消除系统误差的方法

交换抵消法将测量中某些条件互相交换，使产生系统误差的原因互相抵消。

替代消除法在一定测量条件下，用一个精度较高的已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变。

预检法是一种检验和发现测量仪器系统误差的常用方法。可将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量。

在测量工作之前进行2021/5/913例子：消除系统误差--比较法电桥法测量电阻由于R1,R2,R3存在误差，使Rx测量出现误差用标准电阻Rs代替Rx接入电桥，在R1,R2,R3保持不变时仍使电桥平衡此时有:Rs=Rx而与R1,R2,R3的误差无关；2021/5/914例子：消除系统误差--正负误差补偿法为了消除系统误差，还可以采用正负误差补偿法，即对同一被测量反复测量两次，并使其中一次误差为正，另一次误差为负，取其平均值，便可消除系统误差。例如为消除外磁场对电流表读数的影响，可在一次测量后，将电流表位置调转１８０°，重新测量一次，取前后两次测量结果的平均值，可以消除外磁场带来的系统误差。2021/5/915例子：消除系统误差--交换法以等臂天平称量为例，第一次在右边称盘中放置被测物Ｘ，左边称盘中放置砝码Ｐ，使得天平平衡，如图，这时被测物的质量为X=PL1/L2，当两臂相等时，Ｘ＝Ｐ。如果两臂存在微小差异，就会使测量结果中含有系统误差。为了抵消这一系统误差，我们将被测物与砝码互换位置，则此时天平不会平衡，改变砝码质量为Ｐ’时，使天平平衡，则这时被测物的质量为X=P’L2/L1，所以既正确值Ｘ是交换前后两次测得值的几何平均值。这时测量结果中不再含有等臂天平不等臂引起的系统误差。（注意：这时还存在着其它因素产生的系统误差，如砝码本身的系统误差）。2021/5/916不等臂天平系统误差的消除-交换法PXL1L2P’XL1L22021/5/917例子：消除系统误差—校正法所谓校正值就是被测量的真值Ａ0（即标准仪表的读数）与仪表读数Ax之差用δ表示。校正值在数值上等于绝对误差，但符号相反。如果在测量之前能预先求出测量仪表的校正值，或给出仪表校正后的校正曲线或校正表格，那么就可以从仪表读数与校正值求得被测量的真值即：

A0=Ax+δ2021/5/918算术综合法前提数学表达式几何综合法前提数学表达式应用举例：例题3-13系统误差的综合代数综合法前提数学表达式绝对误差：2021/5/919第三节随机误差（偶然误差）随机误差（偶然误差）：在同一条件下，对某一量多次重复测量时，各次的大小和符号均以不可预定的规律变化的误差，谓之随机误差或偶然误差。是具有不确定性的一类误差。它的产生是由测量过程中出现的各种各样不显著而又难于控制的随机因素综合影响所造成。

特征：个别出现的偶然性而多次重复测量总体呈现统计规律，服从高斯（GASS）分布，也称正态分布；由于随机误差具有以上这些特性，所以在工程上可以对被测量进行多次重复测量的算术平均值表示被测量的真值

。2021/5/920随机误差68.3%95.5%99.7%2021/5/921

随机误差分布的性质有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。2021/5/922对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。2021/5/923正态分布的分布密度函数为

式中，——标准误差（均方根误差）；

e——自然对数的底。二标准误差和概率积分2021/5/924二、正态分布密度函数与概率积分对于一定的被测量，在静态情况下，σ的大小表征着诸测定值的弥散程度。σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大；σ值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小，表明测量的精密度越高。2021/5/925σ并不是一个具体的误差，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差δi可能都不等于σ，但我们认为这列测定值具有同样的均方根误差σ；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的σ值。2021/5/926随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差δi的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。2021/5/927三测量结果的最佳值最佳值定义等精度测量最小二乘法原理运用最小二乘法原理，可以解决从一列等精度测量的观察值中确定被测量的最佳值。最小二乘法的基本原理是：在具有同一精度的许多观测值中，最佳值应是能使各观测值的误差的平方和为最小。结论：

122021/5/9284有限测量次数中误差的计算和各种误差的表示法。1、标准误差2、算术平均值的标准误差（3-17）3、算术平均值的极限误差（3-19）4、相对极限误差（3-20）最后测量结果可写成：（3-21）2021/5/929粗大误差是指不能用测量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果。含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。第四节可疑测量数据的剔除产生粗大误差的原因：测量者的主观原因客观外界条件的原因2021/5/930一、拉伊特准则拉伊特准则(3σ准则)：如果测量列中某一测定值残差vi的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，那么可认为该测量列中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。坏值剔除后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准误差，并再次进行检验看余下的数据中是否还含有坏值。2021/5/931拉伊特准则是判定粗大误差存在的一种最简单的方法。拉伊特准则是在重复测量次数n趋于无穷大的前提下建立的，当n有限时，尤其是当n很小时（如n≤10），此准则就不可靠。2021/5/932二、格拉布斯准则

对某一被测量进行多次等精度独立测量，获得一列测定值x1，x2，…，xn。为了检查测定值中是否含有粗大误差，将xi由小到大按顺序排列为 2021/5/933格拉布斯按照数理统计理论导出了统计量的分布，取定危险率a，可求得临界值g0(n,a)，而2021/5/9342021/5/935

这样，得到了判定粗大误差的格拉布斯准则：若测量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足者，则可认为含有残差vi的测定值是坏值，因此该测定值按危险率a应该剔除。2021/5/936用格拉布斯准则判定测量列中是否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率可能得到不同的结果。危险率的含义是按本准则判定为异常数据，而实际上并不是，从而犯错误的概率。危险率就是误剔除的概率。2021/5/937例5

测某一介质温度15次，得到以下一列测定值数据（℃）：

20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，

20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，

20.42，20.41，20.39，20.39，20.40

试判断其中有无含有粗大误差的坏值。2021/5/938解：(1)按大小顺序将测定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和测量列标准误差2021/5/939(3)选取a＝5％，查表得g0(15,5％)＝2.41(4)计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准则判定因故x(1)＝20.30在a＝5％下被判定为坏值而剔除。2021/5/940(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和标准误差，查表求新的临界值，再进行判定。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。2021/5/941判别法的选择原则：除了上述莱依特、格拉布斯准则外，可疑数据剔除的判别方法还有狄克准则、肖维涅准则、t检验准则等。自学对上述两种常用准则的一般选择原则简述如下：1）从理论上讲,当测量次数n趋于无穷时，采用莱依特准则更为合适。若，则采用格拉布斯准则。2）在最多只有一个异常值时，采用格拉布斯准则来判别坏值的效果最佳。3）在可能存在多个异常值时，应采用两种以上的准则来交叉判别，否则效果不佳。2021/5/942第五节随机误差的计算一、直接测量误差的计算进行随机误差计算前，一般按以下步骤进行：①首先剔除过失（或粗大）误差。②修正系统误差③最后在确定不存在粗大误差与系统误差的情况下，对随机误差进行分析计算。

步骤：12(黑板说明)1）2）3）4）

5）6）7）例子：内燃机测试式3-52021/5/943二权的概念非等精度测量中，。。。。。引入：权的概念

“权”是用来评价测量结果质量的标志，当对二次或若干次测量结果进行对比时，“权”的数值越大，表示该测量结果的可信赖度越高。“权”的数值与测量的标准误差密切相关。

权定义；数学表达：3-24

最佳值：计算式3-25

加权算术平均值均方根误差：3-26例子：3-62021/5/944间接测量的误差计算1只测一次误差计算式例子：转速测量2运算中的函数误差加减乘除多参数间接测量函数误差计算的形式数学式例子3-282021/5/945

间接测量误差分析与处理（具体）在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。研究函数误差有下列三个基本内容：已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。

2021/5/946

数学分析。。。。。结论Ⅰ：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。结论Ⅱ：间接测量值的标准误差是各独立直接测量值的标准误差和函数对该直接测量值偏导数乘积的平方和的平方根。

2021/5/947

最后，应指出以下两点：

1．上述各公式是建立在对每一独立的直接测量值xi进行多次等精度独立测量的基础上的，否则，上述公式严格地说将不成立。

2．对于间接测量值与各直接测量值之间呈非线性函数关系的情况，上述公式只是近似的，只有当计算y的误差允许作线性近似时才能使用。

2021/5/948二、函数误差的分配

在间接测量中，当给定了函数y的误差，再反过来求各个自变量的部分误差的允许值，以保证达到对已知函数的误差要求，这就是函数误差的分配。误差分配是在保证函数误差在要求的范围内，根据各个自变量的误差来选择相应的适当仪表。

2021/5/949

1．按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即

由此可得如果各个测量值误差满足上式，则所得的函数误差不会超过允许的给定值。2021/5/950

2．按可能性调整

因为计算得到的各个局部误差都相等，这对于其中有的测量值，要保证其误差不超出允许范围较为容易实现，而对于有的测量值就难以满足要求，因此按等作用原则分配误差可能会出现不合理的情况。 同时当各个部分误差一定时，相应测量值的误差与其传递函数成反比。所以尽管各个部分误差相等，但相应的测量值并不相等，有时可能相差很大。2021/5/951

由于存在以上情况，对等作用原则分配的误差，必须根据具体情况进行调整。调整的基本原则：测量仪器可能达到的精度技术上的可能性经济上的合理性各直接测量量在函数中的地位2021/5/952

对那些技术上难以获得较高测量精度或者需要花费很高代价才能取得较高测量精度的直接测量量，应该放松要求，分配给较大的允许误差；对那些比较容易获得较高测量精度的直接测量量，则应该提高要求，分配给较小的允许误差；考虑到各直接测量量在函数关系中的地位不同，对间接测量结果的影响也不同，对于那些影响较大的直接测量量，应该视具体情况提高其精度要求。2021/5/953

3．验算调整后的总误差 误差调整后，应按误差分配公式计算总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项进行补偿。若发现实际总误差较小，还可以适当扩大难以实现的误差项。2021/5/954第六节传递误差测量系统分类：开环闭环开环系统：框图