2023年高考数学一轮复习习题：第七章 不等式、推理与证明

第1节不等式的性质与一元二次不等式考纲要求1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识梳理1．实数大小比较的依据(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1．有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．3．当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立．2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝()A．(－2,3) B．(1,3)C．(3,4) D．(－2,4)答案B解析由题意知A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝(1,3)．3.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) B．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)C.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)答案B解析因为c＜d＜0，所以0＞eq\f(1,c)＞eq\f(1,d)，两边同乘－1，得－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.两边同乘－1，得eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).4．(2020·厦门期末)设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A.5．(2020·镇江期末)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－k＋\f(4500,x)))L，其中k为常数．当汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为()A．[60,120] B．[60,100]C．[45,100] D．[45,120]答案B解析由题意得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120－k＋\f(4500,120)))＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20))L，依题意得eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4500,x)))－20≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，所以60≤x≤100.故选B.6．(2021·北京海淀区调研)若关于x的不等式kx2－kx<1的解集是全体实数，则实数k的取值范围是________．答案(－4,0]解析当k＝0时，0<1恒成立，当k≠0时，要使kx2－kx－1<0的解集是全体实数，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,k2＋4k<0，))解得－4<k<0.综上可知，－4<k≤0.故k的取值范围是(－4,0].考点一不等式的性质及应用1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|答案D解析由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误．2．若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q答案B解析(作差法)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.3．若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则α－β的取值范围是________．答案(－π，0)解析由－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，α<β，得－π<α－β<0.4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．答案[5,10]解析法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法二由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1＝a－b，,f1＝a＋b))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f－1＋f1]，,b＝\f(1,2)[f1－f－1]，))∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4))确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(－2)＝4a－2b过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，取得最小值4×eq\f(3,2)－2×eq\f(1,2)＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.感悟升华1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．3．利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．考点二一元二次不等式的解法【例1】(1)不等式0<x2－x－2≤4的解集为________．(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．答案(1){x|－2≤x<－1，或2<x≤3}(2){x|x≥3，或x≤2}解析(1)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－2≤4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2>0，,x2－x－6≤0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2或x<－1，,－2≤x≤3.))故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1，或2<x≤3}．(2)由题意，知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(－1,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.所以，所求不等式的解集为{x|x≥3或x≤2}．【例2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.②当a＞0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≥0，解得x≥eq\f(2,a)或x≤－1.③当a＜0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,a)))(x＋1)≤0.当eq\f(2,a)＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤eq\f(2,a)；当eq\f(2,a)＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；当eq\f(2,a)＜－1，即－2<a<0时，解得eq\f(2,a)≤x≤－1.综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a＞0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,a)或x≤－1))))；当－2＜a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)≤x≤－1))))；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤\f(2,a))))).感悟升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练1】(1)(2021·西安一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案C解析关于x的不等式ax－b<0即ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).当a>0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(a,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，＋∞)).考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数集R上恒成立【例3】对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]答案D解析当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4<0，))解得－2<a<2.综上，实数a的取值范围是(－2,2]．角度2在给定区间上恒成立【例4】设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)))或m＜0))解析要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．法一令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.所以m＜eq\f(6,7)，则0＜m＜eq\f(6,7).当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，所以m＜0.综上所述，m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)或m＜0)))).法二因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq\f(6,x2－x＋1).因为函数y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq\f(6,7)，所以只需m＜eq\f(6,7)即可．因为m≠0，所以m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜\f(6,7)))或m＜0)).角度3给定参数范围的恒成立问题【例5】对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．解由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，))解得x<1或x>3.故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．感悟升华1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．【训练2】函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．(2)由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，令g(x)＝x2＋ax＋3－a，则有①Δ≤0或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0，))或③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，解③得－7≤a<－6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))解得x≤－3－eq\r(6)或x≥－3＋eq\r(6).∴实数x的取值范围是(－∞，－3－eq\r(6)]∪[－3＋eq\r(6)，＋∞)．一元二次方程根的分布情况一元二次方程的根即为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，一元二次方程的根的分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究．往往根据方程根的情况结合对应二次函数的图象建立不等关系式(组)，求得参数的取值范围．【例1】已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．解设f(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f(0)＜0，即(2m＋1)(m－1)＜0，解得－eq\f(1,2)＜m＜1，即m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).【例2】已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．解设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,－\f(－m＋1,2×2)＞0，,f0＞0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋12－8m＞0，,m＞－1，,m＞0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜3－2\r(2)或m＞3＋2\r(2)，,m＞0))⇒0＜m＜3－2eq\r(2)或m＞3＋2eq\r(2)，即m的取值范围为(0,3－2eq\r(2))∪(3＋2eq\r(2)，＋∞)．【例3】已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．解由(m＋2)·f(1)＜0，即(m＋2)·(2m＋1)＜0⇒－2＜m＜－eq\f(1,2)，即m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2))).A级基础巩固一、选择题1．(2021·石家庄模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|lg(x＋1)≤1}，则(∁RA)∩B＝()A．{x|－1≤x<3} B．{x|－1≤x≤9}C．{x|－1<x≤3} D．{x|－1<x<9}答案C解析由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3；由lg(x＋1)≤1，得0<x＋1≤10，解得－1<x≤9.所以A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|－1<x≤9}，则∁RA＝{x|－1≤x≤3}，因此，(∁RA)∩B＝{x|－1<x≤3}，故选C.2．(2020·汉中二模)若a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A．|a|>|b| B．eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D．a2>b2答案B解析由于a<b<0，两个负数中，较小的其绝对值较大，于是|a|>|b|，故A正确；函数f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上单调递减，又a<a－b<0，所以eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)，故B错误；因为a<b<0，所以eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故C正确；两个负数，越小的其平方越大，所以当a<b<0时，a2>b2，故D正确，综上，只有B项错误．3．若a>0，且a≠7，则()A．77aa<7aa7B．77aa＝7aa7C．77aa>7aa7D．77aa与7aa7的大小不确定答案C解析eq\f(77aa,7aa7)＝77－aaa－7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a，则当a>7时，0<eq\f(7,a)<1,7－a<0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7；当0<a<7时，eq\f(7,a)>1,7－a>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,a)))7－a>1，∴77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7.4．(2021·武汉调研)已知实数a，b，c满足c<b<a，那么“ac<0”是“ab>ac”成立的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析已知c<b<a，若ac<0，则必有c<0<a，由b>c，可得ab>ac，即ac<0⇒ab>ac；若ab>ac，且c<b<a，则a>0，b，c符号不确定，不一定有ac<0.因此，“ac<0”是“ab>ac”成立的充分不必要条件．5．(2020·廊坊调研)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f(x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f(－2x)<0的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))答案A解析由f(x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故eq\f(1,a)＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(3,2)，故不等式f(－2x)<0的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).故选A.6．已知x∈(0，＋∞)，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是()A．(2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)) B．(－∞，2)C．(－∞，2＋2eq\r(2)) D．[2＋2eq\r(2)，＋∞)答案C解析法一令t＝3x(t>1)，则由已知得，函数f(t)＝t2－mt＋m＋1在t∈(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，则有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,\f(m,2)≤1，,f1＝1－m＋m＋1≥0，))解得m<2＋2eq\r(2).法二因为x∈(0，＋∞)，所以3x>1,3x－1>0，所以由9x－m·3x＋m＋1>0得m<eq\f(9x＋1,3x－1).令f(x)＝eq\f(9x＋1,3x－1)，因为f(x)＝eq\f(9x＋1,3x－1)＝3x－1＋eq\f(2,3x－1)＋2≥2eq\r(2)＋2(当且仅当3x＝1＋eq\r(2)时取“＝”)，所以m<2＋2eq\r(2).二、填空题7．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.8．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________________．答案(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)解析因为不等式(x＋4)(x－6)>0解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．9．设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cosx＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析令t＝cosx，t∈[－1,1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1,1]恒成立，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－a2≤0，,2－a－a2≤0，))∵a<0，∴a≤－2.三、解答题10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)＞0；(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3).所以不等式的解集为{a|3－2eq\r(3)＜a＜3＋2eq\r(3)}．(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝\f(a6－a,3)，,－1×3＝－\f(6－b,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3±\r(3)，,b＝－3.))故a的值为3±eq\r(3)，b的值为－3.11．甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解(1)根据题意，得200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000，整理得5x－14－eq\f(3,x)≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y元，则y＝eq\f(900,x)·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，故当x＝6时，ymax＝457500元．即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元．B级能力提升12．(2021·北京通州区期中)2014年6月22日，中国大运河项目在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产大会上成功入选世界遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发至漕运码头，又立即返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v1，在逆水中的速度为v2(v1≠v2)，则游船此次航行的平均速度eq\x\to(v)与eq\f(v1＋v2,2)的大小关系是()A.eq\x\to(v)>eq\f(v1＋v2,2) B．eq\x\to(v)＝eq\f(v1＋v2,2)C.eq\x\to(v)<eq\f(v1＋v2,2) D．eq\x\to(v)≥eq\f(v1＋v2,2)答案C解析设两码头的距离为S，则eq\x\to(v)＝eq\f(2S,\f(S,v1)＋\f(S,v2))＝eq\f(2v1v2,v1＋v2)，eq\x\to(v)－eq\f(v1＋v2,2)＝eq\f(2v1v2,v1＋v2)－eq\f(v1＋v2,2)＝eq\f(4v1v2－v1＋v22,2v1＋v2)＝eq\f(－v1－v22,2v1＋v2)<0(v1≠v2)，即eq\x\to(v)<eq\f(v1＋v2,2)，故选C.13．(2020·安徽江南十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝3x2，且不等式f(x＋m2)≥4f(x)对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，则实数m的取值范围是________________．答案(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．设x<0，则－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－3x2，故f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2x≥0，,－3x2x<0.))从而4f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32x2x≥0，,－32x2x<0))＝f(2x)，故不等式f(x＋m2)≥4f(x)同解于f(x＋m2)≥f(2x)，又f(x)为R上的单调增函数，故x＋m2≥2x，即m2≥x对任意的x∈[m，m＋2]恒成立，∴m2≥m＋2，即m≤－1或m≥2.14．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．解(1)由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范围为(－∞，－2)．

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3．线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2．判定二元一次不等式表示的区域(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方．(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是eq\f(z,b).2．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面区域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.3．已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是()A．3，－3 B．2，－4C．4，－2 D．4，－4答案C解析不等式组所表示的平面区域如图所示．其中A(－1，－1)，B(2，－1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.4．(2020·浙江卷)若实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))则z＝x＋2y的取值范围是()A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞)答案B解析画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线经过点A(2,1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．5.(2020·汉中质检)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y≥0))所表示的平面区域的面积等于________．答案eq\f(1,4)解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，B(1,0)和C(2,0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S△ABC＝eq\f(1,2)×(2－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).6．(2021·成都诊断)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)答案B解析根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.2．在平面直角坐标系xOy中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤3，,－1≤x－y≤1))表示图形的面积等于()A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0,1)，D(1,0)，边长AD＝eq\r(2)，则正方形的面积S＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2.3．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案D解析作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域(如图中阴影部分表示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0<a≤1或a≥eq\f(4,3).感悟升华平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．考点二求目标函数的最值角度1求线性目标函数的最值【例1】(2021·郑州模拟)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－2y＋3≥0，,x－y≥0，))则目标函数z＝2x－y的最小值为()A．－1 B．0 C．1 D．3答案C解析由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，将z＝2x－y变为y＝2x－z，当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x))得A(1,1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选C.角度2求非线性目标函数的最值【例2】(1)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥1，))则z＝eq\f(y,x＋2)的取值范围是________．(2)(2020·景德镇模拟改编)若变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))则(x－1)2＋y2的最小值为________．答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,6)))(2)eq\f(4,5)解析(1)作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥1))表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2)))，D(2,3)，eq\f(y,x＋2)的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2,0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为eq\f(2,3)，直线PC的斜率为eq\f(7,6)，由图可知z＝eq\f(y,x＋2)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(7,6))).(2)画出约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0))表示的可行域，如图中阴影部分所示．设z＝(x－1)2＋y2，则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，点(1,0)到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(|2×1－0|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,\r(5))，则zmin＝d2＝eq\f(4,5)，所以(x－1)2＋y2的最小值为eq\f(4,5).角度3求参数值或取值范围【例3】(2021·太原调研)已知实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋5≥0，,x＋y－1≤0，,x＋a≥0，))若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝()A．1 B．2 C．4 D．8答案B解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a－5,3)))时，z取得最小值－4，所以－a＋2·eq\f(a－5,3)＝－4，解得a＝2.感悟升华线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：例如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝eq\r(x－a2＋y－b2)；③斜率型：形如z＝eq\f(y－b,x－a).(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．【训练1】(1)(2021·昆明质检)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－2≤0，,2x－y＋3≥0，,x＋y≤0，))则eq\f(y＋4,x＋6)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)) B．[－3,1]C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,7)，1))(2)若x，y满足条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－5y＋6≥0，,2x＋3y－15≤0，,y≥0，))当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(3,5))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，＋∞))答案(1)B(2)C解析(1)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z＝eq\f(y＋4,x＋6)表示可行域内的点与点P(－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点A(－1,1)处取得最大值为eq\f(1＋4,－1＋6)＝1，目标函数在点B(－5，－7)处取得最小值为eq\f(－7＋4,－5＋6)＝－3，故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.(2)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－eq\f(2,3)<－a<eq\f(3,5)，即－eq\f(3,5)<a<eq\f(2,3)时，z＝ax＋y仅在x＝y＝3时取得最大值，故选C.考点三实际生活中的线性规划问题【例4】(2020·安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价莴笋5吨1万元0.5万元西红柿4.5吨0.5万元0.4万元那么，该农户一年种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)的最大值为________万元．答案43解析设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤30，,x＋0.5y≤25，,x≥0，,y≥0，))z＝0.5×5x＋0.4×4.5y－(x＋0.5y)＝1.5x＋1.3y，作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，当直线z＝1.5x＋1.3y经过点A时，z取得最大值，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30，,x＋0.5y＝25，))解得x＝20，y＝10，即A(20,10)，代入z＝1.5x＋1.3y可得z＝43.感悟升华1.解线性规划应用题的步骤．(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题．【训练2】某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元 B．36000元C．36800元 D．38400元答案C解析设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤21，,y－x≤7，,36x＋60y≥900，,x，y∈N.))目标函数为z＝1600x＋2400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x＝7，,36x＋60y＝900，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝12，))故N(5,12)，故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．“隐性”的线性规划问题数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数量与数量的关系，抽象出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查．【典例】如果函数f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上单调递减，则mn的最大值为()A．16 B．18 C．25 D．eq\f(81,2)答案B解析f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，f′(x)≤0，所以f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤0，f′(2)≤0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，n≥0，,m＋2n≤18，,2m＋n≤12.))画出可行域，如图，令mn＝t，则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝eq\f(t,n).由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝eq\f(t,n)相切时，t取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(t,n2)＝－\f(1,2)，,6－\f(1,2)n＝\f(t,n)，))解得n＝6，t＝18.所以(mn)max＝18.素养升华1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件．2．解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义．该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力．【训练】在等差数列{an}中，已知首项a1>0，公差d>0，a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，则5a1＋a5的最大值为________，取到最大值时d＝________，a1＝________.答案2002020解析由题意得点(a1，d)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,d>0，,2a1＋d≤60，,2a1＋3d≤100，))画出可行域，又5a1＋a5＝6a1＋4d，故经过B点，即a1＝d＝20时，5a1＋a5取最大值200.A级基础巩固一、选择题1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.2．(2021·合肥模拟)若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≥0，,2x＋y－3≥0，,x＋y－3≤0，))则2x＋3y的最小值为()A．4 B．5 C．6 D．7答案B解析画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≥0，,2x＋y－3≥0，,x＋y－3≤0))表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，令z＝2x＋3y，则y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(1,3)z，分析知，当x＝1，y＝1时，z取得最小值，且zmin＝2＋3＝5.故选B.3．设点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0，))且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有()A．12个 B．11个 C．10个 D．9个答案A解析画出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋3≥0，,x－5y－1≤0，,3x＋y－3≤0))表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.4．设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2 B．3 C．5 D．6答案C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1,1)时，z取得最大值，zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.5．(2021·哈师大附中模拟)已知实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1，))则z＝2－2x＋y的最大值为()A.eq\f(1,32) B．eq\f(1,4) C．eq\f(1,2) D．2答案C解析由实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥1))作出可行域如图，则z＝2－2x＋y的最大值就是u＝－2x＋y的最大值时取得．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,y＝1，))解得A(1,1)，化目标函数u＝－2x＋y为y＝2x＋u，由图可知，当直线y＝2x＋u过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值2－2＋1＝eq\f(1,2).故选C.6．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：①p∨q；②綈p∨q；③p∧綈q；④綈p∧綈q.这四个命题中，所有真命题的编号是()A．①③ B．①② C．②③ D．③④答案A解析法一画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一组平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．法二取x＝4，y＝5，满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥6，,2x－y≥0，))且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．∴①③真，②④假．7．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7 B．1 C．5 D．7答案C解析由|x|≤1－y，且y≥－1，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≤0，,y≥－1.))作出可行域如图阴影部分所示．设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.作直线l0：y＝－3x，并进行平移．显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.8．(2021·全国大联考)设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,2x－y＋2≥0，,x≥1))表示的平面区域为M，则()A．M的面积为eq\f(9,2)B．M内的点到x轴的距离有最大值C．点A(x，y)在M内时，eq\f(y,x＋2)<2D．若点P(x0，y0)∈M，则x0＋y0≠2答案C解析作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A、B错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x＋y＝1＋1＝2，故选项D错误；eq\f(y,x＋2)表示区域M内的点(x，y)与N(－2,0)连线的斜率，由图知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x＋2)))min＝kNB＝eq\f(1,3)，∴eq\f(y,x＋2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，2))，故选项C正确，故选C.二、填空题9．(2020·山西名校联考)设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y－6≤0，,x＋y－2≥0，,x－4y＋8≥0，))则z＝x－2y的最小值是________．答案－4解析由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z＝x－2y化为y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)，可知z的最小值即为y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)在y轴上截距最大时z的取值，由图可知，当y＝eq\f(1,2)x－eq\f(z,2)过点A时，在y轴上的截距最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,x－4y＋8＝0))得A(0,2)，∴zmin＝0－2×2＝－4.10．(2021·平顶山一模)已知O为坐标原点，A(－1，－2)，P为平面区域M：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2≤0，,2x＋y－2≤0，,x≥0，,y≥0))内任意一点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最小值为________．答案－2解析由题意可得，平面区域M(如图)是由点O(0,0)，D(0,1)，B(1,0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝－x－2y，设z＝－x－2y，当直线z＝－x－2y平移到与DC重合时，目标函数z＝－x－2y有最小值(此时点P为线段DC上任意一点)，且最小值为－2.故eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最小值为－2.11．(2020·昆明诊断)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤15，,2x＋y≤12，,x∈N，,y∈N，))则z＝3x＋2y的最大值为________．答案19解析根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z＝3x＋2y在点M处取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝12，,x＋3y＝15))得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,5)，\f(18,5)))，但M点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足要求，且代入得z＝19，故最大值为19.12．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．答案3解析设P(x，y)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2λ＋μ，,y＝－1＋λ＋2μ))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3μ＝2y－x＋3，,3λ＝2x－y－3，))又1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x－2y≤3，,6≤2x－y≤9))表示的可行域是平行四边形及内部．如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝eq\f(3\r(5),5).又|BN|＝eq\r(5).∴区域D的面积S＝eq\f(3\r(5),5)×eq\r(5)＝3.B级能力提升13．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))则实数m的最大值为()A.eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(3,2) D．2答案B解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0))所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为()A．320千元 B．360千元C．400千元 D．440千元答案B解析设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y∈N，,2x＋3y≤480，z＝2x＋y，,6x＋y≤960，))作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元．15．(2021·西安模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________．答案eq\f(9,5)解析由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\