2023届广东省汕头市潮阳启声高中高三下学期第二次阶段检测试题-数学试题试卷

2023届广东省汕头市潮阳启声高中高三下学期第二次阶段检测试题-数学试题试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．2．若实数、满足，则的最小值是（）A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（）A． B． C． D．4．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．5．已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A． B． C． D．6．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、，满足，则（）A． B．C． D．7．已知满足，，,则在上的投影为（）A． B． C． D．28．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A． B．C． D．10．已知x，，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）A．-2 B．-1 C．1 D．212．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则_____14．等边的边长为2，则在方向上的投影为________．15．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10116．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为（1）求椭圆的方程；（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，求函数的极值；（2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点．19．（12分）第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.（参考数据：；；.）20．（12分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.21．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．2、D【解析】

根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立，得，可得点，由得，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最小，此时取最小值，即.故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．3、C【解析】

由程序语言依次计算，直到时输出即可【详解】程序的运行过程为当n=2时，时，，此时输出.故选：C【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题4、D【解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．5、A【解析】

根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.6、A【解析】

设为、的夹角，根据题意求得，然后建立平面直角坐标系，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程，将和转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得，则，，，建立平面直角坐标系，设，，，由，可得，即，化简得点的轨迹方程为，则，则转化为圆上的点与点的距离，，，，转化为圆上的点与点的距离，，.故选：A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7、A【解析】

根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8、D【解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.9、C【解析】

画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取为基底，则，∴．故选C．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．10、D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【详解】因为x，，当时，不妨取，，故时，不成立，当时，不妨取，则不成立，综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.11、B【解析】

求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；【详解】f（x）的定义域为（﹣1，+∞），因为f′（x）a，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．12、A【解析】

设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得①，由，解得，方程①为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

化简得，利用周期即可求出答案．【详解】解：，∴函数的最小正周期为6，∴，，故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．14、【解析】

建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，，则：，，且，，据此可知在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、【解析】

设，，，，由，，，根据平面向量模的几何意义，可得A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，为的距离，利用数形结合求解.【详解】设，，，，如图所示：因为，，，所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，则即的距离，由图可知，.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的模及运算的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或【解析】

（1）由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为，从而求出.写出直线的方程，与椭圆方程联立，根据交点横坐标为，求出和，从而写出椭圆的方程；（2）设出P、Q两点坐标，由可知点为的重心，根据重心坐标公式可将点用P、Q两点坐标来表示.由点在圆O上，知点M的坐标满足圆O的方程，得式.为直线l与椭圆的两个交点，用韦达定理表示，将其代入方程，再利用求得的范围，最终求出实数的取值范围.【详解】解：（1）由题意知.，直线的方程为∵直线与椭圆的另一个交点的横坐标为解得或(舍去)，∴椭圆的方程为（2）设.∴点为的重心，∵点在圆上，由得，代入方程，得，即由得解得.或【点睛】本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.18、见解析【解析】

（1）当时，函数，其定义域为，则，设，，易知函数在上单调递增，且，所以当时，，即；当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，为，无极大值．（2）由题可得函数的定义域为，，设，，显然函数在上单调递增，当时，，，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，所以函数有且仅有一个零点，所以函数有且仅有一个零点；当时，，，因为，所以，，又，所以函数在内有一个零点，所以函数有且仅有一个零点．综上，函数有且仅有一个零点．19、（1），，；（2）详见解析.【解析】

（1）根据频率分布表计算出平均数，进而计算方差，从而X～N（65，142），计算P（51＜X＜93）即可；（2）列出Y所有可能的取值，分布求出每个取值对应的概率，列出分布列，计算期望，进而可得需要的总金额．【详解】解：（1）由已知频数表得：，，由，则，而，所以，则X服从正态分布，所以；（2）显然，，所以所有Y的取值为15，30，45，60，，，，，所以Y的分布列为：Y15304560P所以，需要的总金额为：.【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题．20、【解析】

由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为不存在逆矩阵，，所以.矩阵的特征多项式为，令，则或，所以，即，所以，所以【点睛】本题考查矩阵的乘法及