河北省沧州市重点高中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题及参考答案

河北省重点高中高一年级第二学期期中联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若复数，则复数z的虚部为（）．A． B． C． D．22．若，，三点共线，则（）．A． B．5 C．0或 D．0或53．已知平面，和直线a，b，，，则“”是“”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．某实验室的笼子中有40只小白鼠，将其进行编号，分别为00，01，02，…，39，现从中抽取一个容量为10的样本进行试验，选取方法是从下面的随机数表的第1行第15列和第16列数字开始由左向右依次选取2个数字，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（）．90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 96 35 23 79 18 05 98 9007 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67A．05 B．40 C．35 D．235．已知（其中i为虚数单位），那么复数在复平面内所对应的点位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知三棱锥，底面ABC，，，，则三棱锥外接球的体积为（）．A． B． C． D．7．在中，点D是边BC的中点，且，若点P为平面ABC内一点，则的最小值是（）．A． B． C． D．8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角A的内角平分线AD的长为4，则bc的最小值为（）．A．16 B．32 C．64 D．128二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．关于复数，下列说法错误的是（）．A．若，则或B．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为C．若z是复数，则D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为10．已知在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的有（）．A．若为锐角三角形，则B．若，，，则有两解C．若，，则外接圆半径为10D．若，，，则11．在三棱锥中，，，且，点E，F分别为AD，BC的中点，点A在平面BCD内的射影为点O，则下列选项中正确的是（）．A．平面平面ACDB．C．异面直线AC与EF所成角的余弦值为D．三棱锥的体积是三棱锥的体积的2倍12．如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为．在的斜坐标系中，，，则下列结论中，正确的是（）．A． B．C． D．在上的投影向量为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知一个圆锥的底面面积为，体积为，则该圆锥的表面积为______．14．已知向量，，写出一个与垂直的非零向量______．15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且外接圆半径为，若，则的面积为______．16．已知直四棱柱的所有棱长均为4，，E为BC的中点，当点F在四边形内部及其边界运动时，有平面，则线段EF的最大值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知复数是方程的根．（i是虚数单位，）（1）求；（2）设复数（是z的共复数），且复数所对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在中，点C是AB的中点，点D在线段OB上，且，设，．（1）若，，且与的夹角为，求；（2）若向量与共线，求实数k的值．19．（12分）如图，为了测量两山顶M，N之间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一铅垂平面内．飞机从点A到点B的路程为a，途中在点A观测到M，N处的俯角分别为，，在点B观测到M，N处的俯角分别为，．（1）求A，N之间的距离（用字母表示）；（2）若，，，，，求M，N之间的距离．20．（12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，且边长为2，BC垂直于AB，，E为PA的中点．（1）证明：平面PBC．（2）若底面ABCD，且，求点A到平面PBC的距离．21．（12分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）证明：．（2）求的取值范围．22．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P的位置，且，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不重合）．（1）证明：平面平面PBC．（2）是否存在点N，使得二面角的正切值为？若存在，确定N点位置；若不存在，请说明理由．河北省重点高中高一年级第二学期期中联考数学试题参考答案1．C【详解】由复数的概念可知，复数z的虚部为．故选：C．2．D【详解】因为，，若，，三点共线，则，所以，解得或5．故选：D．3．D 【详解】不符合面面垂直的判定定理和性质定理．4．A【详解】重复的号码只能算作一个，抽取样本的号码是38，07，35，23，18，05，20，15，08，32，所以抽取样本的第6个号码为05．故选：A．5．B【详解】由条件知，，∵，，∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限．故选：B．6．A【详解】由题意知，为直角三角形，三棱锥补形为长方体，此三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线，故三棱锥外接球的体积为．故选：A．7．A【详解】因为D为BC的中点，所以，所以，不妨以AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．因为，则，，设，则，所以，即的最小值为．故选：A．8．C【详解】因为，所以，即，所以，又，所以，由，得，所以，则，即，当且仅当时等号成立，所以bc的最小值为64．9．ABC【详解】对于A，取，则，故A错误；对于B，，B错误；对于C，取，但知C错误；对于D，设复数，则由可知，故复数z对应的点所构成的图形面积为，D正确．故选：ABC．10．AB【详解】对于A，因为为锐角三角形，，所以，由正弦函数单调性得，A正确；对于B，因为，AB边上的高为3，若，则有两解，B正确；对于C，由正弦定理，可知，所以外接圆半径为5，C不正确；对于D，由正弦定理，得，所以，D不正确．故选：AB．11．ABC【解析】对于A，∵点A在平面BCD内的射影为点O，连接BO，CO，DO，则，又，且，∴平面AOB，又平面ACD，∴平面平面ACD，A正确；对于B，∵平面AOB，∴，同理可得，即O为的垂心，∴，又，，∴平面AOC，∴，B正确；对于C，取AB的中点G，连接EG，FG，则，，∴或其补角是异面直线AC与EF所成的角，∴且，∴，∴，C正确；对于D．∵E，F分别是AD，BC的中点，∴，∴，∴两三棱锥体积相等，D错误．12．AB【详解】由题意得，，对于A项，，由题意得，A正确；对于B项，∵，∴，故B正确；对于C项，∵，C不正确；对于D项，∵在上的投影向量为，又∵，∴，∵，∴，D不正确．故选：AB．13．【详解】设该圆锥的底面圆半径为r，高为h，由底面积为，体积为，可得，解得，所以圆锥母线长为，所以该圆锥表面积为．故答案为．14．（答案不唯一）【详解】由题意可知．设，则．取，则，所以与垂直的非零向量可以为．（答案不唯一）故答案为（答案不唯一）．15．【详解】∵，且外接圆半径R为，∴由正弦定理，可得，∵，∴由余弦定理，可得，解得，∴．故答案为．16．4【详解】取CD的中点M，的中点N，连接ME，MN，NE，，∵M，E分别为CD，BC的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．同理，M，N分别为DC，的中点，∴，又，∴．平面，平面，∴平面．又，平面MNE，平面MNE，∴平面平面．又平面，∴平面MNE，又点F在四边形内部及边界运动，∴点F在平面MNE与平面的交线上，即．在中，，，连接DE，在中，，∴，∴为钝角，∴当点F运动到点N时，EF的最大值为4．17．（1）；（2）．【详解】（1）由题知，∴，即，∴，．（2），∴．18．（1）；（2）．（1）因为，，且与的夹角为，所以，所以．（2）由C是AB的中点，得，，所以，若与共线，则存在实数，使得，即，所以，因为与不共线，所以，解得，所以实数k的值为．19．（1）；（2）．【详解】（1）在中，由正弦定理可得，即，所以．（2）在中，由正弦定理可得，即，所以．因为，，，所以．由（1）可得，在中，，由余弦定理可得，因此MN之间的距离为．20．【详解】（1）如图所示，取AB的中点F，连接EF，DF，∵为等边三角形，且F为AB的中点，∴，又∵，∴，又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC，又∵E，F分别为PA，AB的中点，∴，又∵平面PBC，平面PBC，∴平面PBC．又∵，且EF，平面DEF，∴平面平面PBC，∵平面DEF，∴PBC．（2）在中，，，，∴．由题意得，设点A到平面PBC的距离为d，由，得，∴．21．（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）由正弦定理得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴，函数在上单调递增，，．∴，∴的取值范围为．22．（1）见解析；（2）存在，N为BC上靠近B的四等分点．【详解】（1）证明：因为，，，所以平面EBCD，因为平面EBCD，所以，因为，，所以平面PBE，因为平面PBE，所以，因为，，所以，因为，所以平面