力与分子运动力与分子运动

引 范德瓦尔斯 列纳德-琼斯 图像分 模型与方 位移与时间的关 速度与时间的关 理论分 位移、速度与时间的关 频谱分 粒子的逃逸速 总 方程[1]是1873年提出来的.此方程对气体的液化理论起到了很大的指导作用,并且很多真实气体的性质与用方程算得的结果很接近.所以范氏理论是一个很成功的理论.目前,对于气体,关于的研究,大部分集中在气体的物态方程方面,如关于气体方程的修正项[4-5]、热力学性质与准静态过程[6-9]等方面,并且在实验和理论(宏观和微观)上,都作了较深入的研究.但关于相互作用力[2-3]方面的研究较少,而近来有研究关于气体[12][13]等研究,对分子间力[14]进行了一些系统的论述,但对在其作用力下粒子的运动状态及对气体性质的影响却很少涉及,在本文中加以讨论.1力与列纳德-琼斯1.1存在于中性分子或原子之间的一种弱的电性.力可能有三个来源:10极性分子的永久偶极矩之间的相互作用;20一个极性分子使另一个分子极化,产生诱导偶极矩并相互吸引;30分子中电子的运动产生瞬时偶极矩,它使邻近分子瞬时极化,后者又反过来增强原来分子的瞬时偶极矩.这种相互耦合产生净的吸引作用,称为伦敦力或色散力.对于不同的分子,这三种力的贡献不同,献最大.力的形式一般写Frr

是大于零的比例系数.s915t47之间,其中st列纳德-琼斯6次方成反比。即：列纳德-琼斯势 6Vr4r

r

令r

则(1.2)

UVrU411

6 由(1.4)分子力(1.1)写FrdVrdU

dfF2421

7 f

式(1.6)中的第一项代表排斥力,第二项表示图像分根据(1.5)的变化曲线程序1:绘制排斥力、和合力随的变化曲线.f2=-plot(rho,f1,':k',rho,f2,'-.k',rho,f,'-k','LineWidth',2)xlabel('\fontsize{14}\rm\rho','Color','k')ylabelfontsize{14}\rmf/f_0',Color','k')legend('排斥力','','合力')axis([0.04-65])grid排斥力、和合力的图像如图1.1所示根据(1.4)和(1.5)式可编制程序绘制势和力随的变化曲线.2:的变化曲线.plot(rho,f,':k',rho,u,'-k','LineWidth',2)xlabel('\fontsize{14}\rm\rho','Color','k')ylabelfontsize{14}\rmf/f_0,U'Color','k')legend('合力','势')axis([0.04-3grid小值

1.2所示.1.2图1.1排斥力 合力与的关系曲

图1.2势和合力与模型与方本章中,讨论粒子在力的作用下,即在列纳德-琼斯势的作用的运动形式.两微观粒子在列纳德-琼斯势的作用下的运动看作一个粒子在列纳德-琼斯势作用下围绕质心的振动.其运动方程可写作d2 1 dt

24f0137

采用自然单位111 d2

1dt

24137

位移与时间的当粒子的振幅比较小时,(2.3)中的力函数可展开为Taylor级数,使用编3:将力函数展开为Taylor级数.symsa此时(2.3)d2dt

36

23

根据(2.3)式和(2.4)式分别编制程序funfdfxz.m和funfdxz.m函数文件.4:计算(2.3)式的m文件.functionf=24*(2./(x(1)+2^(1/6)).^13-1./(x(1)+2^(1/6)).^7);5:计算(2.4)式的m文件.functionQ=funfdxz(t,x)f=-编制解微分方程的主程序,求解(2.3)和(2.4)式6:求解微分方程主程序,绘制位移与时间的关系曲线.[t,x]=ode45(@funfdxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}\xi','Color','k')axis([05-x0x0])grid0.0010时6绘制出与时间t的关系曲线.2.1中用实线表示由(2.3)绘制的曲线,用点划线表示由(2.4)绘制的曲线.2.1可以看两条曲线基本完全重合,这说明在初始位移较小时, 图2.1初始位移为0.001时,

2.2初始位移为0.1时,位移振动.其平衡位置保持不变.此时分子的体积保持不变.如果将初始位移增大为0.10,62.2.2.2看两条曲线差别增大,这说明当粒子的位移增大,粒子的动能增加时,粒子质心的振动不再能看作简谐振动,平衡位置将向0的方向移动.说明此时分子的体积增大.速度与时间的关,绘制速度与时间的关系曲线.7:求解微分方程主程序,绘制速度与时间的关系曲线.[t,x]=ode45(@funfdxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-.k',t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}d\xi/dt','Color','k')axis([05-v0v0])grid7,0.05,0时, 2.3初始速度0.05时,速

2.4初始速度0.5时,速(实线)与简谐近似下速度与时间的关系(点划线)基本重合如图2.3.当初始位速度为0.5,初始位移为0时,实际粒子的速度与时间的关系(实线)与简谐近似下速度与时间的关系(点划线)2.4.2.4看出虽然两曲线不再重合,时间的关系曲线显示频率减小(周期变长),但两曲线的振幅相同理论分U4

216 216 8 118 1121616

位移、速度与时间的8:计算位移、速度与时间的关系曲线.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,1),'-k',t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}\xi,d\xi/dt','Color','k')%axis([010v0])gridon我们在这里假定初始位移为max0.1由式(3.2)式算得,粒子在平衡位置的最大的速度为vmax0.5667,83.1,可知速0.5668,两者基本吻合.如果假定初始位移为max0.01由式(3.2)式算得,粒子在平衡位置的最大的速度为vmax0.0733,83.2,0.0733,两者完全吻合.这说明粒子的运动遵守能量守恒定律. 3.1初始位移为0.1时,

3.2初始位移为0.01时,频谱分下面我们利用离散频谱分析的方法对图2.1和图2.2的位移曲线进行频谱分析.下面是频谱分析的程序.9:位移曲线的频谱分析程序.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[0:0.001:10],[x0v0]);plot(f,Pyy(1:51),'-k','LineWidth',xlabel('\fontsize{14}\nu','Color','k')gridon0.001012.12.2进行频谱分析3.33.4.3.3中看出,基本上此时的位移曲线只存在单一的频率.3.4我们看到除了两个较高的频率成分外,其中一个较强另一个较弱,还存在频率为零的直流成分.这说明此时位移的平均位置已偏离中心,这说明在力作用下振动的两微观粒子的平均距离随着振动位移的增大,微观粒子的动能增加的同时两微观粒子的平均距离增大了,从而导致了气体体积的减少.并且随着气体温度的升高,微观粒子振动动能的增加,图3.3初始位移为0.001时,

3.40.1时,位在不断减少.这从微观粒子振动的模型解释了实际气体体积修正的原因粒子的逃逸速2由式(3.2)中令maxvmin即为粒子的最小逃逸速度vmin.当粒子振动的最大速度达到此值时,粒子获得足够的能量克服力的束缚而逃逸.当粒子的速度大于此值时,逃逸后粒子的速度为2 10:绘制不同初始速度对应不同逃逸速度与时间的关系曲线.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,2),'-k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);

plot(t,x(:,2),'-.k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k')ylabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}d\xi/dt','Color','k')axis([-1010001.6])grid利用此程序绘制的曲线如图3.5所示.在图5中令xn和xn1,则在图3.5中分别用实线和点划线显示的粒子逃逸后的速度与时间的关系曲线,当时间为100时图中显示的速度值分别为.02229和0.5414与式(.3)计算得到的结果0.02230.541基本相同,当时间趋于无穷时,.当粒子的速度越接近此值,粒子的平均位移离合力为零的地方越远.在粒子的振动速度非常接近逃逸速度时,解对初始值变得非常敏感,进入所谓的混沌状态,这是非线性方程不同于线性方程的一个基本特征.为了反映非线性方程的这一特征,我们编11:计算等于和接近逃逸速度的初始速度情况下位移与时间的关系曲线.[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0v0]);plot(t,x(:,1),'-k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),'-.k','LineWidth',1.5)holdon[t,x]=ode45(@funfdfxz,[t0:deltat:tt],[x0plot(t,x(:,1),':k','LineWidth',1.5)xlabel('\fontsize{12}\fontname{TimeNewRoman}t','Color','k