高中数学（人教版必修五）教师第二章2-1数列的概念与简单表示法（二）

学习目标1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列.2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．知识点一递推公式思考1(1)已知数列{an}的首项a1＝1，且有an＝3an－1＋2(n>1，n∈N*)，则a4＝________.(2)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，且有an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，则a4＝________.答案(1)53(2)3梳理如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．思考2我们已经知道通项公式和递推公式都能表示数列，那么通项公式和递推公式有什么不同呢？答案通项公式和递推公式都是表示数列的方法．已知数列的通项公式，可以直接求出任意一项；已知递推公式，要求某一项，则必须依次求出该项前面所有的项．知识点二数列的表示方法思考以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答案①通项公式法：an＝2n.②递推公式法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N*.))③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：梳理数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．类型一数列的函数特性例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟数列的通项公式不外乎把常见的函数式中的x换成n，且n∈N*，所以善于利用我们熟知的一些基本函数，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.类型二数列的递推公式命题角度1由递推公式求前若干项例2设数列{an}满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,an＝1＋\f(1,an－1)(n>1，n∈N*).))写出这个数列的前5项．解由题意可知a1＝1，a2＝1＋eq\f(1,a1)＝2，a3＝1＋eq\f(1,a2)＝eq\f(3,2)，a4＝1＋eq\f(1,a3)＝eq\f(5,3)，a5＝1＋eq\f(1,a4)＝1＋eq\f(3,5)＝eq\f(8,5).引申探究数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，求a2016.解a2＝eq\f(1＋a1,1－a1)＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1＋a2,1－a2)＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1＋a3,1－a3)＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋a4,1－a4)＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1.故{an}是周期为4的数列．∴a2016＝a4×503＋4＝a4＝eq\f(1,3).反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否有规律性．跟踪训练2在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．解a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.命题角度2由递推公式求通项例3(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；(2)若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通项an.解(1)n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋＝2(n－1)＋1＝2n－1.a1＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.(2)n≥2时，an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n).a1＝1也适合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n).反思与感悟形如an＋1－an＝f(n)的递推公式，可以利用a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式；形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的递推公式，可以利用a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)求通项公式．跟踪训练3已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2016项？解a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6，证明如下：∵an＋2＝an＋1－an，∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.∴数列{an}是周期数列，且T＝6.∴a2016＝a335×6＋6＝a6＝－1.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2答案B解析由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N*，n≥2，故选B.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－n答案D解析∵an＋1－an＝－1.∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．答案an＝2n＋1，n∈N*解析a1＝3，a2＝3＋2＝5，a3＝3＋2＋2＝7，a4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴an＝2n＋1，n∈N*.1．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.40分钟课时作业一、选择题1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不能确定答案A解析an＋1－an＝3＞0，故数列{an}为递增数列．2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝eq\f(1,2)an＋eq\f(1,2n)，则此数列的第4项是()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(5,8)答案B解析a2＝eq\f(1,2)a1＋eq\f(1,2)＝1；a3＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)；a4＝eq\f(1,2)a3＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).3．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5等于()A.eq\f(25,9) B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16) D.eq\f(31,15)答案C解析a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，则a3＝eq\f(32,22)＝eq\f(9,4)，a5＝eq\f(52,42)＝eq\f(25,16).故a3＋a5＝eq\f(61,16).4．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N*)，则数列的通项公式为()A．an＝3n＋1 B．an＝3nC．an＝3n－2 D．an＝3(n－1)答案C解析∵an＝an－1＋3，∴an－an－1＝3.∴a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，∴an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，故选C.5．若a1＝1，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，则给出的数列{an}的第4项是()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,17)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,25)答案C解析a2＝eq\f(a1,3a1＋1)＝eq\f(1,3＋1)＝eq\f(1,4)，a3＝eq\f(a2,3a2＋1)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4)＋1)＝eq\f(1,7)，a4＝eq\f(a3,3a3＋1)＝eq\f(\f(1,7),\f(3,7)＋1)＝eq\f(1,10).6．已知数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则数列中最大项的值是()A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109答案B解析由已知得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋108eq\f(1,8)，由于n∈N*，故当n取距离eq\f(29,4)最近的正整数7时，an取得最大值108.∴数列{an}中的最大值为a7＝108.二、填空题7．已知数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1.))若a1＝eq\f(6,7)，则a2017＝________.答案eq\f(6,7)解析计算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2017除以3余1，所以a2017＝a1＝eq\f(6,7).8．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n为正奇数，,4n－1，n为正偶数，))则它的前4项依次为________．答案4,7,10,15解析a1＝3＋1＝4；a2＝4×2－1＝7；a3＝3×3＋1＝10；a4＝4×4－1＝15.9．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．答案－3解析an≤an＋1⇔n2＋λn≤(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ≥－(2n＋1)，n∈N*⇔λ≥－3.10．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第n个图中有________个点．答案n2－n＋1解析图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有2个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有3个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有4个分支，每个分支有3个点；…猜想第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.三、解答题11．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)(n∈N*，n≥3)，求a3，a4.解由a1＝1，a2＝eq\f(2,3)且eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,an)＝eq\f(2,an－1)，知当n＝3时，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)，∴eq\f(1,a3)＝eq\f(2,a2)－eq\f(1,a1)＝3－1＝2，∴a3＝eq\f(1,2).当n＝4时，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)，∴eq\f(1,a4)＝eq\f(2,a3)－eq\f(1,a2)＝4－eq\f(3,2)＝eq\f(5,2)，∴a4＝eq\f(2,5).12．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－