高等电磁场电动力学课后习题答案

第2讲场论基础（2）2-1证明修正矢量Green定量[B(A)A(B)]dvv[A(B)B(A)]dsS证明：[B(A)A(B)]dvv{[(A)B](A)(B)[(B)A](B)(A)}dvv{[(A)B](A)(B)[(B)A](B)(A)}dvv{[(A)B][(B)A]}dvv{[(A)B(B)A]}dvv[A(B)B(A)]dsS[A(B)B(A)]dsS（主要公式：(fg)(f)gf(g)；fdvfds）vS证毕.1/302-2证明(fg)fggf证明：一种理解：(fg)(fg)(gf)ccfggfccfggf严格证明（直角坐标系）：ˆˆˆgxgygzg，xfxfyfzfˆˆˆ设xyzyz)=(左边：(fgfgfgfg)xxyyzz=(ˆxgyˆgzgxˆˆ)(ˆxfyfzfˆ)y右边：fggfxyzz+(xˆgyˆgzˆg)(xˆfyˆfzˆf)xyzxyz=gfgfgffgfgfgxxyyzzxxyyzz=(fg)(fg)(fg)xxyyzz=(fgfgfg)=左边xxyyzz证毕.ˆi2-3证明mpmsdsfdlflmmsls证明：如右图，设场f在曲线和曲面上是良性的。ls把S分成n个小块，设界第m块的面积为s，边m为l，设m点在s上。由旋度的原始定义，pmml2/30dlfdlff(p)iˆlimslmsO(s)mlmmns0(p)mmmm因此有：f(p)iˆsdlfO(s)smnmmmlm叠加所有的小块，则ˆnf(p)isndlfnO(s)smnmmmm1m1lm1m上式右边的第一项由于叠加过程中相邻小块的公共边界上的积分相互抵消，因此只剩下不是公共边界曲线的积分，即：lndlfdlfm1llmn当,s0，则：mf(p).isdsfˆnlimnmnma0m1sm另外，由于nO(s)sO(s)sO(s)nnsO(s)Smmmmmmaxmmmaxm1m1m1当n,O(s)0，故maxmlimO(s)s0nmmna0m1m因此，dsfdlf。sl证毕.3/30第4讲Maxwell方程（2）4-2证明边界条件：0ˆ)和(nDD12nEEˆ12s证明：(1).利用dsEtBdvSn,11svBn(EE)SKhShht,212媒质12由于B及K有限函数，当h0时，Kh0，媒质2媒质界面BtSh0。则有：n(EE)012(2).Ddsdvsvn(DD)SKhSh12Kh0，Sh。则有：当h0时，sn(DD)12s4-3讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。解：比拟于微分方程，猜想有两种独立方程形式：nHHJnHHJs12s12ˆ()0nEEˆ()012以及nEE12nJJ＝－Jnˆ(DD)12sst12ss下面证明第一种方案：(1).证明磁场无法向分量边界条件：[nˆ(EE)]nˆ(EE)(EE)nˆ01212124/30BBttnˆ0(EE)()。2上式中，，112因此有：BB2)nˆ0(1tt即：(BB)nˆ0t12(BB)nˆConstant.12都成立，对于特例BB也成立，则常数为0。12由于对于任意的，上式BB21ˆ()0.因此nBB12(2).当然还可以倒出电流连续性边界条件：由于：nHHJ12s所以nHH＝JJ＝nHHnHH12ss1212DD2nJ1Jtt12DDnJJn*1t2t12（利用了)nJJˆ(nDD）t12s12sJdssJn'dl因为JlimlimsJsssssss＝－J所以nJJst12sss，就可以得到t注：对于*式，应用电流连续性方程nJJ＝－J12ss电场的法向不连续的边界条件。5/30第3讲本构关系和波动方程3-1已知铁氧体磁导率X量为：jk0jk000z其中是,k,正实数，试采用坐标变换得对角化，求坐标变换矩阵和对z角矩阵。jk000解：求特征值：Ijk00zk0kk22ZZZk1k于是有：23ZIX0（Xx,x,x）T123Xj解得1,,0T1当k时，1当k时，解得X,1,0jT22X解得0,0,1T3当时，z3故有变换矩阵：1j0Pj100016/30

k0k0000对角化后的矩阵为：P1P0z3-2对于良导体，无源区域的Maxwell方程为：HEEjHH0E0试导出波动方程，并给出波传播的速度v和波阻抗的表达式。解：由于H=EjH且HH2H2H－H＝0Hj故：2EjE0同理：2所以波动方程为：H－jH＝02EjE02由波动方程知：k2j解得kj2(1j)2jkj22r所以：波速：2vpkr2波阻抗：k27/30第5讲电磁场的能量与动量5-1试推导频域Poynting定理。解：在时域，一个周期内Poynting矢量的时间平均值为：11STSdtReEH*2T01由此引入频域Poynting矢量：SEH*，*H2EHS11H*212EE*2jB*EHJjD**而，1B1EJ*故SjHjD**221J*EjHBED12**21211ED*J*Ej2H*B4412J*Ej2wwme其中：wH*B，w1ED1*44me证毕.5-2相同频率ω的两个点电荷源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为E,H；而电源2产生的E,H，试证明1122E1H2E2H10证明：满足的场方程为：8/30EjBHJjDDEBHJEEHEHHE1121222jB1H2JjDE12jH1H2EjEE122jH1H2E1E2jE1E2EHEHHE2212111jB2H1JjDE211jH2H1EjEE21jH1H2E1E2jE1E2EHEH1221所以：E1H2E2H10证毕.5-3无限均匀导电媒质中放一电量Q为的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。解：利用积分场定理求解。Dds高斯定理：dvQtvsv由于DE，Qt1所以：EdsDdsss而JE，9/30Qt代入上式有：Jdss又有电流连续性方程：QtJdstsQttQt所以（QtQ）t0＝t0解上述方程的：－tQtQe下面求D:研究一个以Q的初始位置为球心的球，则在球面上D的大小一样，方向指向背离球心半径方向。DdsD4r2Qts－t于是：Qeˆ0D＝rt4r2－tQeˆ0E＝rt4r2BtE，代入BH由于Ht11Qe－tEr4r20有所以：HCont.t0时刻，0。而在H所以：H0232r4211E21Qe－tQ2e－2twED电场能量密度：2224re210/301磁场能量密度：2wHB0m21Hn02Hn2En2：FnEn2000第6讲波动方程与唯一性定理6-1试证明右图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果（1）区域内的源已知；（2）区域外边界上切向电场或切向磁场已知（3）区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续则区域内电磁场唯一确定。证明：为便于说明，证明两种有耗媒质的情况，然后可将其推广到多媒质情况。如图中所示，整个体积V分成两个区域，v和v中电导率，磁导率和介12电常数分别为：,,，,,。设v中存在两个电场和两个磁场1112221E1,H1EH和,'1'1，v中存在两个电场和两个磁场EH,和,。E'H'22222记差场分别为：E1E1E，E2E2E，H1H1H'1'2'1，H2HH'22E1j满足：H1jH1差场1E11E2jH22E2H2j2利用Poynting定理的积分形式：11/30EHnds1Hnds*1i*E11s1siHndsEEHnds*2i*2222s2sij**222E1dvj2(1)H1H2E2dv112V1V2由区域外边界上切向电场或切向磁场已知，有：EnHHnH1*nE*0*E11111EHnH*2nEEnH0**22222Hnds20*Hnds0，*1EE21s1s2由区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，有：HndsEHnds*2i*E112issi因此（i）式的左边等于10。故：j**2222Edv20H1E1dvjH21122V1V2上式中实部和虚部都为零，有：''222220'HEdvv2'HEdv11221122v1E1dv''1''1''2"2222E2dv0H1H2vv12耗媒质，''0，''0，''0，''0。112对于有2H10,E20,H2于是：0,0.E1唯一性定理得证。对于多媒质情况，由于内部媒质交接处积分总是抵消，表面上积分也为零，可知仍然有唯一性定理。6-2试讨论Poisson方程解的唯一性问题。2解：设此方程有两解，分别为：和12考虑差值函数。1212/30则：满足方程：02应用Green第一恒等式：－dvnds2vs,则有：上式中，令,dv－nds2vs可见，只要满足：(1)边界上的给定；sn(2)或边界s上的给定；n(3)或边界上一部分的给定，另一部分的给定；s上述三个条件中的任何一个，都有0，则：，被唯一确定，Poisson方程有唯一解。12第7讲辅助位函数7-1试证明在Coulomb规X下2t2AJt2Jr,t'式中：Jdv'4rrt'v证明：对于电流源J，由Helmholtz定理得：JJJlt式中J，J分别为分别表示J的无旋部分和无散部分，即：ltJr,t'Jdv'(1)4rrl'vJJr,t'dv'(2)4rrt'v13/30根据矢量恒等式：Jr,t'11Jr,tJr,t''rrrrrr'''因为：Jr,t0，以及：'11Jr,tJr,t'''rr'rr'Jr,t'1''Jr,t'rrrr''所以，由（1）式Jr,t'Jr,t'''dv'Jdv'、rrl4rr4r,t''vvJr,tnds''dv'4rr'4rr'tsvr,tdv''t4rr'vr,tt'（r,tdv'）4rr'v2t将上式和JJJ代入到：2AJ，tlt22AJt得到：2t2证毕.7-2试导出导电率为的媒质中矢位A和标位的波动方程。解：波动方程：14/302t22AJA………(1)t22A………(2)ttt2At因为：JE，EAt所以：J2AAA故有：2ttt22tAA(3)既有：2tt2可变为：(2)式两边加t2tAt………(4)2tt2如果令：A＝0，t则(3)和(4)式可化解为：22tA＝0t222tt2以上两式即为波动方程。7-3试证明：在Coulomb规X下，无源区域中的电磁场量E,B可用两个标量函数表示。证明：无源区域：J0，0。15/30r,t'dv'0利用上一讲得到的结论，在Coulomb规X下，,rt4rr'vBAAAEttA0由此可见，电磁场量,可用A的两个独立分量表示，即两个标量函数EB表示。7-4在柱坐标系下，设EEe，HHejzjzx,yx,y试从Maxwell方程导出各向同性媒质无源区域中，频域电磁场横向分量E，H由纵向分量E，H表示的表示式。ttzz解：满足的电磁场方程：H＝jEE＝-jHH＝0E＝0微分算子表示成横向和纵向形式：zzt对Maxwell方程的两个旋度方程取横向分量得到：H＝zHzH=zHt+zH=jEzt1ztttzttzE2+zE=-jHttzE＝zEzE=ztzztttztz叉乘得到：上面（1）式都用zzz+zz2Hz2H=jzEzttzzt16/30利用abcbacbac2Hz22Hz22Ht2H有：zzzzzztttz2z2HHzzHzHzzzzzzzzzzztttt2z2利用z－j，－，得到：2E2H－jHjztzttz将（2）式代入到上式有：2H－jHjzEjHtttztzHjH＋jzEt22tztz令k2k22，有：cHjH＋jzEztktk2t2zcc同理有：EjE－jzHtktk2ctz2zc因此，频域电磁场横向分量E，H由纵向分量E，H表示的表示式。ttzz证毕.第11讲等效原理与感应定理11-1试利用等效原理，计算右图所示的通向接地导电平面的矩形波导开口端的辐射场（假定开口端Ex为TE波的电场）。10解：按照图中所给的坐标定义，TE在端口上的10。EEcoszbsx0根据等效原理，求导体平面右半空间的辐射场时，可以用导体将波导开口封闭，再加上面磁流来等效，再应用镜像法，使之等效为无限大自由空间的辐射问题，等效的面磁流为原来的两倍，原问题就变为求该等效面磁流的辐射问题，因为开口端的E为TEx波的电场，则10最后等效的面磁流为：ˆM2yE2yxEzE2coszzcossx0bs0b在x,0,z处的小磁流在点r,,产生的辐射场为（设R为小磁流到P点的ss距离）2dHjsinesinejkRjkRMdxdzjEcoszdxdz0RRbsssssRxx22yzz2ss设r为原点到P的距离，在球坐标系中，xrsincos,yrsinsin,zrcos所以：Rrsincosxrsinsinrcosz222ss考虑到x,yr，利用展开上式并只保留主要项，得：ssRrxsincoszcosss所以在P点的辐射场为：eHjEsinjkRcoszdxdz0bRssssjEsincoszdxdzejkrejkxsincoszcosss0rxsincoszcosbssssssjEsinejkrejkxsincoszcoscoszdxdz0ssrbssssjEsinedx2coszejkra2ebdzs0jkxsincosjkzcosssrbsasb22下面分别计算两个积分18/30a2ejkxsincosaedxsjkxsincos2saasjksincos22jka2sincosjka2sincoseeksincosjksincosbbbcoszesdzsedsinzjkzcossjkzcos22bsbsbb22bb2bbesinzsjkcossinzedzsjkzcosjkzcos2sbbssb2b22bcoskcosjkcossinzebbdzsbjkzcos22bsbs22bcoskcosjkcosjkcoscoszebbbdzsbjkzcos22bsbs2所以：2bcoskbcos2bcoskbcos22bcoszesdzsjkzcoss2b22bkcos2bb1kcos2最后得到：2sinka2sincos2bcoskbcosHjEsinejkr20bkcos2ksincos2rcoskbcosj2bEejkr2asinkcossin0r2coskbcos2219/30第16讲互补原理和互易定理16-1利用互补原理，由对称振子天线的辐射场求图16-4所示的缝隙天线的辐射场，缝隙内电场为EVmsinkly2Wx解：图中两种天线构成了电屏与互补电屏的关系。设对偶振子的辐射场为Ed，Hd，缝隙天线的辐射场为Ee，He。由于没有z<0区域的源，故Ei0，Hi0应用互补原理，有EeHdEi01HeEeHi0故：EeHd1HeEd缝隙天线内的电场对偶于对称振子表面的切向磁场：msinkly1V1HEW2xx20/30由于振子两侧磁场的切向分量大小相等，方向相反，这样有：IWJ2WHVsinklyIsinkly222sxmm由上述电流对称振子产生的场为：IcosklcoscosklEdjmejkr2rsinsincosklcoscosklVjejkrmrcosklcoscosklHdjIejkrm2rsinsincosklcoscosklejkrVjmr由此得到缝隙天线的辐射场为：cosklcoscosklVEeHdjejkrmsinrsincosklcoscoskljkrEVeHedjmrJJ216-2证明：如果源和均在体积v内，则互易定理为：1(EH)(EH)nds01221s证明：由于源J和J均在体积内时，设外的空间v为无源空间，则v中无vv1211源，所以由互易定理有：E1H2E2H1n'ds0（1）ss0n'为包围v的外曲面法线方向。1由于外的空间vv的外曲面包括：s：半径rs的球面，和：包围v1021/30的曲面。则有：E1H2E2H1ndsE1H2E2H1ndsE1H2E2H1nds'0ss0s0s的球面，在面s上，有E0因为s为半径rnH00EH2E2H1ndsE1E2E2E1ds010ss00所以：E1H2E2H1nds0s16-3证明：无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。证明：设有一理想磁体，在无限靠近导体表面上有面磁流J，在空间有一任意ms磁流源Jm2，J在空间各处产生的电磁场为E1，H1，J在空间各处产msm2生的电磁场为E2，H2，根据互易定理，有：JHdvJHdv2m21msvv由于理想磁体表面磁场只有法向分量，而J为切向磁流，故：JH20msms于是：JHdv0m21v又由于Jm2为任意的，所以H10。所以：无限靠近理想表面的面磁流不产生电磁场。第11讲导体镜像原理11-1一点电荷q放置在夹角为600的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为r,与拐角0的最小夹角为。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生的电位。如果拐22/30角的夹角改为500,问能否应用镜像原理？为什么？1800解：因为60o，满足，其中，n3，可以利用镜像原理，将产生2n15n个镜像电荷，设拐角的一边为x轴正方向，则其镜像电荷角度分别为-q：2244q,,,,,q33具体电荷坐标分别为：33-q34232rcos,rsin,rcos,rsin,rcos,rsin-qq2323444rcos,rsin,rcos,rsin,rcos3,rsin333点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和电位。由电位公式：-qqq-qq124xxyy22-q00qqq5得到和电位为：可以-q12i0422xxiyyix和y分别为是具体电荷的坐标。ii1800不满足（为整数），如上图所示，当夹角500时，所以镜像电荷nn将产生无穷多个，并且将有镜像电荷会落在拐角内，改变了拐角内电荷的分布，所以无法应用镜像原理。11-2如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a的半球形，在xd处有一点电荷。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。q解：为保证ya的无限大平面满足边界条件，可考虑在接地无限大的导体作用23/30下，点产生一个镜像电荷，据平面板的镜像原理可知：qq'q'q,x'd。为保证半球满足边界条件，可将半球形看成一个完整球形，则两个点电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理，可以得到它们的电荷大小和位置分别为：q"q，x"a，q"'aq，xaa22"'dddd所以：产生的电位为：qaqqaqxd2y24xd2y21211212422a22a24dxy24dxy20dd验证其是否满足边界条件：qaqqaqx0,yad2y2d2y21211214422a2a2224d4dy2y2ddqaqqaqxd2a2x2xd2a2x2x2y2a2x011211244a22222a24dxa2x24dxa2x2ddqqqq0111142xda442xda24a2xddd22a2xdd22d222222211-3如图11-10所示，一密度为的无限长均匀分布的线电荷，平行放置在半径为R的接地导体圆柱外xa。试尝试用镜像原理求解该问题。C为系统的零电势点，设N点为镜像电荷所在点，密度为'，则P点电解：设点位为：2r'aR2r2lnln1Rdp24/30ra2R22aRcos，ra2d22adcos12其中，为OP与OM的夹角，r为PM的长度，r为PN的长度，d为ON12的长度，因为圆柱接地，所以：raRr20，则：ln'ln1RdpR2则：'，da2所以：电位为：lnar2Rr1第12讲介质镜像原理12-1试利用镜像原理求解如图所示的线电荷在三层介质中产生的电位。x0h0r1y00r2解：利用介质镜像原理，先确定0xh（区域2）得镜像问题，区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下图（示的镜像电荷分布：1）所25/30x2r2)2(1)2(5hr1r1r111r1r1r2r1213hhr1r1r2r111r1r1r2r121r10r1r1oy2-h-3h-5h1r1r2r1r1r1r221()2r1r1r2r111r1r1r2r12r2)3(1)2(r1r1r111r1r1r2r1图(1)由这些规律可以推出区域2电位的表达式：1kr1r2r2r1(1)1k00rr1r111lnlnr22r2r1x(2k1)hy2x(2k1)hy22r1在区域3中，其中有2为边界，因为区域2无电荷，故不对区域3一条与区域产生影响，区域1的影响可以看（1）图中区域1对区域2的影响，依照介质镜1像原理，在这些电荷上乘以因子2，如图（2）所示：r3r326/30x2