数理方法总结

复变函数论姓名（学号：1938）（物理与电子信息学院物理学专业2010级，内蒙古呼和浩特010022）指导老师:孙咏萍第一章：复变函数一复数（一） 概念:将定义「=『将i作为虚数单位，引出虚数概念.（二） 虚数具体表达方式如下代数式：z=x+iy且（尤,yeR）实部x=R（z）虚部y=I（z）模:Iz1=r=•£x2+y2指数式：z=p溯三角式：z=p（cos0+isin0）在指数与三角式中，辅角0，模P0=Argz+2馈（k=0,±1，±2，...），其中Argz为主辅角，其取值范围［0,2兀）P=IzI=r=\：'x2+y24复平面表示:把虚数的实部、虚部当作平面上的坐标，使之与平面上的点一一对应。此平面称为复平面，坐标轴称为实轴虚轴。与原点形成的矢量即可表示此复数。幅角就是矢量与实轴所成的角，周期性很明显5.共轭复数:z*=x-iy=p（cos0-isin0）=pe-i0Iz|2=z-z*（三） 复数运算加减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，并且满足交换律与结合律。代数式有：z土z=（x土x）+i（y土y）12 1212由复平面可得Iz+zI<IzI+1zIIz-zI>IzI-1zI并可以以得出：1 2 1I 2Iz一z I<Iz一zI<Iz+z I<IzI+1zI12 1I 2 1I 2 1 2I，1 2 1I 22.乘除法:（1） 应用代数式有zz=（xx-yy）+i（xy-xy）:TOC\o"1-5"\h\z12 12 12 12 21zxx+yy.xy—xy=12 12+i21 12:z x2+y2 x2+y22 2 2 2（2） 应用三角和指数有如下：乘法：模相乘，辐角相加。除法：模相除，辐角相减。满足交换律，结合律，分配律。3.当z-z，可以归结为一对实变数x和y分别逼近常数x和y的问题。进而有:0 0 0Izz1=IzIIzI；z土z=z土z；zz=zz；I、l=n；（&=冬；IzI2=z-z*12 1 2 1 2 1 2 12 12z2Iz21z2z二复变函数（一） 区域概念邻域：以复数z0为圆心以任意小8半径做圆，圆内所有的点集合称为z0的邻域。及其邻域均属于点集E，则称z0为该点集的内点。若z0及其邻域均不属于点集E，则称z0为该点集的外点。点：若在z0的邻域内即有E的点也有E外的点，境界点的全体称为境界线。区域：满足以下条件的点集（1）全有内点组成。（2）具有连通性。6闭区域B及其境界线所组成的点集称为闭区域，以B表示。点集不一定是区域，但是区域一定是点集。（二） 复变函数定义：在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数的集合），对于E的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值②与之相对应，函数。记作3=f(z) z的域为E。复变函数例1.指数复变函数：ez=ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny)e2兀i+z=e2兀iez=e(cos2兀+isin2k)=ez正余弦复变函数：sinz=—(eiz-e-tz)2icosz=2(eiz+e-iz)双曲正余弦函数:shz=^(ez-e-z)27 1，,、chz=—(ez+e-z)24.对数函数:Inz=ln(lzIeiArgz)=InIzI+iArgz复变函数同样也可以归结为一对二元实变函数，因此实变函数重的许多公式也同样适用与复变函数。三导数若在B上的函数3=f(z)，在某点z极限lim里=limf(z+&)-f(z)存在，AzT0AzAzr0 Az并且与Az-0的方式无关，则称函数W=f(z)在Z点可导，此极限叫作函数f(z)在Z点的导数，以f■(z)或直表示。dz柯西黎曼方程TOC\o"1-5"\h\zdudvdu dv = ; =— dxdydy dx也叫柯西黎曼条件，是复变函数可导的必要条件du1_dv =— d中p dp四解析函数1.解析：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导，则称f(z)在z0点解析。解析函数：若f(z)在区域B上每一点都解析，则称f(z)是区域B上的解析数。解析函数的主要性质：⑴若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则：u(x,y)=c1;v(x,y)=c2;是B上的两组正交曲线。(c1与c2是常数)⑵若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则"和v都是B上的调和函数。4给定一个二元调和函数u(x,y)是解析函数的实部，则其虚部为:dv=8v「.dv,—dx+—dydv=dx dy有柯西一黎曼方程竺=丝；四=_丝可得：dv=一四dx+四dy于是dxdy dy dx dy dxv(x,yX』d可用以下方法求出：曲线积分法:全微分的积分与路径无关，所以可以选取特殊的路径进行积分。凑全微分法：把微分式凑全，在进行积分。不定积分法第二章复变函数的积分一复变函数的积分设在复数平面上的连续函数f(x)，并取了一系列点，把曲线分成n小段，并作和，每一小段都趋近于零，则：f(z)=limf信)(z-z)用实部与虚部表述出…kkk=1来为：〔k=x^+iyk，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)积分则为：Jf(z)dz=Ju(x,y)dx一v(x,y)dy+i』v(x,y)dx+u(x,y)dyl l l这样复变函数的路积分可以归结为两个实变函数线积分。复变函数积分的几条性质:常数因子可以移到积分号外。函数的和的积分等于各个函数的积分的和。全路径上的积分等于各段上积分之和。反转积分路径，积分变号。与起点终点积分路径都有关。二柯西定理内容单通区域情形单通区域：在其区域中作任何简单的闭合曲线，围绕内的点都属于该区域内点。柯西定理：『f(zz)dz=0。l2复通区域情形复通区域a一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线期内其内不属于该区域的点，这样的区域便称为复通区域。b正方向：总是在观察者的左边，外境界线正方向是逆时针，内镜界线正方向是顺时针。c奇点：不可导的点。柯西定理：$f(zz)dz+£$f(zz)dz=0。l .=1l3柯西定理的性质：闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零。闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内镜界线逆时针方向积分之和。三不定积分由柯西定理知，若函数f(z)在单通区域B上解析，则在B上沿任一路径积分ff(z)dz只与起点和终点有关，与路径无关，则当z0固定时，此不定积分就定以了一个单值函数：F(Z0)=\f&欢。且F'(z)=f(z)，则F(z)是f(z)的一个原z0函数。ff&)d…(%)-F(七)zi3.上『_^=0(L不包围a)2兀iiz—a—M-^J=1(n=—1,L不包围a)2兀ilz—a—5(z—a)n=0(n=—1)2兀ii四柯西公式若f(z)在闭单通区域万的境界线a为B内的任意一点，则有柯西公式:f(a)=—顶^^dz还可以得到：f(z)=—5军d&2兀iiz—a 2冗ii&—z即f(z)在L所围区域上存在奇点，考虑挖去奇点后的复通区域，f(z)解析，柯西公式依然成立，即把L理解为所有的境界线，并且方向取正方向。2.推论有fz)=&5吕&f"z)=芸5旦&第三章幕级数展开一复数项级数的收敛问题收敛的充分条件:对于一给定的小正数8，必有N存在，使得n>N时，寸七<8k=n+1式中p为任意正整数。绝对收敛：如果复数项级数各项的模(这是正的实数)组成的级数

£|七I=^何飞收敛则此级数就是绝对收敛。k=1 k=1一致收敛：复变项级数收敛的充分条件对于一给定的小正数e，必有N存在，使得n>N时，SPw^<8式中p为任意正整数，如果N与Z无关，k=n+1就把复变项级数叫做在L或B上一致收敛。一致收敛的性质：（1）连续性（2） 可积性（3） 解析性优级数准则：若对于某个区域B上所有的点Z，复变项级数的各项的模|wk（z）|<mk，而正的常数项级数堂mk收敛，则复变项级数在Bk=1上绝对且一致收敛。二幕级数1各项为幕函数的复变相级数：£a（z一z）k=a+a（z一z）+a（z一z）2+…，（1）k0 0 1 0 2 0k=0其中z，a，a，a，......都是复常数，这样的级数叫做以z为中心0 0 12 0的幕级数。2.比值判别法：若£〔aL-k++ak2.比值判别法：若£〔aL-k++ak—3 kz一z

0

llz一z0竺=£k1 ks新记号R，R=limkT3a—Lak+1a—k+1akz-z0|<1则（1）式绝对收敛，引入就是说，如果|z-z0|<R，（1）式绝对收敛。如果|z-z°|>R，则（1）式发散。从中我们可以看出，以z0为圆心以R为半径圆周％，所以在圆内部就绝对收敛，在圆外就发散，这个圆就叫做幕级数的收敛圆，它的半径则就叫做收敛半径。3.根值判别方法：limjaz-zk<1，绝对收敛。k"k0limJajk-zjk>1，发散。三泰勒级数展开1定理：设f(z)在以Z。为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点，f(z)可以展开为幕级数，f(z)=*a(z一z)k，其中a=口一j —d&=")(%)k0k0 k2兀iCR1(&-zo)k+1 k!2泰勒展开步骤：确定展开中心；确定系数ak；系数带回表达式。3泰勒展开具有唯一性。4解析延拓:解析延拓就是将解析函数的定义域变大，却在它们共同区域值相等。四洛朗级数展开定理：设f(z)在环形区域R2<z-zo<R的内部单值解析，则对环域上任一点z，f(z)可以展为幕级数f(z)=*a(z一z)k(2)。k0k=一3其中：积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线。(2)式称为f(z)的洛朗展开，其右端的级数称为洛朗级数。说明：(1)级数中的z-zo的负幕项，其中zo可以是奇点也可以不是。(2)尽管求展开系数ak的公式与泰勒展开系数ak的形式相同，但是却不是相等的。若是奇点则f(k)(z°)就不存在。若只有环心z是f(z)的奇点，内圆半径可以任意小，并且z无限接0近于zo，则称它为孤立奇点zo的邻域内的洛朗展开式。五孤立奇点的分类

孤立奇点：若f(z)在z点不可导，而在z的任意小邻域内除z外处处可导，0 0 0则称z0为。f(z)的孤立奇点。非孤立奇点：若在的无论多么小的邻域内总可以找到除z0以外的不可导点，则称z0为的f(z)非孤立奇点。可去奇点：挖去孤立奇点形成的解析函数没有负幕次项，即limf(z)=七。f° 0本性起点：挖去孤立奇点形成的解析函数只有无限个负幕次项，即没有唯一的有限制。极点：挖去孤立奇点形成的解析函数只有有限个负幕次项，即limf(z)=8iz0同limf(z)=8f(z)=—z0a(z-z/m+a(z-z同limf(z)=8f(z)=—z0a(z-z/m-m+1 0 k 0k=-mm叫作极点z0阶，一阶叫做单极点。第四章留数定理一.基本概念留数：洛朗级数的(z-z0)-i的系数ai就叫做函数f(z)在奇点z0的留数，通常记作：Resf(z。)留数定理：设函数f(z)在回路L所谓的区域B上除有限个孤立奇点外解析，在闭区域B上除外连续，则皿f(z)dz=2兀i2Resf(b)1 j=i留数定理将回路积分归结为被奇函数在回路所围区域上个奇点的留数之和。第五章傅里叶变换一傅里叶级数1周期函数的傅里叶展开函数f3)为周期函数，将f(x)展开为级数：/ k兀x kKx、(acos—+bsin—)k=1函数族是正交的：(1)jl・cos^^dx=0l-1j1-sin^^dx=0l-1fcos竺sin竺dx=0ll-1fcos竺cos竺dx=0(k。n)ll-1fsin匝sin竺dx=0(k。n)ll-1由三角函数族的正交性，可得傅里叶级数展开式：a广2|ff(&)cos罕d&-1bk=1jf&)sin苧d&-1a0=1.ff&)dg-1奇函数与偶函数的傅里叶展开(1)若周期函数f(x)是奇函数，则由傅里叶的计算公式(3)可见a。及a*均等于零，展开为f(x)=Ebsin三1三这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为:k=1bk=1\lf(g)sin罕d&(2)若周期函数fG)为偶函数则展开式为f(x)=a(2)若周期函数fG)为偶函数则展开式为f(x)k=1余弦级数。由于对称性，其展开系数为:a二二jif(g)cos竺k5Io 1k^x3复数形式的傅里叶级数：f(x)=Ece1；k1l .kRx*展开系数:C=—if&)/Id&k2l-1 LJ二傅里叶积分与傅里叶变换1傅里叶积分与傅里叶变换(1).实数形式的傅里叶变换：设fG)为定义在区间-8VxV8上的函数，一般来说，它是非周期的，不能展为傅里叶级数。所以我们将非周期函数fG)看作是某个周期函数gG)于周期2i*时的极限情形.这样，gG)的傅里叶级数展开式:引入不连续参量”%(k=0,1,2，)，g(x)=a+E[acos加+bsin加]引入不连续参量”%(k=0,1,2，)，k=1Aw=①-w=^/这样上式称为：g(x)=a+切(Aw=①-w=^/这样上式称为：g(x)k=1a=&Jlf&)傅里叶系数为:1k傅里叶系数为:1b^-Jlf(&)sinw&d&TOC\o"1-5"\h\zkl-i ka=limlJlf/=00l*2la=limlJlf/=00l*2l-l0 l*8-l l*8兀-8当l*8时余弦部分为：J81J8f(&)cosw&d兀-80正弦部分为：J8—J8f(&)sinw&d&lsinwxdw0L兀-8 J于是其形式为：f(x)=J8A(w)coswxdw+J8B(w)sinwxdw上式称为傅里叶积分。0 0A(w)=-J8f(&)cosw&d&其中：i：J8(). 此式称为f。的傅里叶变换式。B(w)-兀-8f'"nw%&傅里叶正弦积分:f(x)=J8B(w)sinwxdw；0傅里叶正弦变换，B(w)=—J8f(&)sinw&d