统计学（第三版-董云展）课件05第五章平均指标和变异指标

第五章

统计基本分析指标（2）

——平均指标和变异指标《统计学》课件

教学目的与要求

通过本项目学习，了解平均指标和变异指标的意义和种类，掌握各种计算方法及其应用条件，能够应用平均指标和变异指标进行基本的统计分析。

教学重点与难点

重点：各种加权平均数的计算方法和应用条件；理解计算和应用平均指标的原则；标准差的计算；

难点：正确理解加权平均计算方法中的权数；权数的正确选择；变异系数计算的必要性。本章的主要内容1平均指标的种类及其计算方法2计算和应用平均指标应注意的问题3变异指标的种类及其计算方法第一节

平均指标

一、平均指标的概念及作用平均指标

静态平均指标

动态平均指标反映总体各单位在某一数量标志下标志值的一般水平反映研究对象在不同时间水平的一般水平平均指标：简单地说就是若干变量值的平均。

平均指标与总量指标和相对指标的特点比较平均指标还是：

④抽象化数值⑤代表性数值⑥集中趋势(总体各单位根据变量值的大小形成分布）比较项目总量指标相对指标平均指标①表现形式绝对数相对数平均数②是否带计量单位必须带一般为%必须带③数值大小与总体范围的关系有无无

平均指标的作用------对现象进行对比分析（1）个别不能代表一般。利用平均指标可以对同类现象在不同空间、不同时间上进行比较，以反映其水平的高低等。如：在分析现象之间的依存关系时，也不能用个别代表一般。现以某企业为例，如研究学历和工资依存关系，不能用四个学历的单个人的工资来说明问题，也不能用不同学历工资总额来说明问题，而要用平均工资才能反映其内在真实的依存关系。

平均指标的作用------分析现象之间的依存关系（2）2017年某地区职工受教育程度与月工资关系表受教育程度平均数（元）研究生本科专科中专、高中初中及以下65154799301525971827我国2017年GDP为827122亿元，若经济平均增长速度不低于6.5%，则2021年建党100周年时，我国GDP就会达到1064064亿元，（超100万亿元）若人口2021年为14.2亿人，则人均GDP为74934元。（2018年我国人均GDP9509美元，达到中高收入国家行列）。

平均指标的作用------利用平均指标进行推算（3）平均指标计算方法算术平均法简单调和平均法中位数和众数几何平均法调和平均法加权算术平均法简单算术平均法简单几何平均法加权调和平均法加权几何平均法二、平均指标的种类及计算方法

（一）算术平均法算术平均法：根据总体各单位标志值的算术和计算的平均数。其基本公式为：

【需要注意】

⑴区分平均数与具有“平均”含义的强度相对数；⑵此公式是基本公式，具体形式要看所给资料而定。

由于掌握的资料不同，可将算术平均法分为：

简单算术平均法和加权算术平均法。

1.简单算术平均法简单算术平均法的应用条件

若掌握的是未经分组整理的总体各单位的具体标志值，可采用简单算术平均法，计算各标志值的算术和再除以总体单位数即可。用这种方法计算的平均数，称为简单算术平均数。用公式表示如下：

式中：代表平均数x代表各标志值∑是总和符号n代表标志值个数

2、加权算术平均法加权算术平均法的应用条件

若资料为各组标志值和权数（次数或比重）的变量数列，应采用加权算术平均法，即以各组标志值为变量，以各组次数或比重为权数进行加权平均。计算公式如下：

式中：x为各组标志值；f为各组次数

单项数列资料平均指标的计算（例1）

某企业20名职工日产量资料日产量（件）x人数f产量xf

%

591261043090483050201.54.52.4合计201681008.4注意⑴以比重为权数计算的结果与用绝对数计算结果完全一样。⑵本例为单项数列资料。若为组距数列，需先算组中值。总平均数来自于三个数的贡献，劝数越大贡献越大组距数列资料平均指标的计算（例2）按月工资分组（元）职工人数（人）f组中值（元）x工资总额xf7000以下

20

6500

130000

7000—8000

25

7500

187500

8000—9000

30

8500

255000

9000—10000

15

9500

142500

10000以上

10

10500

105000合计

100

——

820000某公司按工资水平分组资料表组距资料计算平均数应该用约等号合适

加权平均数的影响因素各组权数（次数或比重）各组标志值(x)1.若各组标志值不变，各组单位数同时扩大或缩小相同的倍数则平均数不变；2.若各组单位数不变，各组标志值同时扩大或缩小相同的倍数，平均数也随之扩大或缩小相同的倍数。3.若各组权数是相等的，则用加权算术平均和简单算术平均的计算结果是相同。

【加权算术平均法计算步骤】各组标志值乘次数得各组标志总量加总得到总体标志总量计算总体单位总量总体标志总量除以总体单位总量权数选择问题各组标志值与各组单位数之积要有实际意义，即二者之积为算术平均数算式中的分子（总体标志总量）（二）调和平均法导例：某种蔬菜甲、乙、丙三个市场的价格分别为每千克0.5

元、0.4元和0.2元。若：⑴甲、乙、丙三个市场各买1千克；⑵甲、乙、丙三个市场分别买3千克、5千克、10千克；⑶甲、乙、丙三个市场各买1元；⑷甲、乙、丙三个市场分别买5元、8元、10元。要求分别计算四种购买行为情况下该种蔬菜的平均购买价格。（注意：不能是甲乙丙三种蔬菜，不同质；也不能是早、中、晚三个时间，不同时。静态平均）分析：无论什么资料，蔬菜平均价格都是购买额除以购买量。即：

（二）调和平均法（续1）根据以上资料，蔬菜平均购买价格计算分别为：简单算术平均法加权算术平均法简单调和平均法加权调和平均法

（二）调和平均法（续2）调和平均法：变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均法。在统计实践中，有时因缺乏总体的单位数资料，不能直接采用算术平均法方法进行计算，这时需要将算术平均法的形式加以改变。调和平均法常常作为算术平均法的变形来使用。⑵在各组标志总量不等时，应采用加权调和平均法：⑴在各组标志总量都是1时，采用简单调和平均法：

（二）调和平均法（续3）实例：某企业购进某种原材料三批，已知每批购进价格和购进金额，要求计算该种原材料的平均价格。资料见下表：批次价格（元/千克）x购进额（元）m购进量（千克）第一批第二批第三批

607080

60001400056000100200700合计

—

76000

1000批次价格（元/千克）x购进量（千克）f购进额（元）xf第一批第二批第三批

607080

10020070060001400056000合计

—

1000

76000加权算术平均法与加权调和平均法的比较（三）几何平均法导例1：平均速度的计算问题？？若只有某一年的速度能说明问题吗？2010-2017年世界主要国家和地区经济增长率比较单位：%2017年GDP(万亿美元）20102011201220132014201520162017平均增幅%世界77.94.42.82.42.42.62.52.43.02.8中国12.210.67.77.77.77.36.96.76.97.7美国19.42.51.92.81.52.42.41.63.22.3日本4.94.7-0.51.51.40.00.51.01.21.2印度2.410.36.64.76.67.27.67.16.77.1导例2：某工厂生产某种产品需要先后经过四个车间（四个工序），已知四个车间的合格率分别为80%、90%、85%和70%，求四个车间的平均合格率？1车间80%2车间90%4车间70%3车间85%

（三）几何平均法（续1）几何平均法：ｎ个变量值连乘积的开ｎ次方。几何平均法不能有零和负值应用条件：总比率（或总速度）等于各比率（或各速度）之积时，求平均比率（或平均发展速度）时才可以用几何平均法，否则不可用。几何平均法平均的变量值的形式是相对数。在计算平均比率（如平均合格率、平均利率）、平均速度等情况时使用。

根据引言资料中的增长速度按此法计算五年平均增长速度

（三）几何平均法（续2）实例：某地区20年经济发展速度资料如下：

发展%x年数f1021051071095384合计20

（三）几何平均法（续2）实例：某企业生产一种产品需先后经过20个车间，各车间合格率资料如下：

合格率%x车间数f708085905384合计20

（三）几何平均法（续3）

应用：某公司向商业银行申请一笔贷款，期限为10年，以复利来计息。10年的利率分别是：第1年至第2年为3%，第3年至第5年为4.5%，第6年至第7年为5%，第8年至第9年为5.5%，第10年为6%，求该笔贷款的平均年利率。

（三）几何平均法（续4）

分析：由于各年利率不等，就可以采用加权几何平均法计算年平均本利率，最后，用年平均年本利率减1就是平均年利率。计算过程如下：年均本利率＝

=104.65%则该公司10年贷款平均年利率为4.65%。（四）众数众数：总体中（一组数据中）出现次数最多的标志值。出现次数越多，众数的代表性就越强。计算和应用众数的条件是总体单位数较多且有明显的集中趋势。（集贸市场的随行就市）（五）中位数中位数：将总体各单位标志值按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数值。若总体单位数是偶数，则处于中间的两个标志值的算术平均数是中位数。实际中，也常用年龄中位数说明人口老龄化问题。普查年份195319641982199020002010年龄中位数21.7020.2022.9125.2530.8535.20需要注意：中位数和组中值的区别？？2015年？日本年龄中位数49岁，德国48岁美国40岁，西方老龄化问题，生物学意义西方衰败.2018年我国？2018年全国居民人均可支配收入28228元，比上年增长8.7%，扣除价格因素，实际增长6.5%。全国居民人均可支配收入中位数24336元，增长8.6%。按常住地分，城镇居民人均可支配收入39251元，比上年增长7.8%，扣除价格因素，实际增长5.6%。城镇居民人均可支配收入中位数36413元，增长7.6%。农村居民人均可支配收入14617元，比上年增长8.8%，扣除价格因素，实际增长6.6%。农村居民人均可支配收入中位数13066元，增长9.2%。按全国居民五等份收入分组[58]，低收入组人均可支配收入6440元，中间偏下收入组人均可支配收入14361元，中间收入组人均可支配收入23189元，中间偏上收入组人均可支配收入36471元，高收入组人均可支配收入70640元。全国农民工人均月收入3721元，比上年增长6.8%。

组距数列中位数的确定方法用∑f/2确定中位数位，从累计次数中观察中位数组，然后比例推算中位数的近似值。上限公式：下限公式：式中：上总次数向下累计至中位数组以下总次数向上累计至中位数组以中位数组的次数¬¬¬+-SSfmmm11ＵＬfm∑f/2∑f/2Ｓｍ-１Ｓｍ+１Ｍe第二节

计算和应用平均指标应注意的问题

一、同质性是计算和应用平均指标的基础平均指标是反映同质总体各单位标志值一般水平的指标，平均指标要保证在同质总体内计算。二、用组平均数补充说明总平均数在同质总体中，存在不同类型的组，而各组间还存在很大差别。总平均数抽象掉了总体内各组的差异，不能全面说明总体的特征。因此，就需要分别计算各组平均数以补充说明总平均数。

某地甲、乙两村小麦产量情况表按自然条件分组甲村乙村播种面积总产量（万公斤）单产（公斤/公顷）播种面积总产量（万公斤）单产（公斤/公顷）公顷%公顷%山地丘陵平原1890721050404.35410824006000150001501209045302554901623600750018000合计180100166.392403601003068500要求：对甲乙两村小麦生产情况作出分析与评价实训：分析与评价三、用次数分布数列补充说明总平均数总平均数不仅掩盖了差异状况。还掩盖了总体单位的分布特征。为了全面深入地分析问题，我们不能只看现象总的平均水平，还必须了解总体单位在各组次数分布情况，把总平均数与次数分布资料相结合。现以某公司下属的50个分公司年度利润计划完成情况为例来说明。情景设计：集团公司统计人员向公司老总汇报总公司利润计划完成情况按计划完成程度分组（%）公司数（个）比重（%）80—9090—100100—110110—120120—130363010161260202合计50100四、平均数分析与典型事例相结合

五、平均指标要和变异指标相结合

谨防平均数“陷阱”平均指标反映总体一般水平，掩盖了总体单位的差异，而综合反映个体差异也是认识研究总体的重要数量特征。变异指标就是反映总体各单位差异或离散程度的统计指标，因此，二者应该相结合，这样对总体数量特征认识得才更为全面。

第三节

变异指标一、变异指标的概念及作用

★变异指标：反映总体各单位差异（数量或属性）或离散程度的综合指标，又称标志变动度。变异指标是反映总体数量特征的重要指标。平均指标掩盖了总体内各单位的差异，然而总体内各单位的差异则是客观存在的，这就需要进一步计算能够反映总体各单位差异程度或离散程度的变异指标。如果说平均指标说明总体单位的共性和集中趋势，那么变异指标则说明总体单位的差异性和离中趋势。

变异指标的作用

☆

变异指标可以衡量平均数代表性的大小；☆

反映社会经济现象的均衡性、稳定性；

如收入分配的均衡；降雨量的均衡等；产品质量的稳定；考试成绩的稳定；农作物高产稳产等；

注意：变异指标只反映均衡性和稳定性，但均衡性和稳定性不是判断事物好坏的标准。

☆

变异指标是抽样推断中确定样本容量的重要依据。

二、变异指标的种类及计算变异指标全距平均差标准差变异系数离散系数加权式平均差简单式平均差简单式标准差加权式标准差是非标志标准差全距系数平均差系数标准差系数

（一）全距（极差）

未分组资料：全距R=最大值-最小值组距分组资料：全距R=最高组上限-最低组下限

若为开口组，可先求出组中值，再利用组中值求得全距。

全距用以说明被研究现象中标志值变动的最大范围。全距计算简单，易懂。但由于它受两个极端数值的影响，其测定结果，难以准确反映变量的实际离散程度。因此，它只是测定变量变异程度的一种粗略方法。

（二）

平均差

平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差的平均。由于各个变量值对算术平均数离差总合恒等于零，因而，采用离差绝对值的形式计算平均差。平均差与全距不同，它考虑了总体中个单位变量值得变动影响，对整个变量值的离散趋势有较充分的代表性。由于掌握资料不同，平均差可分为简单平均式和加权平均式两种。

（三）标准差

标准差：总体各单位标志值与其算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根，即方差的平方根，又称均方根差。

（是非标志的标准差也是标准差，此概念不妥。应叫做标志值的标准差更为合适）标准差的特点：意义与平均差基本相同，但在数学处理上它是采用平方的方法来消除离差的正负号。其灵敏性也更高，是最常用的变异指标。标准差的计算：根据资料不同，标准差的计算分为：简单式、加权式和是非标志的标准差三种形式。

标准差的计算方法

1．简单式标准差在资料未分组时，采用简单式。其计算公式为：2．加权式标准差在资料分组时，要用加权式。其计算公式为：3.是非标志的标准差

在总体分为“是”和“非”两部分时，其计算公式为：标准差的计算实例

根据某企业日产量资料，计算标准差日产量（件）工人数（人）日产量×次数离差离差平方离差平方×次数xf

xf101112131426354320664205242-2-101241014860412合计50600——30

问题：对不同性质或不同水平的数列如何比较差异性？

例如：如何比较甲乙丙三数列差异的大小？甲：零件尺寸（mm）：369乙：距离（公里）：6997007